Comparaison de certains estimateurs de variance positifs pour le modèle d’estimation sur petits domaines Fay-Herriot 3. Examen des méthodes REML et du maximum de vraisemblance ajustéComparaison de certains estimateurs de variance positifs pour le modèle d’estimation sur petits domaines Fay-Herriot 3. Examen des méthodes REML et du maximum de vraisemblance ajusté

• Précédent
• Suivant

3.1 Méthode REML

Nous examinons le modèle combiné de Fay-Herriot (2.3) où ${\sigma }_v^2> 0.$ On obtient l’estimateur de variance REML de ${\sigma }_v^2$ en maximisant la fonction de vraisemblance résiduelle pour ${\sigma }_v^2:$

$$L_{\text{REML}}\left({\sigma }_v^2\right)\propto {\left|\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^m{z}_i{z}_i^{\prime }}/\left({\sigma }_v^2+{\psi }_i\right)\right]\right|}^{-1/2}{{\displaystyle {\prod }_{i=1}^m\left({\sigma }_v^2+{\psi }_i\right)}}^{-1/2}\exp \left\{-\frac{1}{2}{y}^{\prime }Py\right\}$$

où $y={\left(y_1,\dots ,y_m\right)}^{\prime },P=V^{-1}-V^{-1}Z{\left(Z^{\prime }{V}^{-1}Z\right)}^{-1}{Z}^{\prime }{V}^{-1},$ $V=\text{Var}\left(y\right),$ et $Z={\left(z_1,\dots ,z_m\right)}^{\prime }.$ (Cressie 1992; Datta et Lahiri 2000; Rao 2003, chapitre 6). L’estimateur de variance REML est donné par :

$${\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2=\max \left({\tilde{\sigma }}_{v\text{REML}}^2,0\right),(3.1)$$

où ${\tilde{\sigma }}_{v\text{REML}}^2$ est la valeur convergente de l’algorithme REML. Le biais asymptotique et la variance de l’estimateur REML jusqu’à l’ordre deux sont donnés respectivement par :

$$\text{Biais}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\right)=o\left(\frac{1}{m}\right)\text{ et }V\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\right)=\frac{2}{\text{tr}\left(V^{-2}\right)}+o\left(\frac{1}{m}\right)\text{.}(3.2)$$

Un estimateur sans biais d’ordre deux de l’EQM de l’EBLUP sous l’estimation de variance REML est donné par (Datta et Lahiri 2000; Chen et Lahiri 2008, 2011):

$$\text{eqm}\left\{{\widehat{\theta }}_i\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\right)\right\}=\{\begin{array}{ll}{g}_{1i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\right)+g_{2i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\right)+2g_{3i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\right)\hfill & \text{si }{\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2>0\hfill \\ g_{2i}\left(0\right)\hfill & \text{si }{\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\text{= }0.\hfill \end{array}(3.3)$$

Remarque 3.1. Quand ${\widehat{\sigma }}_v^2=0,$ l’EBLUP est réduit à l’estimateur synthétique. Cependant, lorsque

$${\widehat{\sigma }}_v^2=0,g_{1i}\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)=0,g_{2i}\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)=z_i^{\prime }{\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^m{z}_i{z}_i^{\prime }}/{\psi }_i\right]}^{-1}{z}_i,$$

et $g_{3i}\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)=\overline{V}\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)/{\psi }_i>0,$ c’est-à-dire que $\text{eqm}\left\{{\widehat{\theta }}_i\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)\right\}$ n’est pas une fonction continue de ${\widehat{\sigma }}_v^2.$ Nous verrons dans l’étude empirique que, lorsque nous procédons au conditionnement sur $\left\{{\widehat{\sigma }}_v^2=0\right\},$ l’estimateur de l’EQM en (3.3) présente un biais négatif significatif, à moins que le rapport signal/bruit sous-jacent ${\sigma }_v^2/{\psi }_i$ ne soit négligeable.

