Comparaison de certains estimateurs de variance positifs pour le modèle d’estimation sur petits domaines Fay-Herriot 2. EBLUP et EQM de l’EBLUP sous le modèle de Fay-HerriotComparaison de certains estimateurs de variance positifs pour le modèle d’estimation sur petits domaines Fay-Herriot 2. EBLUP et EQM de l’EBLUP sous le modèle de Fay-Herriot

• Précédent
• Suivant

Soit $y_i,i=1,\dots ,m,$ les estimateurs d’enquête directs des moyennes de petit domaine ${\theta }_i,i=1,\dots ,m.$ Le modèle de Fay-Herriot se compose des modèles d’échantillonnage et de lien suivants :

Modèle d’échantillonnage : $y_i={\theta }_i+e_i,e_i|{\theta }_i\stackrel{\text{i}\text{.d}\text{.}}{\sim }\left(0,{\psi }_i\right),i=1,\dots ,m,(2.1)$

Modèle de lien : ${\theta }_i=z_i^{\prime }\beta +v_i,v_i\stackrel{\text{i}\text{.i}\text{.d}\text{.}}{\sim }\left(0,{\sigma }_v^2\right),{\sigma }_v^2> 0,i=1,\dots ,m,(2.2)$

où les $e_i$ sont les erreurs d’échantillonnage, indépendamment distribuées de moyenne de zéro et de variances d’échantillonnage « connues » ${\psi }_i,$ $z_i\left(p\times 1\right)$ sont des vecteurs connus de valeurs de covariables; $\beta$ est un vecteur $p\times 1$ de coefficients de régression fixes inconnus; et $v_i$ sont des effets aléatoires indépendants et identiquement distribués avec une moyenne de zéro et une variance de modèle ${\sigma }_v^2.$ La combinaison de (2.1) et (2.2) donne :

$$y_i=z_i^{\prime }\beta +v_i+e_i,i=1,\dots ,m,(2.3)$$

avec des erreurs de modèle et d’échantillonnage. Les $y_i,i=1,\dots ,m,$ peuvent être considérés comme des résultats dans l’espace conjoint plan de sondage-modèle (Rubin-Bleuer et Schiopu-Kratina 2005).

Dans le modèle (2.3), l’estimateur EBLUP de la moyenne de petit domaine ${\theta }_i$ est donné par :

$${\widehat{\theta }}_i\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)=z_i^{\prime }\widehat{\beta }\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)+{\widehat{\gamma }}_i\left[y_i-z_i^{\prime }\widehat{\beta }\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)\right]={\widehat{\gamma }}_i{y}_i+\left(1-{\widehat{\gamma }}_i\right)z_i^{\prime }\widehat{\beta }\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right),i=1,\dots ,m,(2.4)$$

où ${\widehat{\sigma }}_v^2$ est un estimateur convergent de ${\sigma }_v^2,$

$${\widehat{\gamma }}_i={\widehat{\sigma }}_v^2/\left({\widehat{\sigma }}_v^2+{\psi }_i\right),\text{ et }\widehat{\beta }\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)={\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^m{z}_i{z}_i^{\prime }}/\left({\widehat{\sigma }}_v^2+{\psi }_i\right)\right]}^{-1}\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^m{z}_i{y}_i}/\left({\widehat{\sigma }}_v^2+{\psi }_i\right)\right].(2.5)$$

Pour calculer l’erreur quadratique moyenne (EQM) de l’EBLUP, nous posons les conditions de régularité suivantes :

1. Les ${\psi }_i$ ont une borne supérieure et sont loin de zéro;
2. Les $z_i,1\le i\le m$ sont bornés;
3. $\lim \inf {\lambda }_{\min }\left(1/m{\displaystyle {\sum }_i{z}_i}\cdot z_i^{\prime }\right)>0$ où ${\lambda }_{\min }\left(A\right)=$ valeur propre minimum de la matrice $A.$

Sous la normalité des erreurs d’échantillonnage $e_i$ associées au modèle (2.3) et les conditions de régularité ci-dessus, une approximation d’ordre deux de l’EQM est donnée par :

$$\text{EQM}\left\{{\widehat{\theta }}_i\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)\right\}=g_{1i}\left({\sigma }_v^2\right)+g_{2i}\left({\sigma }_v^2\right)+g_{3i}\left({\sigma }_v^2\right)+o\left(\frac{1}{m}\right),(2.6)$$

avec $g_{1i}\left({\sigma }_v^2\right)={\gamma }_i{\psi }_i,$ $g_{2i}\left({\sigma }_v^2\right)={\left(1-{\gamma }_i\right)}^2{z}_i^{\prime }{\left[{\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{z}_i{z}_i^{\prime }}/\left({\sigma }_v^2+{\psi }_i\right)\right]}^{-1}{z}_i$ et

$$g_{3i}\left({\sigma }_v^2\right)={\left({\psi }_i\right)}^2\overline{V}\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)/{\left({\sigma }_v^2+{\psi }_i\right)}^3,(2.7)$$

où $\overline{V}\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)$ est la variance asymptotique de ${\widehat{\sigma }}_v^2$ (Das, Jiang et Rao 2004).

• Précédent
• Suivant