Mesure de l’incertitude associée aux estimateurs pour petits domaines basés sur un modèle
Section 4. Estimation de l’EQM sous le plan de sondage

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À la présente section, nous commençons par étudier l’estimation de l’EQM sous le plan, puis nous proposons une estimation composite de l’EQM qui offre un équilibre entre le biais sous le plan et le coefficient de variation.

4.1  Modèle au niveau du domaine

Examinons maintenant l’estimation de l’EQM sous le plan de l’estimateur EB en traitant les paramètres de petit domaine ${\theta }_i$ comme des paramètres inconnus fixes. Comme il est mentionné dans l’introduction, les statisticiens d’enquête cherchent souvent à estimer l’EQM sous le plan des estimateurs EB, pour cadrer avec les estimateurs classiques de l’EQM sous le plan des estimateurs directs pour les grands domaines pour lesquels la taille d’échantillon est adéquate. L’EQM sous le plan est donnée par ${\text{EQM}}_d\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right)=E\left[{\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}-{\theta }_i\right)}^2|\theta \right],$ où $\theta ={\left({\theta }_1,\dots ,{\theta }_m\right)}^{\prime }$ est le vecteur des moyennes de domaine.

Si nous exprimons ${\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}$ sous la forme ${\widehat{\theta }}_i+h_i\left(\widehat{\theta }\right)$ avec $h_i\left(\widehat{\theta }\right)=-\left(1-{\widehat{\gamma }}_i\right)\left({\widehat{\theta }}_i-z_i^{\prime }\widehat{\beta }\right),$ un estimateur exactement sans biais de l’EQM sous le plan est donné par

$${\text{eqm}}_d\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right)={\psi }_i+2{\psi }_i\left[\partial h_i\left(\widehat{\theta }\right)/\partial {\widehat{\theta }}_i\right]+h_i^2\left(\widehat{\theta }\right).(4.1)$$

Datta, Kubokawa, Molina et Rao (2011) donnent une expression explicite pour la dérivée figurant dans le deuxième terme de (4.1) dans le cas des estimateurs du REML des paramètres du modèle. L’estimateur (4.1) peut prendre des valeurs négatives et être très instable en ce qui concerne la racine carrée de l’erreur quadratique moyenne relative (REQMR), comme le montrent Datta et coll. (2011). Il s’ensuit que (4.1) n’est pas un estimateur fiable de l’EQM sous le plan, même s’il est sans biais par rapport au plan. Les résultats de nos simulations présentés à la section 5 visent à étudier les propriétés conditionnelles des estimateurs (3.1) et (4.1) de l’EQM dans le cadre de l’estimation basée sur le plan de sondage.

Certains éclaircissements théoriques peuvent être obtenus en examinant le cas où les paramètres du modèle sont connus et en considérant le meilleur estimateur (2.2) de la moyenne de domaine ${\theta }_i.$ Dans ce cas, Rivest et Belmonte (2000) ont obtenu un estimateur sans biais sous le plan donné par

$${\text{eqm}}_d\left({\tilde{\theta }}_i^B\right)={\gamma }_i{\psi }_i+{\left(1-{\gamma }_i\right)}^2\left[{\left({\widehat{\theta }}_i-z_i^{\prime }\beta \right)}^2-\left({\psi }_i+{\sigma }_v^2\right)\right].(4.2)$$

Notons que, pour une grande variance d’échantillonnage ${\psi }_i$ nous avons ${\gamma }_i\approx 0$ et (4.2) se réduit à

$${\text{eqm}}_d\left({\tilde{\theta }}_i^B\right)\approx {\left({\widehat{\theta }}_i-z_i^{\prime }\beta \right)}^2-{\psi }_i.(4.3)$$

Il découle de (4.3) que l’estimateur de l’EQM peut prendre des valeurs négatives et, en fait, la probabilité d’obtenir une valeur négative est proche de 0,5 quand ${\gamma }_i$ est proche de zéro ou que la variance d’échantillonnage ${\psi }_i$ est grande. Dans ce cas particulier où les paramètres du modèle sont connus, nous pouvons étudier le biais sous le plan de l’estimateur sous le modèle de l’EQM de (2.2), donné par $\text{eqm}\left({\tilde{\theta }}_i^B\right)={\gamma }_i{\psi }_i$ lorsque l’on prend la moyenne sur l’ensemble des domaines. On peut montrer que le biais moyen sous le plan converge en probabilité sous le modèle vers zéro quand $m\to \infty$ (Rao et Molina, 2015, page 287). Ce résultat donne à penser que l’estimateur de l’EQM sous le modèle devrait avoir de bonnes propriétés en ce qui concerne le biais moyen sous le plan, à condition que le modèle présumé soit valide.

