Comparaison de certains estimateurs de variance positifs pour le modèle d’estimation sur petits domaines Fay-Herriot 1. IntroductionComparaison de certains estimateurs de variance positifs pour le modèle d’estimation sur petits domaines Fay-Herriot 1. Introduction

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Le modèle de Fay-Herriot (Fay et Herriot 1979) est un modèle de base au niveau du domaine utilisé pour estimer les moyennes de petit domaine lorsque les estimations d’enquête directes disponibles sont imprécises en raison de la petite taille des échantillons. Dans ce modèle, la moyenne de petit domaine est représentée par un terme linéaire non aléatoire dans les covariables, avec un effet aléatoire de domaine. Dans le modèle de Fay-Herriot, on peut obtenir le meilleur estimateur linéaire sans biais (estimateur BLUP pour best linear unbiased predictor) d’une moyenne de petit domaine en minimisant l’erreur quadratique moyenne (EQM) dans la classe des estimateurs linéaires sans biais. L’estimateur BLUP correspond à une moyenne pondérée de l’estimateur d’enquête direct et de l’estimateur synthétique de type régression, les poids dépendant de la variance des effets aléatoires de domaine, ${\sigma }_v^2.$  En règle générale, cette variance doit être estimée à partir des données sous le modèle de Fay-Herriot. On obtient le meilleur estimateur linéaire sans biais empirique (EBLUP) de la moyenne de petit domaine en remplaçant la variance dans la formule de l’estimateur BLUP par une estimation. De nombreuses méthodes bien connues d’estimation de variance sont utilisées dans ce contexte, mais la plus courante est la méthode du maximum de vraisemblance restreint (méthode REML pour restricted maximum likelihood), car elle tient compte de la perte des degrés de liberté attribuable à l’estimation du coefficient de régression. De plus, cette méthode est sans biais jusqu’à l’ordre deux et exige moins d’itérations, car elle converge plus rapidement. Malgré ces caractéristiques importantes, il arrive parfois, particulièrement lorsque le nombre de domaines, $m,$  est petit ou modéré, que la méthode REML produise une estimation de variance nulle. Cela donnerait un poids nul à l’estimateur d’enquête direct dans la formule EBLUP, et l’estimateur EBLUP devient donc un estimateur synthétique de type régression. La plupart des praticiens hésitent toutefois à utiliser les estimateurs synthétiques pour les moyennes de petit domaine, car ceux-ci ne tiennent pas compte des données d’enquête et sont souvent très biaisés. Lorsqu’on a affaire à des ensembles de données réels, pour lesquels les modèles ne sont jamais parfaits, une estimation positive pour ${\sigma }_v^2$  réduit le biais de l’estimateur EBLUP par rapport au modèle synthétique. Certes, une estimation positive de la variance des effets aléatoires produit un estimateur EBLUP « prudent », en ce sens qu’elle attribue un poids positif à l’estimateur d’enquête direct. Elle peut également être considérée comme la somme de l’estimateur de régression et du terme non nul qui tient compte d’une partie du « biais de modèle ». Cette caractéristique donne lieu à une série de méthodes d’estimation de variance qui donnent des estimations positives.

Dans cet article, nous mettons l’accent sur les estimateurs de variance par maximum de vraisemblable ajusté mis au point par Lahiri et Li (2009), et nous proposons un estimateur de variance MIX. Notre estimateur de variance MIX combine un estimateur REML et une des méthodes d’estimation par maximum de vraisemblance ajusté. Nous proposons également un estimateur de l’EQM de l’EBLUP sous la méthode MIX et examinons les propriétés théoriques et en échantillon fini de l’estimateur de variance MIX et de l’estimateur de l’EQM.

Morris (2006) et Lahiri et Li (2009) ont proposé des estimateurs de variance par maximum de vraisemblable ajusté découlant de l’optimisation de la vraisemblance profilée et de la vraisemblance résiduelle ajustée par un facteur $h\left({\sigma }_v^2\right),{\sigma }_v^2> 0.$ Li et Lahiri (2011) ont proposé deux méthodes d’estimation de variance (méthodes AM.LL et AR.LL, associées respectivement à la vraisemblance profilée et à la vraisemblance résiduelle) qui garantissent des estimations positives avec un facteur d’ajustement $h_{\text{LL}}\left({\sigma }_v^2\right)={\sigma }_v^2.$ Yoshimori et Lahiri (2014) ont proposé deux autres méthodes d’estimation de variance (méthodes AM.YL et AR.YL) par ajustement de la vraisemblance profilée et de la vraisemblance résiduelle avec le facteur

$$h_{\text{YL}}\left({\sigma }_v^2\right)={\left\{\text{arctan}\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\sigma }_v^2}/\left({\sigma }_v^2+{\psi }_i\right)\right]\right\}}^{1/m}$$

