Coordination d’échantillons spatialement équilibrés
Section 5. Résultats empiriques

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5.1  Performance de chevauchement

Une simulation Monte Carlo a servi à étudier les résultats de chevauchement des méthodes proposées. Pour chacune des quatre configurations de simulation décrites plus loin, le nombre d’exécutions était $\begin{array}{c}m={10}^4\text{.}\end{array}$ Dans chaque simulation, les échantillons ont été tirés en utilisant les méthodes proposées. Les mêmes nombres aléatoires permanents ont été employés pour toutes les méthodes. La distance euclidienne entre les unités a été utilisée pour tous les plans d’échantillonnage spatial. Dans chaque simulation, pour la MPL avec les NAP, une matrice de dimensions $N\times N$ des NAP a été générée aléatoirement; les éléments de la diagonale de cette matrice ont été utilisés comme NAP pour les plans de Poisson, EPSC et EPSC transformé avec NAP. Tous les plans d’échantillonnage ont été appliqués pour la coordination positive et négative, respectivement, en utilisant dans chaque simulation les mêmes NAP et la même matrice des distances. Chaque simulation comprenait le tirage des types d’échantillons $s_1$ et $s_2$ qui suivent :

• deux échantillons poissonniens obtenus par sélection indépendante, coordination positive avec NAP et coordination négative avec NAP, respectivement;
• deux échantillons MPL obtenus par sélection indépendante, coordination positive avec NAP et coordination négative avec NAP, respectivement;
• deux échantillons EPSC obtenus par sélection indépendante, coordination positive avec NAP et coordination négative avec NAP, respectivement;
• deux échantillons EPSC transformés obtenus par sélection indépendante, coordination positive avec NAP et coordination négative avec NAP, respectivement; les deux stratégies décrites à la section 4.2 ont été employées en utilisant $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}$0,25; 0,50 et 0,75, respectivement.

Trois mesures ont été utilisées pour quantifier la performance des méthodes proposées, pour ce qui est de la coordination positive et négative, respectivement :

• le chevauchement espéré Monte Carlo

$$E_{\text{sim}}\left(c\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m{c}_l^{\mathrm{1,}2}}\mathrm{,}$$

• $c_l^{\mathrm{1,}2}\mathrm{<mo>=</mo>}\left|s_{1l}\cap s_{2l}\right|\mathrm{,}$ et $s_{1l}\text{},$ $s_{2l}\text{},$ sont les échantillons tirés dans la $l^{\text{e}}$ simulation, où $\left|s_{1l}\cap s_{2l}\right|$ représente le nombre d’unités communes à $s_{1l}$ et $s_{2l};$
• la variance Monte Carlo du chevauchement

$$V_{\text{sim}}\left(c\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{m-1}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m{\left(c_l^{\mathrm{1,}2}-E_{\text{sim}}\left(c\right)\right)}^2}\text{}\mathrm{<mo>;</mo>}$$

• le coefficient de variation Monte Carlo du chevauchement

$${\text{CV}}_{\text{sim}}\left(c\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt{V_{\text{sim}}\left(c\right)}}{E_{\text{sim}}\left(c\right)}\mathrm{.}$$

La corrélation entre ${\pi }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\pi }_{1i}\right)}_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}N}$ et ${\pi }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\pi }_{2i}\right)}_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}N}$ est un facteur important du degré de coordination de l’échantillon. Cette corrélation varie et prend des valeurs extrêmes dans les quatre configurations de simulation qui suivent utilisées pour étudier la performance des méthodes proposées :

