Méthode de correction de l’erreur d’appartenance à une base dans les estimateurs à double base de sondage
Section 5. Inférence pour ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}$

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Lohr (2011) fait observer à la section 4 que l’inférence est simple pour les estimateurs à double base de sondage et à pondération non aléatoire lorsqu’on utilise un logiciel d’enquête standard. Tel est le cas tant pour ${\widehat{Y}}_L$ que pour ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}.$ Dans le second cas, la pondération élaborée pour les unités des quatre domaines est ${\tilde{w}}_i^A\mathrm{<mo>=</mo>}{w}_i^A\left(p_{a|a^{*}}+\theta \left(1-p_{a|a^{*}}\right)\right)$ et ${\tilde{w}}_i^A\mathrm{<mo>=</mo>}{w}_i^A\left(p_{a|a{b}^{*}\left(A\right)}+\theta \left(1-p_{a|a{b}^{*}\left(A\right)}\right)\right)$ pour les unités des domaines $a^{*}$ et $a{b}^{*}$ échantillonnées dans la base $A;$ elle est ${\tilde{w}}_i^B\mathrm{<mo>=</mo>}{w}_i^B\left(\left(1-\theta \right)\left(1-p_{b|b^{*}}\right)+p_{b|b^{*}}\right)$ et ${\tilde{w}}_i^B\mathrm{<mo>=</mo>}{w}_i^B\left(\left(1-\theta \right)\left(1-p_{b|a{b}^{*}\left(B\right)}\right)+p_{b|a{b}^{*}\left(B\right)}\right)$ pour les unités des domaines $b^{*}$ et $a{b}^{*}$ échantillonnées dans la base $B.$ Nous pouvons alors calculer ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ et son erreur-type en fournissant au logiciel les fichiers contenant les données et les poids des deux bases. S’il s’agit cependant d’estimer les probabilités de défaut de classification comme pour ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}},$ les variances sont gonflées, ainsi que le fait voir la partie a) de la figure 4.2. Dans ce cas, nous pourrions appliquer les méthodes de linéarisation, jackknife ou bootstrap pour tenir compte de cette variance majorée.

Lin (2014) présente à la section 5.2.2 une expression approchée de la variance pour ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}$ avec échantillonnage aléatoire simple aussi bien en phase 1 qu’en phase 2 en se fondant sur la méthode de linéarisation. Toutefois, il faut un codage spécial pour appliquer cette méthode, et nous devrions l’adapter à des plans de sondage complexes aux deux phases. Ainsi, nous avons choisi d’étudier l’exactitude d’une méthode approchée qui fait abstraction du surcroît de variabilité créé par l’estimation des probabilités de défaut de classification et qui produit des intervalles de confiance par ce même logiciel d’enquête standard. La seule condition préalable à ce traitement est que nous ayons à calculer les probabilités estimées de défaut de classification à partir de l’échantillon de phase 2 et à les substituer aux probabilités connues dans les expressions de la pondération qui précèdent.

Pour éprouver cette méthode, nous avons simulé une population aux caractéristiques semblables à celles de l’exemple 2 à la section précédente. Nous avons examiné un sous-ensemble des cas de défaut de classification examinés dans cette section, à savoir $db,$ $cb$ et $ca.$ Nous avons fixé à $n_A=400$ et $n_B=200$ les tailles des échantillons de phase 1; nous avons choisi trois taux d’échantillonnage de phase 2 allant de 5 % à 20 % (c’est-à-dire de $m_A\mathrm{<mo>=</mo>}20$ et $m_B\mathrm{<mo>=</mo>}10$ à $m_A\mathrm{<mo>=</mo>}80$ et $m_B\mathrm{<mo>=</mo>}40)$ en échantillonnage aléatoire simple et en échantillonnage stratifié. Nous avons produit 10 000 échantillons répétés pour chaque configuration. Nous avons estimé les probabilités de défaut de classification avec chaque échantillon et les avons introduites dans les expressions de la pondération qui précèdent. À des fins de comparaison, nous avons aussi produit des poids avec les probabilités connues de défaut de classification et vérifié le rendement des intervalles de confiance en fonction de ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}.$ Nous avons fait tous les calculs avec le paquet survey en langage R. Nous avons tiré de chaque échantillon répété les estimations d’erreur-type produites par le logiciel, ainsi que l’intervalle de confiance à 95 % pour le total de population (par la procédure jackknife standard du paquet survey).

Nous récapitulons les résultats au tableau 5.1. Les colonnes intitulées Var.sim. présentent la variance de chaque estimateur calculée à partir des 10 000 répliques, ce qui sera notre meilleure évaluation des variances réelles. Les colonnes intitulées Var.est. font la moyenne sur les 10 000 échantillons répétés des estimations produites par le logiciel de la variance de ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ et ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}.$ Les colonnes intitulées Taux succès font voir la proportion des répliques pour lesquelles l’intervalle de confiance comprend le total réel. Les parties a) et b) livrent respectivement les résultats des plans d’échantillonnage aléatoire simple et d’échantillonnage stratifié de phase 2.

Si nous comparons les colonnes Var.sim. et Var.est., nous voyons que la variance de ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}$ est sous-estimée en moyenne sur l’ensemble des configurations. Comme on pouvait s’y attendre, la sous-estimation est pire pour la taille d’échantillon la plus petite et le plan de sondage inefficace (EAS). C’est pourquoi l’étendue de l’intervalle de confiance est moindre que sa valeur nominale pour la plupart des configurations. La sous-couverture demeure toutefois légère (moins de 5 %) dans tous les cas sauf pour la plus petite taille d’échantillon et l’EAS de phase 2. Comme les intervalles de confiance avec ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ comportaient leurs valeurs nominales, nous pouvons en conclure que la sous-couverture était entièrement due à l’estimation des probabilités de défaut de classification. Nous pensons que, dans l’inférence, on peut sans danger ne pas tenir compte du surcroît de variation tenant à l’estimation de ces probabilités si on emploie un plan efficace de sondage de phase 2, à condition que les tailles d’échantillon ne soient pas très petites. À en juger par notre simulation et si nous estimons les probabilités de défaut de classification à partir d’au moins 10 unités dans chaque domaine perçu, les probabilités de couverture ne déviaient pas de plus de quelques points de pourcentage. C’est ce qu’on peut faire avec une taille moindre d’échantillon dans l’ensemble pour un échantillon stratifié de phase 2 par opposition à un échantillon aléatoire simple, et c’est pourquoi nous recommandons un plan de sondage stratifié pour la phase 2.

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