Coordination d’échantillons spatialement équilibrés
Section 3. Échantillonnage spatialement équilibré

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Les deux plans d’échantillonnage spatial pour lesquels nous avons l’intention d’introduire la coordination sont décrits brièvement ci-après pour un échantillon générique $s$ de taille fixe $n\mathrm{.}$

3.1  Méthode du pivot local

La méthode du pivot local (Grafström et coll., 2012) est une application spatiale de la méthode du pivot (Deville et Tillé, 1998). Soit $\pi =\left({\pi }_1\text{}\mathrm{,}{\pi }_2\text{}\mathrm{,}\mathrm{...,}{\pi }_N\right)$ un vecteur donné de probabilités d’inclusion, dont la somme est $n,$ ${\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(i\in s\right)\mathrm{,}i\in U\mathrm{.}$ Le vecteur $\pi$ est mis à jour successivement pour devenir un vecteur contenant $N-n$ zéros et $n$ uns, où les uns indiquent les unités sélectionnées. Une unité possédant encore une probabilité (possiblement mise à jour) comprise strictement entre 0 et 1 est appelée indécise. Dans une étape de la MPL, une paire d’unités $i\mathrm{,}j\in U$ est choisie pour concourir. Plus précisément, l’unité $i$ est choisie aléatoirement parmi les unités indécises, et l’unité concurrente $j$ de l’unité $i$ est le plus proche voisin de $i$ parmi les unités indécises. Donc, nous appliquons la méthode du pivot localement dans l’espace. L’unité gagnante reçoit autant de masse de probabilité que possible en provenance de la perdante, de sorte que la gagnante se retrouve avec ${\pi }_w\mathrm{<mo>=</mo>}\min \left(\mathrm{1,}{\pi }_i+{\pi }_j\right)$ et la perdante garde ce qui reste éventuellement ${\pi }_l\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i+{\pi }_j-{\pi }_w.$ Les règles de la compétition sont

$$\left({\pi }_i\text{}\mathrm{,}{\pi }_j\right)\mathrm{<mo>:</mo>\; <mo>=</mo>}\{\begin{array}{ll}\left({\pi }_w\text{}\mathrm{,}{\pi }_l\right)\hfill & \text{avec}\text{probabilité}\left({\pi }_w-{\pi }_j\right)/\left({\pi }_w-{\pi }_l\right)\hfill \\ \left({\pi }_l\text{}\mathrm{,}{\pi }_w\right)\hfill & \text{avec}\text{probabilité}\left({\pi }_w-{\pi }_i\right)/\left({\pi }_w-{\pi }_l\right)\hfill \end{array}\mathrm{.}(3.1)$$

Le résultat final est décidé pour au moins une unité à chaque mise à jour, si bien que la procédure compte au plus $N$ étapes. Comme les unités voisines concourent les unes contre les autres en vue d’être incluses, il est peu probable qu’elles soient incluses simultanément dans un échantillon.

3.2  Échantillonnage de Poisson spatialement corrélé

La méthode d’échantillonnage de Poisson spatialement corrélé (Grafström, 2012) est une application spatiale de la méthode d’échantillonnage de Poisson corrélé (Bondesson et Thorburn, 2008). Soit $\pi \mathrm{<mo>=</mo>}\left({\pi }_1\text{}\mathrm{,}{\pi }_2\text{}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\pi }_N\right)$ un vecteur donné de probabilités d’inclusion, dont la somme est $n,$ ${\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(i\in s\right)\mathrm{,}i\in U\mathrm{.}$ Le vecteur $\pi$ est mis à jour séquentiellement pour devenir un vecteur contenant $N-n$ zéros et $n$ uns, où les uns indiquent les unités sélectionnées. La première unité 1 est incluse avec la probabilité ${\pi }_1^{\left(0\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_1.$ Si l’unité 1 a été incluse, nous fixons $I_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ et sinon, $I_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 0.}$ Généralement, à l’étape $j,$ quand les valeurs pour $I_1\text{}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{I}_{j-1}$ ont été enregistrées, l’unité $j$ est incluse avec la probabilité ${\pi }_j^{\left(j-1\right)}.$ Alors, les probabilités d’inclusion sont mises à jour pour les unités $i\mathrm{<mo>=</mo>}j+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}N\text{},$ conformément à

$${\pi }_i^{\left(j\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i^{\left(j-1\right)}-\left(I_j-{\pi }_j^{\left(j-1\right)}\right)w_j^{\left(i\right)}\text{}\mathrm{,}(3.2)$$