• Population MU284 statique : de l’ensemble de données MU284 (voir l’annexe B dans Särndal et coll., 1992), nous avons tiré la région 2. La taille de la population est $N\mathrm{<mo>=</mo>\; 48,}$ et les tailles espérées d’échantillon sont $n_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 10,}{n}_2\mathrm{<mo>=</mo>\; 6,}$ respectivement. Les probabilités d’inclusion d’ordre un ${\pi }_{i1}$ sont calculées en utilisant la variable P75 (population en 1975, en milliers), et les ${\pi }_{i2}\text{,}$ en utilisant la variable P85 (population en 1985, en milliers). Les éléments de la matrice des distances ont été générés artificiellement en effectuant des tirages indépendants à partir de la loi $N\left(\mathrm{0,1}\right)$ et en prenant les valeurs absolues. Le coefficient de corrélation entre ${\pi }_1$ et ${\pi }_2$ est 0,99.
• Données de Baltimore : l’ensemble de données de Baltimore concerne les prix de vente des maisons et les indices hédoniques (voir Dubin, 1992). Il est disponible en ligne sur le site Web du GeoDa Center for Geospatial Analysis and Computation (2017). Les renseignements sur $N\mathrm{<mo>=</mo>\; 211}$  maisons sont fournis par 17 variables. Les coordonnées géographiques des maisons sont disponibles. Nous utilisons $n_1\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_2\mathrm{<mo>=</mo>\; 25.}$ Les probabilités d’inclusion d’ordre un ${\pi }_{i1}$ sont calculées en utilisant la variable AGE (âge de la maison) et les ${\pi }_{i2}\text{,}$ en utilisant AGE+5. Les éléments de la matrice des distances sont les distances euclidiennes entre les coordonnées géographiques sur la grille du Maryland des maisons incluses dans l’ensemble de données. Le coefficient de corrélation entre ${\pi }_1$ et ${\pi }_2$ est de 1.
• Population dynamique MU284 : nous avons utilisé les régions 2 et 3 tirées de l’ensemble de données MU284. Nous avons créé une population dynamique en sélectionnant aléatoirement, à la première période, 50 % des unités dans la région 2 par échantillonnage aléatoire simple sans remise (ces unités sont les unités « persistantes » et les 50 % d’unités restantes sont les unités « disparues ») et, à la deuxième période, 50 % des unités dans la région 3 par échantillonnage aléatoire simple sans remise (ces unités sont les « nouvelles unités » ou ajouts). Les éléments de la matrice des distances ont été générés artificiellement en effectuant des tirages indépendants à partir de la loi $N\left(\mathrm{0,1}\right)$ et en prenant les valeurs absolues. Pour une simulation, le coefficient de corrélation entre ${\pi }_1$ et ${\pi }_2$ était de 0,08.
• Données artificielles : un ensemble de données caractérisé par $N\mathrm{<mo>=</mo>\; 100,}{n}_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 10,}{n}_2\mathrm{<mo>=</mo>\; 25,}$ ${\pi }_1$ et ${\pi }_2$ non corrélées et générées aléatoirement par des tirages indépendants à partir de la loi $U\left(\mathrm{0,1}\right)$ et mis à l’échelle pour que leur somme soit égale à 10 et à 25, respectivement. Les éléments de la matrice des distances ont été générés artificiellement en effectuant des tirages indépendants à partir de la loi $N\left(\mathrm{0,1}\right)$ et en prenant les valeurs absolues.

Un total de ${10}^4$ exécutions de la simulation ont été utilisées pour calculer les mesures de chevauchement Monte Carlo pour neuf plans dans chaque configuration. Les tableaux 5.1; 5.2; 5.3 et 5.4 donnent les résultats des études Monte Carlo fondées sur les quatre configurations susmentionnées. Pour EPSCT 1 et 2, la valeur de $\alpha$ est également spécifiée dans ces tableaux.