où ${\psi }_i$ est la variance d’échantillonnage pour le $i^{\text{e}}$  domaine. Il est bien connu que les estimateurs LL sont biaisés, particulièrement lorsque le nombre de domaines est faible ou modéré (Lahiri et Pramanik 2011). La méthode YL, qui ajuste la vraisemblance profilée, produit aussi un estimateur biaisé de ${\sigma }_v^2.$ Le biais de l’estimateur de variance n’affecte toutefois pas l’EQM de l’EBLUP. En effet, l’approximation asymptotique d’ordre deux de l’EQM montre que l’EQM dépend de la variance asymptotique et non du biais de l’estimateur de variance. Cependant, le biais des estimateurs de variance affecte les estimateurs de l’EQM par linéarisation de Taylor et peut produire des estimateurs de l’EQM présentant un biais négatif. Il est alors souhaitable d’examiner d’autres estimateurs de variance positifs.

Yuan (2009) a été le premier à mentionner la méthode consistant à combiner les estimateurs de variance AM.LL et REML pour le modèle Fay-Herriot, mais il n’a pas étudié ses propriétés, empiriques ou autres. Rubin-Bleuer, Yung et Landry (2010, 2011 et 2012) ont effectué des comparaisons empiriques d’un estimateur de variance MIX dans un modèle chronologique et transversal au niveau du domaine, tandis que Rubin-Bleuer et You (2012) ont étudié les propriétés asymptotiques et en échantillon fini de l’estimateur de variance MIX pour le modèle de Fay-Herriot.

Dans cet article, nous formalisons la méthode MIX pour le modèle de Fay-Herriot et prouvons que l’estimateur de variance MIX est sans biais jusqu’à l’ordre deux. En outre, nous proposons un estimateur de l’EQM par linéarisation de Taylor. Nous examinons également les résultats empiriques de l’estimateur MIX pour un nombre faible ou modéré de domaines. En ce qui concerne l’estimation de l’EQM, Rubin-Bleuer et You (2012) et Molina, Rao et Datta (2015) ont tous proposé des estimateurs d’EQM « fractionnés » différents sous l’estimation de variance MIX. Nous montrons que les estimateurs de l’EQM de Rubin-Bleuer et You (2012) et de Molina et coll. (2015) sont sans biais jusqu’à l’ordre deux. Ces estimateurs d’EQM « fractionnés » ont été assujettis à une règle pour les populations qui a donné des estimations nulles sous l’estimation de variance REML et à une autre règle pour les populations qui a donné des estimations positives sous l’estimation de variance REML. Les deux articles susmentionnés ont montré que, pour un petit nombre de domaines, ces estimateurs « fractionnés » ont donné de bons résultats empiriques en termes de biais relatif moyen. Or, ce résultat pourrait être trompeur, car les estimateurs de l’EQM présentent généralement un biais négatif pour les populations où l’estimation de variance REML est nulle, et un biais positif pour les populations où l’estimation REML est positive, le biais s’annulant en moyenne. Étant donné ce qui précède, nous proposons un nouvel estimateur de l’EQM, et nous le comparons à d’autres pour les populations où l’estimation REML est nulle.

Dans la section 2, nous présentons le modèle de Fay-Herriot, l’estimateur EBLUP de la moyenne de petit domaine et une approximation d’ordre deux de l’EQM de l’EBLUP sous le modèle. Dans la section 3, nous décrivons l’estimateur REML et les estimateurs de variance *.LL et *.YL. Dans la section 4, nous présentons un estimateur de variance MIX général et prouvons que son biais est du même ordre que celui de l’estimateur REML. Nous proposons un estimateur sans biais (jusqu’à l’ordre deux) de l’EQM sous la méthode MIX. Dans la section 5, nous menons une étude empirique afin de comparer les différents estimateurs de variance. Il est à noter que nous avons défini l’estimateur de variance MIX comme étant une combinaison de l’estimateur REML et d’un des estimateurs de variance par maximum de vraisemblable ajusté, mais l’estimateur de variance MIX que nous avons choisi pour cette étude combine l’estimateur REML et l’estimateur de variance AM.LL. Nous avons sélectionné cette combinaison, parce que Li et Lahiri (2011) ont déclaré que la méthode de la vraisemblance profilée ajustée avait donné de meilleurs résultats que celle de la vraisemblance résiduelle ajustée (AR.LL) et que le facteur d’ajustement des estimateurs de variance de Yoshimori et Lahiri (2014) était trop proche de zéro (en termes logarithmiques) pour améliorer de façon significative la méthode REML. Enfin, dans la section 6, nous présentons et analysons les résultats de la simulation et tirons des conclusions.

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