Coordination d’échantillons spatialement équilibrés
Section 2. Notation

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Soit $U_1$ et $U_2$ une population (sujette à une évolution au cours du temps) à la période 1 et à la période 2, respectivement, ou soit $U_1$ et $U_2$ deux populations qui se chevauchent. Considérons les échantillons $s_1$ et $s_2$ tirés de $U_1$ et $U_2\mathrm{,}$ en utilisant les plans d’échantillonnage $p_1$ et $p_2\mathrm{,}$ respectivement. Aucune restriction concernant les plans d’échantillonnage $p_1$ et $p_2$ n’est nécessaire pour introduire les définitions à la présente section, autrement dit il peut s’agir de plans d’échantillonnage de taille fixe ou aléatoire, avec ou sans remise.

Soit $U\mathrm{<mo>=</mo>}{U}_1\cup U_2\mathrm{.}$ Nous appelons $U$ la « population globale ». L’ensemble d’étiquettes des unités dans $U$ est $\left\{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}i\mathrm{,}\dots \mathrm{,}N\right\}\mathrm{.}$ Nous définissons sur $U$ le plan d’échantillonnage joint $p$ utilisé pour sélectionner un couple $\left(s_1\mathrm{,}{s}_2\right)\mathrm{.}$ Les échantillons $s_1$ et $s_2$ sont coordonnés si $p\left(s_1\mathrm{,}{s}_2\right)\ne p_1\left(s_1\right)p_2\left(s_2\right),$ c’est-à-dire que les échantillons ne sont pas tirés indépendamment (voir Cotton et Hesse, 1992; Mach, Reiss et Şchiopu-Kratina, 2006). Soit ${\pi }_{i1}\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(i\in s_1\right)$ et ${\pi }_{i2}\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(i\in s_2\right)$ les probabilités d’inclusion d’ordre un de l’unité $i\in U$ dans les premier et deuxième échantillons, respectivement. Il s’ensuit que ${\pi }_{i1}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ si $i\notin U_1$ et ${\pi }_{i2}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ si $i\notin U_2\mathrm{.}$ Donc, il n’est pas nécessaire d’identifier explicitement les appartenances aux sous-populations.

Soit ${\pi }_{i\mathrm{,}12}=P\left(i\in s_1\text{}\mathrm{,}i\in s_2\right)$ la probabilité d’inclusion jointe de l’unité $i\in U$ dans les deux échantillons $s_1$ et $s_2\mathrm{.}$ Si les échantillons $s_1$ et $s_2$ sont tirés indépendamment, ${\pi }_{i\mathrm{,}12}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{i1}{\pi }_{i2}\text{}\mathrm{,}$ pour tout $i\in U\mathrm{.}$

Soit $c$ le chevauchement entre $s_1$ et $s_2\text{}\mathrm{,}$ qui représente le nombre d’unités communes aux deux échantillons; dans la plupart des cas, il s’agit d’une variable aléatoire. Le degré de coordination de $s_1$ et $s_2$ est mesuré par le chevauchement espéré

$$E\left(c\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in U}{\pi }_{i\mathrm{,}12}}\mathrm{,}$$

où ${\pi }_{i\mathrm{,}12}\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(i\in s_1\text{}\mathrm{,}i\in s_2\right)\mathrm{.}$ En utilisant les bornes de Fréchet de la probabilité jointe ${\pi }_{i\mathrm{,}12}\text{},$ il découle que

$${\displaystyle \sum _{i\in U}\max \left(\mathrm{0,}{\pi }_{i1}+{\pi }_{i2}-1\right)}\le E\left(c\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in U}{\pi }_{i\mathrm{,}12}}\le {\displaystyle \sum _{i\in U}\min \left({\pi }_{i1}\text{}\mathrm{,}{\pi }_{i2}\right)}\mathrm{.}(2.1)$$

Dans le cas d’une coordination négative, on veut réaliser la borne de gauche dans l’expression (2.1), c’est-à-dire ${\displaystyle {\sum }_{i\in U}\max \left(\mathrm{0,}{\pi }_{i1}+{\pi }_{i2}-1\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}E\left(c\right)\mathrm{,}$ tandis que dans une coordination positive, on veut réaliser la borne de droite, c’est-à-dire $E\left(c\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}\min \left({\pi }_{i1}\text{}\mathrm{,}{\pi }_{i2}\right)}\mathrm{.}$ Donc, pour optimiser le processus de coordination des échantillons, l’objectif est de réaliser ces bornes, avant le type de coordination, positive ou négative. En empruntant la terminologie de Matei et Tillé (2005), le premier membre de l’équation (2.1) est appelé la borne inférieure absolue (BIA) et le second membre de l’équation (2.1), la borne supérieure absolue (BSA).

Nous nous intéressons ici à la coordination des échantillons en utilisant les NAP. La méthode des NAP a été proposée au départ par Brewer et coll. (1972) pour coordonner des échantillons poissonniens. L’échantillonnage de Poisson avec les NAP permet d’atteindre les bornes de Fréchet données par l’équation (2.1). Pourtant, il aboutit à une taille d’échantillon aléatoire et ne fournit pas d’échantillons spatialement équilibrés. Afin d’obtenir l’équilibre spatial, nous utilisons la méthode du pivot local (Grafström et coll., 2012) ou l’échantillonnage de Poisson spatialement corrélé (Grafström, 2012). Les deux plans d’échantillonnage fournissent un bon degré d’équilibre spatial (voir Grafström et coll., 2012, pour des résultats empiriques). En outre, puisque ces plans d’échantillonnage sont tous deux de taille fixe $\pi \text{ps}$ (échantillonnage avec probabilité proportionnelle à la taille, voir Särndal, Swensson et Wretman, 1992, page 90), la précision des estimateurs est en général améliorée comparativement à l’échantillonnage de Poisson.

Dans la suite de l’exposé, nous considérons que les plans d’échantillonnage $p_1$ et $p_2$ sont des plans sans remise, et nous désignons les tailles d’échantillon de $s_1$ et $s_2$ par $n_1$ et $n_2\text{}\mathrm{,}$ respectivement.

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