Selon les données des tableaux 5.1, 5.2, 5.3 et 5.4, le plan EPSC donne en général de meilleurs résultats que le plan MPL en ce qui concerne $E_{\text{sim}}\left(c\right)\mathrm{,}$ $V_{\text{sim}}\left(c\right)$ et ${\text{CV}}_{\text{sim}}\left(c\right)$ , pour les deux types de coordination; fait exception le cas de la population MU284 statique sous coordination positive. Dans cette configuration, les paires utilisées pour la sélection de $s_1$ sont également utilisées pour celle de $s_2\mathrm{,}$ puisqu’il n’est pas supposé que des disparitions d’unités et des ajouts de nouvelles unités ont lieu. En l’absence de tels changements dans la population, le plan MPL peut donner de meilleurs résultats que le plan EPSC pour $E_{\text{sim}}\left(c\right)\mathrm{,}$ mais également pour $V_{\text{sim}}\left(c\right)$ et ${\text{CV}}_{\text{sim}}\left(c\right)\mathrm{.}$

Comme prévu, l’échantillonnage de Poisson atteint les bornes BSA et BIA (les légères différences sont dues à l’erreur d’échantillonnage) dans toutes les configurations, mais la variance de chevauchement est très grande sous coordination positive. Cela est attribuable principalement aux tailles aléatoires de $s_1$ et $s_2\mathrm{.}$ Les grandes valeurs de $V_{\text{sim}}\left(c\right)$ ont une incidence sur les valeurs de ${\text{CV}}_{\text{sim}}\left(c\right)\mathrm{.}$ Dans tous les exemples présentés, ce dernier est en général plus grand que les valeurs de ${\text{CV}}_{\text{sim}}\left(c\right)$ fournies par les autres plans d’échantillonnage.

Les résultats des tableaux 5.1, 5.2, 5.3 et 5.4 confirment que la valeur de $\alpha$ dans le cas de l’EPSC transformé détermine le degré de coordination; une valeur plus faible de $\alpha$ donne un plus grand degré de coordination, puisque l’on se rapproche de l’échantillonnage de Poisson (rappelons que $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ dans le plan EPSCT mène à l’échantillonnage de Poisson).

Pour une valeur donnée de $\alpha ,$ les nouvelles stratégies présentées à la section 4.2 donnent des valeurs similaires de $E_{\text{sim}}\left(c\right)$ sous coordination positive, mais le plan EPSCT 2 donne de plus grandes valeurs de $V_{\text{sim}}\left(c\right)$ et ${\text{CV}}_{\text{sim}}\left(c\right)\mathrm{.}$ Pour toutes les valeurs de $\alpha$ utilisées, les plans EPSCT 1 et EPSCT 2 fournissent tous deux des valeurs similaires de ${\text{CV}}_{\text{sim}}\left(c\right)$ sous coordination positive et négative dans nos exemples, sauf le plan EPSCT 2 avec $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}$0,25. Ce dernier donne des résultats très proches de ceux de l’échantillonnage de Poisson sous coordination négative, comme en témoignent les données des tableaux 5.1, 5.2, 5.3 et 5.4.

Pour l’échantillonnage de Poisson, les tableaux 5.1, 5.2, 5.3 et 5.4 montrent un résultat intéressant pour ${\text{CV}}_{\text{sim}}\left(c\right)\mathrm{.}$ Tandis que les valeurs de $V_{\text{sim}}\left(c\right)$ sont grandes pour la coordination positive comparativement à celles observées pour les plans MPL et EPSC, il n’en est pas ainsi pour la coordination négative. Toutefois, dans le dernier cas, si $E_{\text{sim}}\left(c\right)\sim V_{\text{sim}}\left(c\right)$ et que les deux valeurs sont faibles comme dans le tableau 5.2, la valeur correspondante de ${\text{CV}}_{\text{sim}}\left(c\right)$ devient très grande. Comme nous l’avons mentionné, il peut également en être ainsi pour les plans EPSCT avec de faibles valeurs de $\alpha \mathrm{.}$ L’amélioration résultant de l’introduction de cette nouvelle famille de plans comparativement à l’échantillonnage de Poisson est mesurée pour ces situations en fonction du degré d’équilibre spatial, comme il est montré à la section suivante.

