Méthode de correction de l’erreur d’appartenance à une base dans les estimateurs à double base de sondage
Section 3. Défaut de classification dans les enquêtes à base de sondage double

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Nous devons connaître le domaine de chaque unité échantillonnée pour calculer tout estimateur de plan d’échantillonnage à base double. Ainsi, (2.3) montre que, dans ${\widehat{Y}}_H,$ nous nous devons de repondérer une unité de la base résidentielle par $\theta$ ou $1-\theta$ si l’enquêté est titulaire d’un permis, mais non dans les autres cas. Si cette indication ne peut être tirée des bases mêmes, elle doit être recueillie auprès de l’enquêté. Dans notre application, nous avons constaté qu’un certain nombre d’enquêtés ne pouvaient indiquer fidèlement s’ils étaient titulaires d’un permis de pêche ou non. Une fausse indication d’appartenance à un domaine crée un défaut de classification de domaine, lequel influe sur les propriétés des estimateurs des moyennes et des totaux. Dans cette section, nous examinons l’effet de l’erreur de rattachement à un domaine sur le biais et la variance de l’estimateur de Hartley.

Dans le cas de la base $A,$ l’erreur de rattachement peut se produire de deux façons. D’abord, l’enquêté échantillonné dans la base $A$ et qui est dans le domaine $ab$ peut se dire dans le domaine $a.$ L’erreur peut se produire dans les deux sens si l’enquêté de la base $A$ dans le domaine $a$ se dit dans le domaine $ab.$ Le domaine qu’indique l’enquêté est le domaine perçu ou déclaré qui est à distinguer du domaine réel. Ainsi, chaque enquêté appartient à un sous-groupe sur quatre selon son appartenance à l’intersection entre domaine réel et domaine perçu. Nous employons ici l’astérisque $(*)$ en exposant sur le nom de domaine pour désigner le domaine perçu et, dans ce cas, les quatre sous-groupes deviennent $a\cap a^{*}\mathrm{,}ab\cap a{b}^{*}\mathrm{,}a\cap a{b}^{*}$ et $ab\cap a^{*}.$ De telles étiquettes figurent aussi en indice pour les paramètres, indiquant le sous-ensemble applicable dans la population. Soit $A$ et $B,$ par exemple, qui désignent effectivement les bases CHTS et registre des pêcheurs à la ligne. Le membre d’un ménage de la base CHTS qui n’est pas titulaire d’un permis, mais dit en détenir un, appartient au sous-groupe $a\cap a{b}^{*}.$ L’univers de tous ces gens dans la base $A$ serait désigné par $U_{a\cap a{b}^{*}};$ la taille du sous-groupe dans la population et le total et la moyenne des déplacements de pêche de ce sous-groupe seraient respectivement désignés par $N_{a\cap a{b}^{*}},$ $Y_{a\cap a{b}^{*}}$ et ${\overline{Y}}_{a\cap a{b}^{*}}.$ Si quelqu’un est réellement titulaire d’un permis, il appartiendrait au sous-groupe $ab\cap a{b}^{*}.$ Dans notre étude, l’analyste ne pourrait distinguer les domaines des deux intéressés et les placerait tous deux dans le domaine perçu en chevauchement $a{b}^{*}.$ Le poids d’échantillonnage convenant au domaine réel mais inobservé en chevauchement $\left(ab\right)$ s’appliquerait aux unités appartenant à $U_{a{b}^{*}}\mathrm{<mo>=</mo>}{U}_{a\cap a{b}^{*}}\cup U_{ab\cap a{b}^{*}}$ au lieu de $U_{ab}\mathrm{<mo>=</mo>}{U}_{ab\cap a^{*}}\cup U_{ab\cap a{b}^{*}}$ et les totaux estimés des unités de $U_{a{b}^{*}}$ remplaceraient ceux d’ $U_{ab}$ en (2.2), causant le biais que nous nous proposons d’étudier ici.

L’erreur de rattachement à un domaine que nous venons de décrire pour la base $A$ est possible pour l’une ou l’autre base dans un certain nombre d’études. Dans la nôtre, le problème ne se posait pas, parce que la base des permis comprenait les adresses. Nous savions donc si le pêcheur à la ligne inscrit à l’autorisation appartiendrait ou non à la base résidentielle de l’État. Nous introduisons cependant le cas plus général et, par conséquent, la notation définie pour la base $A$ vaut aussi pour la base $B.$ Une complication dans ce cas est que nous devons distinguer les cas pour le domaine perçu en chevauchement $\left(a{b}^{*}\right)$ en fonction de la base d’appartenance des unités, et ce, parce que les unités du domaine perçu en chevauchement peuvent différer selon la base d’origine. Dans notre étude par exemple, une personne échantillonnée dans la base CHTS peut déclarer ne pas être titulaire d’un permis alors qu’elle en détient un et ne se trouverait donc pas dans $a{b}^{*}.$ Si cette même personne était échantillonnée dans la base des permis, elle serait considérée à juste titre comme étant dans le domaine en chevauchement $a{b}^{*}.$ Comme la confusion est possible, nous étendons la notation du domaine perçu en chevauchement pour indiquer la base d’origine de l’unité sous les formes $a{b}^{*}\left(A\right)$ et $a{b}^{*}\left(B\right).$ Dans notre étude par exemple, ${\overline{Y}}_{a{b}^{*}\left(A\right)}$ est le nombre moyen de déplacements pour toutes les unités de l’État (base $A)$ qui déclareraient être titulaires d’un permis si on le leur demandait, alors qu’elles n’en détiendraient pas. Toutefois, ${\overline{Y}}_{a{b}^{*}\left(B\right)}$ serait la moyenne des déplacements pour les seules unités appartenant au domaine réel $ab,$ notre base $B$ n’étant pas entachée d’erreurs de rattachement à un domaine.