L’estimateur sans biais sous le plan (4.1) n’est pas utilisable en pratique quand il prend une valeur négative pour l’échantillon pris en considération. Donc, nous proposons une modification de (4.1) qui mène à un estimateur positif de l’EQM. Nous désignons l’estimateur de l’EQM modifié par ${\text{mod-eqm}}_d\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right).$ Il utilise (4.1) quand celui-ci prend une valeur positive pour l’échantillon pris en considération et remplace (4.1) par l’estimation de l’EQM sous le modèle (3.1) quand (4.1) prend une valeur négative. Il est possible d’utiliser une autre estimation positive de l’EQM, par exemple un estimateur de l’EQM sous le plan positif naïf proposé par Pfeffermann et Gilboa (2017). Nous n’avons pas étudié cette modification dans notre étude en simulation.

Nous proposons maintenant des estimateurs composites de l’EQM sous le plan visant à offrir un équilibre entre le biais sous le plan et la REQMR. Nous obtenons un estimateur composite en prenant une moyenne pondérée de l’estimateur de l’EQM sous le plan (4.1) et de l’estimateur inconditionnel de l’EQM sous le modèle (3.1) avec les poids ${\widehat{\gamma }}_i$ et $\left(1-{\widehat{\gamma }}_i\right),$ respectivement. Cet estimateur composite de l’EQM peut s’écrire sous la forme

$${\text{eqm}}_{c1}\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right)={\widehat{\gamma }}_i{\text{eqm}}_d\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right)+\left(1-{\widehat{\gamma }}_i\right)\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right).(4.4)$$

Il découle de (4.4) que moins de poids est accordé à l’estimateur de l’EQM sous le plan quand la variance d’échantillonnage est grande, ce qui contrôle la REQMR de l’estimateur composite de l’EQM. En outre, le biais par rapport au plan de l’estimateur composite de l’EQM est toujours plus petit que celui de l’estimateur de l’EQM sous le modèle. Quand la valeur de ${\widehat{\gamma }}_i$ (ou de la taille de l’échantillon de domaine) est très petite, un autre choix des poids pour la construction de l’estimateur composite consiste à remplacer ${\widehat{\gamma }}_i$ par $\sqrt{{\widehat{\gamma }}_i}$ et $1-{\widehat{\gamma }}_i$ par $1-\sqrt{{\widehat{\gamma }}_i}$ dans (4.4). L’estimateur composite de l’EQM résultant

$${\text{eqm}}_{c2}\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right)=\sqrt{{\widehat{\gamma }}_i}{\text{eqm}}_d\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right)+\left(1-\sqrt{{\widehat{\gamma }}_i}\right)\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right)(4.5)$$

donne plus de poids à ${\text{eqm}}_d\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right)$ que (4.4) et donne donc de meilleurs résultats en ce qui concerne le biais sous le plan au prix d’une augmentation de l’EQM. Comme l’estimateur (4.4), l’estimateur composite de l’EQM de rechange (4.5) possède toujours un biais sous le plan plus petit que l’estimateur de l’EQM sous le modèle. Les estimateurs (4.4) et (4.5) peuvent aussi prendre tous deux des valeurs négatives, mais vraisemblablement moins souvent en raison de leur construction. Pour être certains d’obtenir des estimateurs composites de l’EQM positifs, nous faisons une modification similaire à ${\text{mod-eqm}}_d\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right)$ et remplaçons (4.4) et (4.5) par l’estimation de l’EQM sous le modèle (3.1) quand ils prennent des valeurs négatives pour l’échantillon pris en considération. Nous désignons les estimateurs modifiés par ${\text{mod-eqm}}_{c1}\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right)$ et ${\text{mod-eqm}}_{c2}\left({\widehat{\theta }}_i^{\text{EB}}\right),$ respectivement. À la section 5, nous examinons la performance des deux estimateurs composites de l’EQM modifiés comparativement à l’estimateur de l’EQM sous le modèle (3.1) et à l’estimateur de l’EQM sous le plan modifié en ce qui concerne le BRA, la REQMR et le taux de couverture des intervalles de confiance.

4.2  Modèle au niveau de l’unité

Nous nous concentrons sur l’échantillonnage aléatoire simple (EAS) sans remise dans chaque domaine. Même pour ce plan de sondage particulier, on ne trouve dans la littérature aucune expression analytique pour l’EQM sous le plan de l’estimateur EB ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}$ ni pour son estimateur, contrairement au cas du modèle au niveau du domaine. Par conséquent, nous proposons une méthode heuristique qui consiste à évaluer l’EQM sous le plan du meilleur estimateur ${\widehat{\overline{Y}}}_i^B$ donné par (2.6) sous EAS en supposant que tous les paramètres du modèle sont connus, puis à estimer l’EQM sous le plan. L’estimateur de l’EQM sans biais sous le plan du meilleur estimateur ainsi obtenu dépend des paramètres du modèle et nous remplaçons ces derniers par les estimateurs du REML correspondants. L’estimateur de l’EQM résultant n’est pas sans biais sous le plan pour l’EQM sous le plan de l’estimateur EB, et il sous-estime vraisemblablement l’EQM sous le plan réel, parce qu’il n’est pas tenu compte de la variabilité associée aux paramètres estimés du modèle. Nous étudions la performance de cet estimateur dans une étude en simulation.