5.2  Équilibre spatial et variance de la taille d’échantillon

En utilisant la simulation Monte Carlo, nous comparons le plan EPSC transformé aux autres plans d’échantillonnage pour ce qui est de l’équilibre spatial. Le degré d’équilibre spatial est déterminé au moyen de la mesure $B$ donnée par l’expression (3.3). Pour le plan EPSC transformé, nous utilisons les deux stratégies présentées à la section 4.2, ainsi que les quatre configurations de simulation précédentes. La mesure $B$ a été calculée sur les mêmes échantillons $s_1$ que ceux utilisés pour obtenir les résultats présentés aux tableaux 5.1, 5.2, 5.3 et 5.4, respectivement. La mesure globale qui suit a été utilisée pour chaque type d’échantillon

$$E_{\text{sim}}\left(B\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m{B}_l}\mathrm{,}$$

où $B_l$ représente la mesure $B$ calculée sur un échantillon réalisé dans la $l^{\text{e}}$ simulation. Aux fins de comparaison, nous présentons aussi la moyenne des mesures $B$ calculée sur les simulations Monte Carlo pour l’échantillonnage de Poisson et la MPL.

Le plan EPSCT est également comparé à l’échantillonnage de Poisson pour ce qui est de la variance de la taille d’échantillon calculée sur les simulations Monte Carlo en utilisant :

$$V_{\text{sim}}\left(\text{taille}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{m-1}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m{\left(\left|s_l\right|-\left|\overline{s}\right|\right)}^2\text{}}\mathrm{,}$$

où $\left|s_l\right|$ représente la taille d’un échantillon réalisé $s_l$ dans la $l^{\text{e}}$ simulation et $\left|\overline{s}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{m}{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m\left|s_l\right|}\mathrm{.}$

Les tableaux 5.5, 5.6, 5.7 et 5.8 donnent les résultats. L’examen de ces derniers montre que le choix de $\alpha$ détermine la performance du plan EPSC transformé pour ce qui est de la mesure $B$ moyenne, c’est-à-dire qu’une plus grande valeur de $\alpha$ aboutit à un plus grand degré d’équilibre spatial. Cependant, dans toutes les configurations, le degré d’équilibre spatial est pire que pour les plans MPL et EPSC, mais meilleur que pour l’échantillonnage de Poisson comme il était prévu, puisque le dernier n’est pas un échantillonnage spatialement équilibré.

Pour les quatre configurations de la simulation, la variance de la taille d’échantillon est beaucoup plus élevée sous échantillonnage de Poisson que sous les plans EPSCT 1 et EPSCT 2, pour toutes les valeurs de $\alpha .$ Alors que EPSCT 2 avec $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}$0,25 a une performance très proche de celle de l’échantillonnage de Poisson dans les exemples présentés à la section 5.1 pour la coordination négative, nous constatons toutefois que les valeurs correspondantes de $V_{\text{sim}}\left(\text{taille}\right)$ pour la première méthode sont nettement plus petites que celles fournies par l’échantillonnage de Poisson.

Comme il est souligné à la section 4.2, le plan EPSCT 1 donne une plus petite variance de la taille d’échantillon que le plan EPSCT 2 pour la même valeur de $\alpha \mathrm{.}$ Les résultats dans nos conditions de simulation confirment, tant pour EPSCT 1 que pour EPSCT 2, que la variance de la taille d’échantillon diminue quand $\alpha$ augmente.

5.3  Estimation de la variance

Dans les enquêtes répétées, les estimations de la variation nette, des moyennes de période et de la variation brute présentent un intérêt. Les méthodes que nous proposons conviennent pour estimer ce genre de paramètres. Par contre, l’estimation de leur variance est un problème insoluble sous nos méthodes et il n’est pas abordé ici. Nous n’étudions qu’empiriquement l’effet de chaque méthode d’équilibrage spatial coordonné sur la qualité des estimations de deux des paramètres susmentionnés. Notons qu’il existe des estimateurs de variance approximatifs pour l’état qui peuvent être utilisés pour les plans MPL et EPSC (Grafström et Schelin, 2014), mais une étude plus approfondie est nécessaire pour dériver un estimateur approximatif pour la covariance entre les estimateurs d’état successifs sous coordination.