3.2 Méthodes du maximum de vraisemblance ajusté

On obtient les estimateurs de variance par maximum de vraisemblance ajusté en optimisant soit la vraisemblance profilée ajustée (AM), soit la vraisemblance résiduelle ajustée (AR) avec le facteur $h\left({\sigma }_v^2\right).$ Comme il est mentionné dans l’introduction, les estimateurs AM.LL et AR.LL utilisent le facteur d’ajustement $h_{\text{LL}}\left({\sigma }_v^2\right)={\sigma }_v^2,$ tandis que les estimateurs AM.YL et AR.YL utilisent le facteur d’ajustement

$$h_{\text{YL}}\left({\sigma }_v^2\right)={\left\{\text{arctan}\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\sigma }_v^2}/\left({\sigma }_v^2+{\psi }_i\right)\right]\right\}}^{1/m}.$$

Nous désignons par ${\widehat{\sigma }}_{v\text{AM}\text{.LL}}^2$ et ${\widehat{\sigma }}_{v\text{AM}\text{.YL}}^2$ les estimateurs de variance obtenus par maximisation des fonctions de vraisemblance profilée ajustée, pour ${\sigma }_v^2:$

$$L_{\text{AM}\text{.*}}\left({\sigma }_v^2\right)\propto h\left({\sigma }_v^2\right)\cdot {{\displaystyle {\prod }_{i=1}^m\left({\sigma }_v^2+{\psi }_i\right)}}^{-1/2}\exp \left\{-\frac{1}{2}{y}^{\prime }Py\right\},(3.4)$$

où $h\left({\sigma }_v^2\right)=h_{\text{LL}}\left({\sigma }_v^2\right)$ et $h\left({\sigma }_v^2\right)=h_{\text{YL}}\left({\sigma }_v^2\right)$ pour AM.LL et AM.YL respectivement. La matrice  $P$ est comme en (3.1). Le biais des estimateurs AM jusqu’à l’ordre deux (désigné par $\approx )$ correspond à:

$$B\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{AM}\text{.LL}}^2\right)\approx \frac{\text{tr}\left\{P-V^{-1}\right\}+2/{\sigma }_v^2}{\text{tr}\left(V^{-2}\right)}=O\left(\frac{1}{m}\right)\text{et}B\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{AM}\text{.YL}}^2\right)\approx \frac{\text{tr}\left\{P-V^{-1}\right\}}{\text{tr}\left(V^{-2}\right)}=O\left(\frac{1}{m}\right),(3.5)$$

(Li et Lahiri 2011; Yoshimori et Lahiri 2014). On obtient les estimateurs de variance AR.LL et AR.YL, désignés par ${\widehat{\sigma }}_{v\text{AR}\text{.LL}}^2$ et ${\widehat{\sigma }}_{v\text{AR}\text{.YL}}^2,$ en maximisant les fonctions de vraisemblance résiduelle ajustée (AR) pour ${\sigma }_v^2:$

$$L_{\text{AR}\text{.*}}\left({\sigma }_v^2\right)\propto h\left({\sigma }_v^2\right)\cdot {\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^m{z}_i{z}_i^{\prime }}/\left({\sigma }_v^2+{\psi }_i\right)\right|}^{-1/2}{{\displaystyle {\prod }_{i=1}^m\left({\sigma }_v^2+{\psi }_i\right)}}^{-1/2}\exp \left\{-\frac{1}{2}{y}^{\prime }Py\right\}(3.6)$$

où $h\left({\sigma }_v^2\right)=h_{\text{LL}}\left({\sigma }_v^2\right)$ et $h\left({\sigma }_v^2\right)=h_{\text{YL}}\left({\sigma }_v^2\right)$ pour AR.LL et AR.YL respectivement, et $P$ est comme en (3.1). Les biais asymptotiques des estimateurs AR sont donnés respectivement par :

$$B\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{AR}\text{.LL}}^2\right)\approx \frac{2/{\sigma }_v^2}{\text{tr}\left(V^{-2}\right)}=O\left(\frac{1}{m}\right)\text{ et }B\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{AR}\text{.YL}}^2\right)=o\left(\frac{1}{m}\right).(3.7)$$