Prenons pour ${\widehat{Y}}_H$ une nouvelle notation qui facilitera le calcul de ses propriétés en cas de défaut de classification. Considérons d’abord le cas où aucune erreur de rattachement ne se produit. Nous définissons alors l’indicateur de domaine réel ${\delta }_i^A\left(a\right)$ avec la valeur 1 lorsque l’unité $i$ de la base $A$ est dans le domaine $a$ et avec 0 dans les autres cas. Comme chaque unité se trouve dans un seul domaine réel, l’indicateur de présence de l’unité $i$ dans le domaine $ab$ est $1-{\delta }_i^A\left(a\right).$ Nous définissons de la même manière ${\delta }_i^B\left(b\right)$ pour la base $B.$ S’il n’y a pas d’erreur de rattachement, ${\widehat{Y}}_H$ peut s’écrire ainsi :

$$\begin{array}{ll}{\widehat{Y}}_H\hfill & \mathrm{<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_A}}{I}_i^A{w}_i^A{\delta }_i^A\left(a\right)y_i+\theta {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_A}}{I}_i^A{w}_i^A\left(1-{\delta }_i^A\left(a\right)\right)y_i\hfill \\ \hfill & +{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_B}}{I}_i^B{w}_i^B{\delta }_i^B\left(b\right)y_i+\left(1-\theta \right){\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_B}}{I}_i^B{w}_i^B\left(1-{\delta }_i^B\left(b\right)\right)y_i\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_A}}{I}_i^A{w}_i^A{x}_{Ai}+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_B}}{I}_i^B{w}_i^B{x}_{Bi}\mathrm{,}(3.1)\hfill \end{array}$$

où $I_i^A$ et $I_i^B$ sont des indicateurs d’appartenance de l’unité $i$ de la base $A$ ou $B$ à l’échantillon $s_A$ ou $s_B,$ soit $x_{Ai}\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_i^A\left(a\right)y_i+\theta \left(1-{\delta }_i^A\left(a\right)\right)y_i$ et $x_{Bi}\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_i^B\left(b\right)y_i+\left(1-\theta \right)\left(1-{\delta }_i^B\left(b\right)\right)y_i.$

Si nous comparons les effets du défaut de classification de domaine sur les propriétés de l’estimateur, nous nous bornons à examiner le cas d’espèce d’un plan d’échantillonnage aléatoire simple dans chaque base de sondage avec les tailles d’échantillon $n_A$ et $n_B.$ ${\widehat{Y}}_H$ est exempt de biais. Si la correction de population finie (cpf) est négligeable, la variance de ${\widehat{Y}}_H$ est dans ce cas

$$V\left({\widehat{Y}}_H\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_A^2{S}_{X_A}^2/n_A+N_B^2{S}_{X_B}^2/n_B\mathrm{,}(3.2)$$

où

$$\begin{array}{ll}{S}_{X_A}^2\hfill & \mathrm{<mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mo>=</mo>}\frac{N_a}{N_A}\left(S_a^2+{\overline{Y}}_a^2\right)+{\theta }^2\frac{N_{ab}}{N_A}\left(S_{ab}^2+{\overline{Y}}_{ab}^2\right)-{\left(\frac{N_a}{N_A}{\overline{Y}}_a+\theta \frac{N_{ab}}{N_A}{\overline{Y}}_{ab}\right)}^2\mathrm{,}\hfill \\ S_{X_B}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{N_b}{N_B}\left(S_b^2+{\overline{Y}}_b^2\right)+{\left(1-\theta \right)}^2\frac{N_{ab}}{N_B}\left(S_{ab}^2+{\overline{Y}}_{ab}^2\right)-{\left[\frac{N_b}{N_B}{\overline{Y}}_b+\left(1-\theta \right)\frac{N_{ab}}{N_B}{\overline{Y}}_{ab}\right]}^2\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

sont les variances de population de $x_{Ai}$ et $x_{Bi}.$ Ici et dans ce qui suit, $S_d^2$ et ${\overline{Y}}_d$ désigneront la variance et la moyenne de la population $y$ pour le domaine $d,$ ce $d$ désignant le domaine réel $\left(d=a,b\text{ou}ab\right)$ ou perçu $\left(d=a^{*}\text{},b^{*}\text{},a{b}^{*}\left(A\right)\text{ou}a{b}^{*}\left(B\right)\right).$