Considérons une enquête répétée à deux périodes. Soit $y$ la variable d’intérêt, mesurée à la première et à la deuxième période, respectivement. Nous désignons par $y_{it}$ la valeur de cette variable prise par  l’unité $i\in U$ à la période $t,$ avec $t\in \left\{\mathrm{1,}2\right\}\mathrm{.}$ Soit $x_{it}$ la valeur d’une variable auxiliaire prise par l’unité $i\in U$ à la période $t;$ la variable $x$ est bien corrélée avec $y\mathrm{,}$ et disponible pour toutes les unités $i\in U$ aux deux périodes. Nous supposons que $x_{it}$ est connue pour toute unité $i\in U$ d’après un recensement antérieur ou qu’un échantillonnage à deux phases est utilisé, de manière à obtenir la valeur de $x_{it}$ à la première phase, tandis que le processus de coordination est abordé à la deuxième phase de l’échantillonnage. La notation $E_M\left(\mathrm{.}\right)$ et ${\text{var}}_M\left(\mathrm{.}\right)$ indique l’espérance et la variance sous un modèle. Nous empruntons à Grafström et Tillé (2013) le modèle de superpopulation transversal avec corrélation spatiale qui suit

$$y_{i\mathrm{,}t-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_0+x_{i\mathrm{,}t-1}{\beta }_1+{\epsilon }_{i\mathrm{,}t-1}\mathrm{,}(5.1)$$

où ${\beta }_0$ et ${\beta }_1$ sont des paramètres, où ${\epsilon }_{i\mathrm{,}t-1}$ sont des variables aléatoires, avec $E_M\left({\epsilon }_{i\mathrm{,}t-1}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,}$ ${\text{var}}_M\left({\epsilon }_{i\mathrm{,}t-1}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_i^2\text{}\mathrm{,}$ ${\text{cov}}_M\left({\epsilon }_i\text{}\mathrm{,}{\epsilon }_j\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_i{\sigma }_j{\rho }^{d\left(i\mathrm{,}j\right)}\text{}\mathrm{,}$ où $d\left(i\mathrm{,}j\right)$ représente la distance entre les unités $i$ et $j\mathrm{,}$ pour $i\mathrm{,}j\in U\mathrm{.}$ La forme particulière de ${\text{cov}}_M\left({\epsilon }_i\text{}\mathrm{,}{\epsilon }_j\right)$ dans le modèle (5.1) souligne une fonction décroissante de la distance entre $i$ et $j\mathrm{,}$ ce qui traduit le fait que la proximité des unités implique une plus grande corrélation spatiale. Nous considérons le modèle autorégressif qui suit

$$y_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_0+{\delta }_1{y}_{i\mathrm{,}t-1}+{\gamma }_{it}\text{}\mathrm{,}(5.2)$$

où ${\delta }_0$ et ${\delta }_1$ sont des paramètres, et où ${\gamma }_{it}$ représente des variables aléatoires indépendantes, avec $E_M\left({\gamma }_{it}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,}{\text{var}}_M\left({\gamma }_{it}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{u}^2\text{}\mathrm{.}$ Nous supposons aussi que nous avons le modèle suivant

$$x_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_0+{\alpha }_1{x}_{i\mathrm{,}t-1}+{\tilde{\gamma }}_{it}\text{}\mathrm{,}(5.3)$$

où ${\alpha }_0$ and ${\alpha }_1$ sont des paramètres, où ${\tilde{\gamma }}_{it}$ représente des variables aléatoires indépendantes, avec $E_M\left({\tilde{\gamma }}_{it}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,}{\text{var}}_M\left({\tilde{\gamma }}_{it}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{u}}^2\text{}\mathrm{.}$ Nous obtenons donc une dépendance spatio-temporelle des données grâce aux modèles (5.1), (5.2) et (5.3).

Nous considérons que les ${\pi }_{it}$ sont construites en utilisant l’expression

$${\pi }_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n_t{x}_{it}}{{\displaystyle {\sum }_{j\in U}{x}_{jt}}}\mathrm{,}t\in \left\{\mathrm{1,}2\right\}\mathrm{,}$$

qui mène à une corrélation entre ${\pi }_{t-1}$ et ${\pi }_t$ en vertu du modèle (5.3).