Sous EAS sans remise dans le domaine $i,$ nous avons

$${\widehat{\overline{Y}}}_i^B-{\overline{Y}}_i=a_i\left({\overline{u}}_i-{\overline{U}}_i\right)-\left(1-a_i\right){\overline{U}}_i,(4.6)$$

où ${\overline{u}}_i$ est la moyenne d’échantillon de domaine et ${\overline{U}}_i$ est la moyenne de population de domaine des valeurs $u_{ij}=y_{ij}-x_{ij}^{\prime }\beta .$ Il découle de (4.6) que l’EQM sous le plan du meilleur estimateur est donnée par

$${\text{EQM}}_d\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^B\right)=E_d{\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^B-{\overline{Y}}_i\right)}^2=a_i^2{V}_d\left({\overline{u}}_i\right)+{\left(1-a_i\right)}^2{\overline{U}}_i^2,(4.7)$$

où

$$V_d\left({\overline{u}}_i\right)=n_i^{-1}\left(1-f_i\right)S_{ui}^2,\text{et}{S}_{ui}^2={(N_i-1)}^{-1}{\displaystyle \sum _{j=1}^{N_i}{(u_{ij}-{\overline{U}}_i)}^2},(4.8)$$

en notant que le terme correspondant au produit croisé est nul sous EAS.

Il découle maintenant de (4.7) et (4.8) qu’un estimateur de l’EQM sans biais sous le plan du meilleur estimateur est donné par

$${\text{eqm}}_d\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^B\right)=a_i^2{n}_i^{-1}\left(1-f_i\right)s_{ui}^2+{\left(1-a_i\right)}^2{\widehat{\overline{U}}}_i^{2D},(4.9)$$

où ${\widehat{\overline{U}}}_i^{2D}=n_i^{-1}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{n_i}{u}_{ij}^2}-N_i^{-1}\left(N_i-1\right)s_{ui}^2$ et $s_{ui}^2={\left(n_i-1\right)}^{-1}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{n_i}\left(u_{ij}-{\overline{u}}_i\right)}}^2.$ En remplaçant les paramètres du modèle dans (4.9) par leurs estimateurs du REML, on obtient un estimateur de l’EQM sous le plan de l’estimateur EB, désigné par ${\text{eqm}}_d^{*}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}\right).$ Cet estimateur de l’EQM sous-estime vraisemblablement l’EQM sous le plan de l’estimateur EB, parce que le meilleur estimateur (2.6) ne tient pas compte de la variabilité des estimateurs des paramètres du modèle.

Un estimateur composite de l’EQM, ${\text{eqm}}_c^{*}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}\right),$ s’obtient maintenant en prenant une combinaison pondérée de ${\text{eqm}}_d^{*}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}\right)$ et de l’estimateur de l’EQM sous le modèle $\text{eqm}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}\right)$ avec les poids ${\widehat{\gamma }}_i$ et $1-{\widehat{\gamma }}_i$ , respectivement. Il est donné par

$${\text{eqm}}_c^{*}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}\right)={\widehat{\gamma }}_i{\text{eqm}}_d^{*}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}\right)+\left(1-{\widehat{\gamma }}_i\right)\text{eqm}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}\right).(4.10)$$

Molina et Kominiak (2017) ont proposé des estimateurs bootstrap paramétriques et non paramétriques de l’EQM sous le plan de ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EB}}.$ Ils ont également obtenu un estimateur composite de l’EQM, similaire à(4.10), en utilisant l’estimateur bootstrap non paramétrique (BNP) de l’EQM et l’estimateur bootstrap paramétrique (BP) de l’EQM comme composantes de l’estimateur composite de l’EQM associé à ${\widehat{\gamma }}_i$ et $\left(1-{\widehat{\gamma }}_i\right),$ respectivement. Comme l’ont fait remarquer ces auteurs, un inconvénient de cet estimateur composite de l’EQM est qu’il faut exécuter à la fois la procédure BP et la procédure BNP pour chaque domaine, ce qui ralentit les calculs. Molina et Kominiak (2017) ont également proposé un estimateur composite bootstrap paramétrique sous le plan (BPP) de l’EQM. L’estimateur BPP évite d’exécuter à la fois la procédure BP et la procédure BNP pour chaque domaine. Les deux estimateurs composites bootstrap de l’EQM ont donné de bons résultats dans une étude en simulation basée sur le plan de sondage.

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