Comparaison de certains estimateurs de variance positifs pour le modèle d’estimation sur petits domaines Fay-Herriot 5. Conditions de simulation et mesures de performanceComparaison de certains estimateurs de variance positifs pour le modèle d’estimation sur petits domaines Fay-Herriot 5. Conditions de simulation et mesures de performance

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5.1 Conditions de simulation

Nous avons réalisé une simulation Monte Carlo fondée sur un modèle, en suivant l’exemple de Rubin-Bleuer et You (2012), afin d’examiner la performance en échantillon fini des différentes méthodes. Les estimations « directes » $\left(y_1,\dots ,y_m\right)$ où $m=15,m=45$ et $m=100,$ sont générées à partir du modèle de Fay-Herriot en (2.3) où ${\beta }^{\prime }=\left(5,4,3,2,1\right)$ et les covariables $z_i^{\prime }=\left(1,z_{i2},\dots ,z_{ip}\right),$ générées une fois à partir de distributions normales $z_{ik}\sim k+N\left(1,1\right),$ $k=2,\dots ,5,$ $i=1,\dots ,m,$ et maintenues fixes sur les populations répétées. Les effets aléatoires normaux indépendants de domaine $v_i$ sont générés avec la variance ${\sigma }_v^2=1.$ Des erreurs d’échantillonnage indépendantes $e_i,$ sont générées avec des variances d’échantillonnage ${\psi }_i\triangleq 50/n_i,$ où $n_i$ est la taille de l’échantillon pour le domaine $i,i=1,\dots ,m.$ Il y a cinq groupes de variances d’échantillonnage déterminés par $n_i\text{= 3, 5, 7, 10 ou 15,}$ où les rapports signal/bruit ${\sigma }_v^2/{\psi }_i=0\text{,}06;0\text{,}1;0\text{,}14;0\text{,}2\text{ et }0\text{,}3,$ respectivement. Ainsi, lorsque $m=100,$ il y a 20 domaines par rapport signal/bruit. Nous avons d’abord généré 50 000 ensembles d’estimateurs directs pour chaque cas, puis calculé l’EBLUP et l’EQM Monte Carlo réelle de l’EBLUP à l’aide des estimateurs de variance REML, AM.LL, MIX, AM.YL et AR.YL. Nous n’avons pas étudié l’estimateur AR.LL en raison de sa performance médiocre mentionnée par Li et Lahiri (2011). Nous avons ensuite généré 10 000 ensembles d’estimateurs directs indépendamment des 50 000 premiers. Pour chaque ensemble généré, nous avons calculé les cinq estimateurs de variance. Pour l’estimateur de variance MIX, nous avons examiné trois des quatre estimateurs de l’EQM par linéarisation qui font l’objet d’une discussion dans la section 4. Comme il arrive souvent que les estimateurs de l’EQM par linéarisation n’estiment pas le biais de façon exacte, nous avons également jeté un coup d’œil à l’estimateur bootstrap paramétrique de l’EQM (BP EQM) corrigé pour le biais en utilisant la méthode de Pfeffermann et Glickman (2004) ainsi que l’estimateur BP naïf de l’EQM avec 500 répétitions chacune (voir l’annexe B pour la construction des poids bootstrap). Les mesures de performance Monte Carlo sont définies ci-après.

1. L’EQM de l’EBLUP, ${\overline{\text{EQM}}}_{\ell }\left({\widehat{\theta }}_i\right),$ par groupe de variances d’échantillonnage :

$$\text{EQM}\left({\widehat{\theta }}_i\right)=\frac{1}{\text{50 000}}{\displaystyle \sum _{r=1}^{\text{50 000}}{\left({\widehat{\theta }}_i^{\left(r\right)}-{\theta }_i^{\left(r\right)}\right)}^2},{\overline{\text{EQM}}}_{\ell }\left(\widehat{\theta }\right)=\frac{5}{m}{\displaystyle \sum _{i\in \left\{j:{\psi }_j=50/n_{\ell }\right\}}\text{EQM}\left({\widehat{\theta }}_i\right)},\ell =1,\mathrm{...},5.$$

2. $E\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)={\displaystyle {\sum }_{r=1}^{\text{10 000}}{\widehat{\sigma }}_v^{2\left(r\right)}}/\text{10 000}\text{, }V\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)={\displaystyle {\sum }_{r=1}^{\text{10 000}}{\left({\widehat{\sigma }}_v^{2\left(r\right)}-E\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)\right)}^2}/\text{10 000},$ où ${\widehat{\sigma }}_v^{2\left(r\right)}$ est la valeur de ${\widehat{\sigma }}_v^2$ pour la $r^{\text{e}}$ simulation $\left(r=1,\dots ,\text{10 000}\right).$
3. Le biais relatif moyen (BRM) de l’EQM par groupe de variances d’échantillonnage :

$${\text{BRM}}_{\ell }\left(\text{eqm}\right)=\frac{5}{m}{\displaystyle \sum _{i\in \left\{j:{\psi }_j=50/n_{\ell }\right\}}\text{BR}\left(\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_i\right)\right)},\ell =1,\dots 5,$$

• où $\text{BR}\left(\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_i\right)\right)=\left[{\displaystyle {\sum }_{r=1}^{\text{10 000}}\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_i^{\left(r\right)}\right)}/\text{10 000}-\text{EQM}\left({\widehat{\theta }}_i\right)\right]/\text{EQM}\left({\widehat{\theta }}_i\right).$

4. La racine de l’EQM relative des estimateurs de l’EQM par groupe de variances d’échantillonnage :

$${\text{REQMR}}_{\ell }\left(\text{eqm}\right)={\left(\frac{5}{m}{\displaystyle \sum _{i\in \left\{j:{\psi }_j={50/n}_{\ell }\right\}}\frac{{\displaystyle \sum _{r=1}^{\text{10 000}}{\left(\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_i^{\left(r\right)}\right)-\text{EQM}\left({\widehat{\theta }}_i\right)\right)}^2/\text{10 000}}}{\text{EQM}\left({\widehat{\theta }}_i\right)}}\right)}^{1/2}.$$

• Nous examinons également le biais des estimateurs conditionnels de l’EQM étant donné que $\left\{{\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^{\text{2}}=0\right\},$ car ce sont les populations pour lesquelles les estimateurs positifs ont été élaborés.

5. Le biais relatif moyen des estimateurs conditionnels de l’EQM :

$${\text{BRM}}_{ℂ}=\frac{5}{m}{\displaystyle \sum _{i\in \ell }E\left[\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_i\right)|{\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2=0\right]}/E\left[{\left({\widehat{\theta }}_i-{\theta }_i\right)}^2|{\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2=0\right]-1.$$

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