où $w_j^{\left(i\right)}$ représentent les poids donnés par l’unité $j$ aux unités $i\mathrm{<mo>=</mo>}j+\mathrm{1,}j+\mathrm{2,}\dots ,N$ et ${\pi }_i^{\left(0\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i.$ Le poids $w_j^{\left(i\right)}\text{},$ $j\mathrm{<mo><</mo>}i$ détermine comment la probabilité d’inclusion de l’unité $i$ doit être affectée par le résultat d’échantillonnage de l’unité $j.$ Plus précisément, le poids $w_j^{\left(i\right)}\text{},$ $j\mathrm{<mo><</mo>}i$ peut dépendre du résultat d’échantillonnage précédent $I_1\text{}\mathrm{,}{I}_2\text{}\mathrm{,}\dots ,I_{j-1}$ , mais non des résultats futurs $I_j\text{}\mathrm{,}{I}_{j+1}\text{}\mathrm{,}\dots ,I_N.$ Les poids doivent aussi satisfaire les contraintes suivantes

$$-\min \left(\frac{1-{\pi }_i^{\left(j-1\right)}}{1-{\pi }_j^{\left(j-1\right)}}\mathrm{,}\frac{{\pi }_i^{\left(j-1\right)}}{{\pi }_j^{\left(j-1\right)}}\right)\le w_j^{\left(i\right)}\le \min \left(\frac{{\pi }_i^{\left(j-1\right)}}{1-{\pi }_j^{\left(j-1\right)}}\mathrm{,}\frac{1-{\pi }_i^{\left(j-1\right)}}{{\pi }_j^{\left(j-1\right)}}\right)$$

afin que l’expression $0\le {\pi }_i^{\left(j-1\right)}\le 1,$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}j\text{}\mathrm{,}j+\mathrm{1,}\dots ,N\text{},$ soit vérifiée. Les probabilités d’inclusion inconditionnelles ne sont pas affectées par les poids, puisque la règle de mise à jour (3.2) donne

$$E\left({\pi }_i^{\left(i-1\right)}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}E\left(E\left({\pi }_i^{\left(i-1\right)}|{\pi }_i^{\left(i-2\right)}\right)\right)\mathrm{<mo>=</mo>}E\left({\pi }_i^{\left(i-2\right)}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i\mathrm{.}$$

Donc, la méthode donne toujours les probabilités d’inclusion prescrites ${\pi }_i\text{}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\mathrm{2,}\dots ,N\mathrm{.}$

Bondesson et Thorburn (2008) ont montré qu’un échantillonnage de taille fixe est obtenu uniquement si ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N{\pi }_i}\mathrm{<mo>=</mo>}n$ et que les poids sont choisis de façon que ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>}j+1}^N{w}_j^{\left(i\right)}}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}j\in U\text{}\mathrm{.}$

Pour réaliser l’équilibre spatial, les poids doivent être choisis en se fondant sur la distance entre les unités. L’approche la plus fréquente pour choisir les poids dans l’EPSC est que l’unité $j$ donne d’abord autant de poids que possible à l’unité la plus proche (en distance) parmi les unités $i\mathrm{<mo>=</mo>}j+\mathrm{1,}j+\mathrm{2,}\dots ,N\text{},$ puis autant de poids que possible à la deuxième unité la plus proche, et ainsi de suite, sous la contrainte que les poids soient non négatifs et que leur somme soit égale à 1. Cette stratégie est appelée stratégie de pondération maximale. Si les distances sont égales, dans la mesure du possible, le poids est réparti uniformément entre les unités qui sont à égale distance. La priorité est de ne pas appliquer le poids à une unité particulière s’il est possible de l’appliquer à une unité plus proche. La stratégie de pondération maximale produit toujours des échantillons de taille fixe si la somme des probabilités d’inclusion est un entier. Dans la suite de l’exposé, quand nous faisons référence à la méthode EPSC, la « stratégie de pondération maximale » est utilisée.

3.3  Polytopes de Voronoï

Les polytopes de Voronoï sont utilisés pour mesurer le niveau d’équilibre (ou d’étalement) spatial pour ce qui est des probabilités d’inclusion (Stevens et Olsen, 2004). Un polytope $P_i$ est construit pour chaque unité $i\in s,$ et $P_i$ englobe toutes les unités de population plus proches de l’unité $i$ que de toute autre unité de l’échantillon $j\in s\mathrm{,}j\ne i.$ Idéalement, chaque polytope devrait avoir une masse de probabilité égale à 1. Une mesure de l’équilibre spatial d’un échantillon réalisé $s$ est (voir Stevens et Olsen, 2004)

$$B\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i\in s}{\left(v_i-1\right)}^2}\text{}\mathrm{,}(3.3)$$

où $v_i$ est la somme des probabilités d’inclusion des unités dans $P_i.$ La valeur espérée de $B$ sous échantillonnage répété est une mesure du degré avec lequel un plan réussit à sélectionner des échantillons spatialement équilibrés. L’étalement des échantillons sélectionnés est d’autant meilleur que la valeur est faible.

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