Comparaison de certains estimateurs de variance positifs pour le modèle d’estimation sur petits domaines Fay-Herriot 4. Estimateur de variance MIXComparaison de certains estimateurs de variance positifs pour le modèle d’estimation sur petits domaines Fay-Herriot 4. Estimateur de variance MIX

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4.1 Estimation de variance

L’estimateur de variance MIX est une procédure qui commence par calculer l’estimation de variance REML et qui la remplace par l’estimation de variance par le maximum de vraisemblance ajusté seulement lorsque l’estimation REML est négative. L’estimateur de variance MIX est toujours positif et sans biais jusqu’à un terme d’ordre $o\left(1/m\right).$ L’estimateur de variance MIX de ${\sigma }_v^2$ est défini par :

$${\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2=\{\begin{array}{ll}{\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\hfill & \text{si } {\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2>0\hfill \\ {\widehat{\sigma }}_{v\text{adj }}^2\hfill & \text{si } {\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\text{= }0,\hfill \end{array}(4.1)$$

où ${\widehat{\sigma }}_{v\text{adj }}^2$ est un des estimateurs de la vraisemblance ajustée définis dans la section 3.

Remarque 4.1. L’estimateur de variance MIX présente automatiquement certaines des propriétés communes partagées par l’estimateur REML et l’estimateur de variance par le maximum de vraisemblance ajusté. Par exemple, il est pair et invariant de translation. Ainsi, sous l’hypothèse de normalité des erreurs d’échantillonnage, l’approximation d’ordre deux (2.6) de l’EQM de l’EBLUP est également valide : le théorème 4.1 ci-après montre que l’EQM de l’EBLUP sous l’estimateur de variance MIX hérite des mêmes propriétés asymptotiques que l’EQM sous l’estimateur de variance REML.

Théorème 4.1. Sous les conditions de régularité 1 à 3 données dans la section 2 et l’hypothèse que ${\sigma }_v^2>0,$ l’EQM de l’EBLUP sous l’estimateur de variance MIX est égale à l’EQM sous l’estimateur de variance REML jusqu’à l’ordre deux. Le théorème découle du fait que la variance asymptotique de ${\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2$ coïncide avec la variance asymptotique de ${\widehat{\sigma }}_{\text{vREML}}^{\text{2}}$ (pour obtenir plus de détails, voir l’annexe A).

Théorème 4.2. Sous les conditions du théorème 4.1, le $\text{Bias}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)=o\left(1/m\right).$ La preuve est présentée à l’annexe A.

4.2 Estimation de l’EQM

Le fait que l’estimateur MIX ${\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2,$ est sans biais jusqu’à l’ordre deux est essentiel pour démontrer que l’estimateur d’EQM que nous proposons est lui aussi sans biais jusqu’à l’ordre deux.

Corollaire 4.2. L’estimateur de l’EQM de l’EBLUP sous ${\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2$ donné par :

$$\text{eqm}\left[{\widehat{\theta }}_i\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)\right]=g_{1i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)+g_{2i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)+2g_{3i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)(4.2)$$

est sans biais jusqu’à l’ordre deux. Étant donné que ${\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2$ est sans biais jusqu’à l’ordre deux, le résultat suit le modèle de Datta et Lahiri (2000).

4.3 Autres estimateurs de l’EQM

Dans l’équation qui suit, l’estimateur de variance MIX est la combinaison des estimateurs REML et AM.LL.

Rubin-Bleuer et You (2012) ont suggéré un autre estimateur de l’EQM, qui est lui aussi sans biais jusqu’à l’ordre deux. Il s’agit d’un estimateur de l’EQM « fractionné» qui prend la forme :

$$\text{eqm}*\left[{\widehat{\theta }}_i\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)\right]=\{\begin{array}{ll}{g}_{1i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)+g_{2i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)+2g_{3i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)\hfill & \text{si }{\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2={\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2,\hfill \\ \begin{array}{l}{g}_{1i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)+g_{2i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)\\ +2g_{3i}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)-{\left(1-{\widehat{\gamma }}_{i\text{MIX}}\right)}^2\cdot \text{Biais}\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)\end{array}\hfill & \text{si }{\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2={\widehat{\sigma }}_{v\text{AM}\text{.LL}}^2.\hfill \end{array}(4.3)$$

L’estimateur $\text{eqm}*$ présente un biais relatif moyen (BRM) plus faible que l’estimateur de l’EQM donné en (4.2). Le BRM est plus faible parce que l’EQM est surestimée lorsque le REML est positif et sous-estimée lorsque le REML est nul. L’estimateur $\text{eqm}*$ est généralement satisfaisant, mais il peut prendre des valeurs négatives pour un ensemble particulier de données.

Molina et coll. (2015) ont proposé deux estimateurs de l’EQM pour l’EBLUP sous la méthode MIX. Dans l’équation qui suit, le test préliminaire proposé de l’hypothèse de variance nulle est représenté par le sigle TP, et les estimateurs sont :

$${\text{eqm}}_0\left\{{\widehat{\theta }}_i\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)\right\}=\{\begin{array}{ll}\text{eqm}\left\{{\widehat{\theta }}_i\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\right)\right\}\hfill & \text{si }{\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2>0\hfill \\ g_{2i}\left(0\right)\hfill & \text{si }{\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\text{= }0\hfill \end{array}(4.4)$$

et

$${\text{eqm}}_{\text{TP}}\left\{{\widehat{\theta }}_i\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{MIX}}^2\right)\right\}=\{\begin{array}{ll}\text{eqm}\left\{{\widehat{\theta }}_i\left({\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\right)\right\}\hfill & \text{si }{\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2>0\text{ et le TP est rejeté}\hfill \\ g_{2i}\left(0\right)\hfill & \text{si }{\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2\text{= }0\text{ ou le TP n}’\text{est pas rejeté}\text{.}\hfill \end{array}(4.5)$$

La justification de ${\text{eqm}}_0$ et ${\text{eqm}}_{\text{TP}}$ se fonde sur l’EQM du BLUP où ${\sigma }_v^2\text{= }0.$ Molina et coll. (2015) ont montré dans une étude empirique que les estimateurs de l’EQM proposés donnaient de bons résultats en moyenne lorsque ${\sigma }_v^2$ et le nombre de domaines $m$ étaient faibles.

Remarque 4.2. Les estimateurs ${\text{eqm}}_0$ et ${\text{eqm}}_{\text{TP}}$ sont eux aussi sans biais jusqu’à l’ordre deux (l’annexe contient une preuve abrégée de cette propriété). Notre argument contre $\text{eqm}\left\{{\widehat{\theta }}_i\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)\right\}$ (en 3.3) s’applique aussi à ${\text{eqm}}_0$ et à ${\text{eqm}}_{\text{TP}}:$ pour un nombre modéré de domaines, le pourcentage de populations où ${\widehat{\sigma }}_{v\text{REML}}^2=0$ peut être significatif, même si ${\sigma }_v^2/{\psi }_i$ n’est pas négligeable. Dans ce cas-ci, l’estimateur de l’EQM de l’EBLUP doit aussi tenir compte de la variation due à l’estimation de variance ou à la sous-estimation du risque.

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