Sous les conditions de régularité données dans la section 2 et sous ${\sigma }_v^2>0,$ les deux LL et les deux estimateurs de variance YL existent et sont $\sqrt{m}-$ convergents (Li et Lahiri 2011; Yoshimori et Lahiri 2014). Lahiri et ses coauteurs ont proposé les estimateurs de l’EQM suivants :

$$\text{eqm}\left\{{\widehat{\theta }}_i(\cdot )\right\}=g_{1i}(\cdot )+g_{2i}(\cdot )+2g_{3i}(\cdot )-{\psi }_i^2\cdot B(\cdot )/{\left(\cdot +{\psi }_i\right)}^2(3.8)$$

où l’argument en $(\cdot )$ ci $­$ dessus est soit ${\widehat{\sigma }}_{v\text{AM}\text{.LL}}^2,$ ${\widehat{\sigma }}_{v\text{AR}\text{.LL}}^2$ ou ${\widehat{\sigma }}_{v\text{AM}\text{.YL}}^2$ sous les estimateurs de variance AM.LL, AR.LL et AM.YL respectivement et sous ${\widehat{\sigma }}_{v\text{AR}\text{.YL}}^2:$

$$\text{eqm}\left\{{\widehat{\theta }}_i\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{AR}\text{.YL}}^2\right)\right\}=g_{1i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{AR}\text{.YL}}^2\right)+g_{2i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{AR}\text{.YL}}^2\right)+2g_{3i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{AR}\text{.YL}}^2\right).(3.9)$$

Les estimateurs (3.8) et (3.9) sont sans biais jusqu’à l’ordre deux.

Remarque 3.2. Il n’est pas nécessaire que les erreurs d’échantillonnage aient une distribution normale pour assurer la convergence et la normalité asymptotique des estimateurs LL et YL (voir, par exemple, Rubin $­$ Bleuer et coll. 2011).

3.3 Algorithmes d’optimisation

Vu les données, la fonction de vraisemblance REML peut atteindre sa valeur maximale à ${\sigma }_v^2=0,$ même lorsque la valeur sous-jacente réelle de ${\sigma }_v^2$ est positive. Par ailleurs, les vraisemblances LL et YL atteignent toujours leur valeur maximale à ${\sigma }_v^2>0.$ Pourtant, la vraisemblance résiduelle YL est très proche de la vraisemblance REML. Des études empiriques montrent que l’algorithme de score sous AR.YL donne ${\widehat{\sigma }}_{v\text{AR}\text{.YL}}^2=0$  dans une proportion presque aussi importante que sous REML pour les ensembles de données suivant un modèle de Fay-Herriot avec une variance sous-jacente réelle faible mais non nulle. Cela se produit lorsque l’algorithme de score passe à côté de la valeur maximale positive de la vraisemblance AR.YL et produit une valeur nulle (pour plus de détails, voir l’annexe B). Pour éviter ce problème, nous utilisons une méthode de grille pour l’optimisation (Estevao 2014). Dans notre étude, nous établissons la limite supérieure de l’intervalle de recherche à $\text{1}\text{000}\times {\sigma }_v^2,$ car nous connaissons ${\sigma }_v^2$ a priori. Pour les applications avec des données réelles, nous suggérons d’obtenir une estimation initiale ${\widehat{\sigma }}_{v\text{AM}\text{.LL}}^2$ en utilisant la méthode de score et de fixer la limite supérieure à $\text{1}\text{000}\times {\widehat{\sigma }}_{v\text{AM}\text{.LL}}^2,$ puis d’augmenter graduellement la limite jusqu’à ce que l’estimation de variance se situe dans l’intervalle de recherche.

• Précédent
• Suivant