Nous considérons les paramètres d’intérêt suivants, à savoir la variation sur une période $D\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U_1}{y}_{i_1}}-{\displaystyle {\sum }_{i\in U_2}{y}_{i2}}$ et la moyenne sur deux périodes $A\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}\left({\displaystyle {\sum }_{i\in U_1}{y}_{i_1}}+{\displaystyle {\sum }_{i\in U_2}{y}_{i2}}\right)\mathrm{.}$ Les deux paramètres sont estimés par

$$\widehat{D}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in s_1}}\frac{y_{i_1}}{{\pi }_{i1}}-{\displaystyle \sum _{i\in s_2}}\frac{y_{i2}}{{\pi }_{i2}}\mathrm{,}$$

et

$$\widehat{A}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}\left({\displaystyle \sum _{i\in s_1}}\frac{y_{i_1}}{{\pi }_{i1}}+{\displaystyle \sum _{i\in s_2}}\frac{y_{i2}}{{\pi }_{i2}}\right)\mathrm{,}$$

respectivement. Nous avons

$$\text{var}\left(\widehat{D}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\text{var}\left({\displaystyle \sum _{i\in s_1}}\frac{y_{i_1}}{{\pi }_{i1}}\right)+\text{var}\left({\displaystyle \sum _{i\in s_2}}\frac{y_{i2}}{{\pi }_{i2}}\right)-2\text{cov}\left({\displaystyle \sum _{i\in s_1}}\frac{y_{i_1}}{{\pi }_{i1}}\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{i\in s_2}}\frac{y_{i2}}{{\pi }_{i2}}\right)\mathrm{,}(5.4)$$

$$\text{var}\left(\widehat{A}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{4}\text{var}\left({\displaystyle \sum _{i\in s_1}}\frac{y_{i_1}}{{\pi }_{i1}}\right)+\frac{1}{4}\text{var}\left({\displaystyle \sum _{i\in s_2}}\frac{y_{i2}}{{\pi }_{i2}}\right)+\frac{1}{2}\text{cov}\left({\displaystyle \sum _{i\in s_1}}\frac{y_{i_1}}{{\pi }_{i1}}\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{i\in s_2}}\frac{y_{i2}}{{\pi }_{i2}}\right)\mathrm{,}(5.5)$$

où $\text{var}\left(\mathrm{.}\right)$ et $\text{cov}\left(\mathrm{.,.}\right)$ représentent les opérateurs de variance et de covariance, respectivement.

Selon l’expression (5.4), si $s_1$ et $s_2$ sont coordonnés positivement, la variance de $\widehat{D}$ est réduite en général grâce à un chevauchement des échantillons, puisqu’une covariance positive entre ${\displaystyle {\sum }_{i\in s_1}{y}_{i_1}/{\pi }_{i1}}$ et ${\displaystyle {\sum }_{i\in s_2}{y}_{i2}/{\pi }_{i2}}$ est réalisée comparativement à la sélection d’échantillons indépendants. De même, de l’expression (5.5), il découle que la sélection d’échantillons indépendants réduit la variance de $\widehat{A}$ comparativement aux échantillons positivement coordonnés, parce que cette covariance est nulle. La coordination négative des échantillons peut aboutir à une covariance négative entre ${\displaystyle {\sum }_{i\in s_1}{y}_{i_1}/{\pi }_{i1}}$ et ${\displaystyle {\sum }_{i\in s_2}{y}_{i_2}/{\pi }_{i2}},$ et la variance de $\widehat{A}$ peut diminuer comparativement à la sélection d’échantillons indépendants.

Nous avons créé une population de taille $N\mathrm{<mo>=</mo>\; 100}$ en utilisant les modèles (5.1), (5.2), et (5.3). Aucune nouvelle unité ou disparition d’unité n’a été prise en considération. La matrice des distances a été générée artificiellement en utilisant les valeurs absolues de tirages indépendants à partir de la loi $N\left(\mathrm{0,1}\right).$ Nous avons pris ${\beta }_0\mathrm{<mo>=</mo>\; 4,}$ ${\beta }_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 2,}$ $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,9}\mathrm{,}$ ${\delta }_0\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,}$ ${\delta }_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}$ ${\alpha }_0\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,}$ ${\alpha }_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}$ ${\tilde{\gamma }}_i\sim N\left(\mathrm{0,1}\right)\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots ,N\mathrm{,}$ iid et ${\gamma }_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_1{\tilde{\gamma }}_i\text{}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{.}$ Nous avons également généré artificiellement les $x_{i1}$ comme des tirages aléatoires indépendants à partir de la loi $N\left(\mathrm{4,1}\right).$ La corrélation entre $y_1$ et $y_2$ était approximativement de 0,72, tandis qu’entre $y_t$ et $x_t\text{}\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}2,$ elle était approximativement de 0,9. Sur la base de cette population, nous avons créé deux configurations différentes, en faisant varier $n_1$ et $n_2\mathrm{<mo>:</mo>}$ dans la première configuration, $n_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 10,}{n}_2\mathrm{<mo>=</mo>\; 25,}$ tandis que dans la seconde, $n_1\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_2\mathrm{<mo>=</mo>\; 50.}$ La corrélation entre ${\pi }_1$ et ${\pi }_2$ était approximativement de 0,7 dans les deux configurations.

Nous avons étudié empiriquement l’effet que chaque méthode proposée sur $\text{var}\left(\widehat{D}\right)$ et $\text{var}\left(\widehat{A}\right)$ par simulation Monte Carlo. Pour chaque configuration, nous avons tiré $\begin{array}{c}m={10}^4\end{array}$ échantillons comme il est décrit au début de la section 5.1. Les figures 5.1 et 5.2 donnent les boîtes à moustaches (boxplots) correspondant aux valeurs de $\widehat{D}$ obtenues par simulation Monte Carlo, pour les deux configurations. Les boîtes à moustaches blanches correspondent aux valeurs de $\widehat{D}$ obtenues pour des échantillons $s_1$ et $s_2$ indépendants, et les boîtes grises, à celles obtenues pour des échantillons $s_1$ et $s_2$ coordonnés positivement. Le plan d’échantillonnage est précisé sous chaque boîte à moustaches (par exemple, EPSCT1_indép_0,25 signifie EPSCT 1 avec sélection d’échantillons indépendants et $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}$0,25 pour les deux sélections, tandis que EPSCT1_pos_0,25 signifie EPSCT 1 avec échantillons coordonnés positivement et $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}$0,25 pour les deux sélections).

Similairement, les figures 5.3 et 5.4 donnent les boîtes à moustaches correspondant aux valeurs de $\widehat{A}$ obtenues par simulation Monte Carlo, pour les deux configurations, respectivement. Les boîtes à moustaches blanches correspondent aux valeurs de $\widehat{A}$ obtenues pour des échantillons $s_1$ et $s_2$ indépendants, tandis que les grises correspondent à celles obtenues pour des échantillons $s_1$ et $s_2$ coordonnés négativement. Dans toutes les figures, le plan MPL avec NAP ainsi que le plan EPSC avec NAP donnent un plus petit étalement des valeurs de $\widehat{D}$ et des valeurs de $\widehat{A}$ que les plans d’échantillonnage de Poisson, puisque ces méthodes fournissent toutes deux des tailles d’échantillon fixes et sont capables de gérer la corrélation spatiale des données.

Les figures 5.1 et 5.2 révèlent un profil similaire des boîtes à moustaches, à savoir qu’un chevauchement plus important entre $s_1$ et $s_2$ mène à un plus petit étalement des valeurs de $\widehat{D}.$ Comme prévu, l’étalement des valeurs de $\widehat{D}$ est réduit pour chaque type d’échantillons coordonnés positivement comparativement à la sélection d’échantillons indépendants. Cependant, pour les plans MPL et EPSC, cette réduction est moins importante. Cela peut s’expliquer par le plus petit chevauchement des échantillons coordonnés positivement sous les plans MPL et EPSC que sous les autres plans, comme le montrent les exemples de la section 5.1. Les plus grandes tailles d’échantillon dans la deuxième configuration réduisent l’étalement des valeurs de $\widehat{D}$ dans le cas des échantillons coordonnés positivement (boîtes grises) comparativement à la sélection d’échantillons indépendants (boîtes blanches). Dans les figures 5.3 et 5.4, la coordination négative réduit en général l’étalement des valeurs de $\widehat{A}$ comparativement à la sélection d’échantillons indépendants. Comme aux figures 5.1 et 5.2, cette réduction est moins importante pour les plans MPL et EPSC que, par exemple, pour l’échantillonnage de Poisson et le plan EPSCT 2.

Afin de quantifier la performance des méthodes proposées, pour la coordination positive et négative, respectivement, nous avons utilisé la variance Monte Carlo

$${\text{Var}}_{\text{MC}}\left(\theta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{m-1}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\left({\theta }_l-E_{\text{sim}}\left(\theta \right)\right)}^2\mathrm{,}$$

où ${\theta }_l$ est la valeur de $\widehat{D}$ ou $\widehat{A}$ obtenue dans la $l^{\text{e}}$ simulation et $E_{\text{sim}}\left(\theta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{m}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m{\theta }_j}\mathrm{.}$ La réduction de l’estimation de la variance de $\widehat{D}$ grâce au chevauchement des échantillons est résumée au tableau 5.9. Le tableau montre les valeurs du ratio entre ${\text{var}}_{\text{MC}}\left(\widehat{D}\right)$ obtenue en utilisant des échantillons positivement coordonnés et ${\text{var}}_{\text{MC}}\left(\widehat{D}\right)$ obtenue en utilisant des échantillons indépendants, pour les deux configurations. Nous constatons que, pour tous les plans d’échantillonnage, ce ratio est inférieur à 1, ce qui indique une réduction de la variance grâce au chevauchement des échantillons. Le tableau 5.10 donne les valeurs du ratio entre ${\text{var}}_{\text{MC}}\left(\widehat{A}\right)$ obtenue en utilisant des échantillons coordonnés négativement et ${\text{var}}_{\text{MC}}\left(\widehat{A}\right)$ obtenue en utilisant des échantillons indépendants pour les deux configurations. Pour la première configuration, sauf dans le cas de l’échantillonnage de Poisson, le ratio est proche de 1, indiquant que l’amélioration due aux échantillons coordonnés négativement comparativement aux échantillons indépendants est négligeable. La deuxième configuration, où de plus grandes tailles d’échantillon sont utilisées, montre une amélioration importante pour EPSCT 2, mais non pour MPL et EPSC.

En résumé, les plans MPL avec NAP, EPSC avec NAP et la famille de plans EPSCT réduisent la variance Monte Carlo des différences grâce au chevauchement des échantillons comparativement à la sélection d’échantillons indépendants dans le cas des deux configurations. Pour la sélection d’échantillons indépendants, ces méthodes sont plus précises que l’échantillonnage de Poisson, parce qu’elles sont capables de gérer la tendance spatiale présente dans la variable d’intérêt, et que les tailles d’échantillon sont fixes (pour les plans MPL et EPSC en utilisant la « stratégie de pondération maximale ») ou moins variables que pour l’échantillonnage de Poisson. La variance Monte Carlo des moyennes est réduite de manière négligeable par les plans MPL et EPSC en utilisant des échantillons coordonnés négativement comparativement à des échantillons indépendants dans les deux configurations. La famille de plans EPSC transformés montre une réelle amélioration dans le cas de la deuxième configuration, quand $n_1$ et $n_2$ sont relativement grandes, pour tout $\alpha \mathrm{.}$

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