En cas de défaut de classification de domaine, il nous faut une notation pour les indicateurs d’appartenance à un domaine perçu. Nous définissons ${\eta }_i^A\left(a\right)$ comme étant 1 lorsque l’unité $i$ de la base $A$ est dans le domaine $a^{*}$ et comme 0 dans les autres cas. Comme chaque unité est dans un domaine perçu ou l’autre, l’indicateur de présence de l’unité $i$ dans $a{b}^{*}$ est $1-{\eta }_i^A\left(a\right);$ ${\eta }_i^B\left(b\right)$ est défini de la même manière pour la base $B.$ Ainsi, l’estimateur de Hartley devient

$$\begin{array}{ll}{\widehat{Y}}_H^{*}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{a^{*}}+\theta {\widehat{Y}}_{a{b}^{*}}^A+\left(1-\theta \right){\widehat{Y}}_{a{b}^{*}}^B+{\widehat{Y}}_{b^{*}}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_A}}{I}_i^A{w}_i^A{\eta }_i^A\left(a\right)y_i+\theta {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_A}}{I}_i^A{w}_i^A\left(1-{\eta }_i^A\left(a\right)\right)y_i\hfill \\ \hfill & +{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_B}}{I}_i^B{w}_i^B{\eta }_i^B\left(b\right)y_i+\left(1-\theta \right){\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_B}}{I}_i^B{w}_i^B\left(1-{\eta }_i^B\left(b\right)\right)y_i\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_A}}{I}_i^A{w}_i^A{x}_{Ai}^{*}+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_B}}{I}_i^B{w}_i^B{x}_{Bi}^{*}\mathrm{,}(3.3)\hfill \end{array}$$

où $x_{Ai}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\eta }_i^A\left(a\right)y_i+\theta \left(1-{\eta }_i^A\left(a\right)\right)y_i$ et $x_{Bi}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\eta }_i^B\left(b\right)y_i+\left(1-\theta \right)\left(1-{\eta }_i^B\left(b\right)\right)y_i.$ Le biais de ${\widehat{Y}}_H^{*}$ est alors :

$$\begin{array}{ll}\text{Bias}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}E\left({\widehat{Y}}_H^{*}\right)-Y\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\left(1-\theta \right){\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{N_A}}\left({\eta }_i^A\left(a\right)-{\delta }_i^A\left(a\right)\right)y_i+\theta {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{N_B}}\left({\eta }_i^B\left(b\right)-{\delta }_i^B\left(b\right)\right)y_i\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\left(1-\theta \right)\left(N_{a^{*}}{\overline{Y}}_{a^{*}}-N_a{\overline{Y}}_a\right)+\theta \left(N_{b^{*}}{\overline{Y}}_{b^{*}}-N_b{\overline{Y}}_b\right)\mathrm{.}(3.4)\hfill \end{array}$$

À noter que $N_{a^{*}}{\overline{Y}}_{a^{*}}-N_a{\overline{Y}}_a\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_{a^{*}}-Y_a\mathrm{<mo>=</mo>}\left(Y_{a\cap a^{*}}+Y_{ab\cap a^{*}}\right)-\left(Y_{a\cap a^{*}}+Y_{a\cap a{b}^{*}\left(A\right)}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_{ab\cap a^{*}}-Y_{a\cap a{b}^{*}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}.$ Ainsi, le premier terme de l’expression du biais peut être positif ou négatif et grand ou petit selon le nombre relatif d’unités de la population qui perçoivent à tort appartenir ou non à la base en chevauchement, et selon leurs moyennes de réponse. La même constatation vaut pour le second terme. En théorie, les deux pourraient même s’annuler si les erreurs se produisaient dans les deux sens, mais bien sûr la chose est improbable.

L’expression de la variance pour ${\widehat{Y}}_H^{*}$ est semblable à celle de $V\left({\widehat{Y}}_H\right):$

$$V\left({\widehat{Y}}_H^{*}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_A^2{S}_{x_A^{*}}^2/n_A+N_B^2{S}_{x_B^{*}}^2/n_B,(3.5)$$

où

$$\begin{array}{ll}{S}_{x_A^{*}}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{N_{a^{*}}}{N_A}\left(S_{a^{*}}^2+{\overline{Y}}_{a^{*}}^2\right)+{\theta }^2\frac{N_{a{b}^{*}\left(A\right)}}{N_A}\left(S_{a{b}^{*}\left(A\right)}^2+{\overline{Y}}_{a{b}^{*}\left(A\right)}^2\right)\hfill \\ \hfill & -{\left(\frac{N_{a^{*}}}{N_A}{\overline{Y}}_{a^{*}}+\theta \frac{N_{a{b}^{*}\left(A\right)}}{N_A}{\overline{Y}}_{a{b}^{*}\left(A\right)}\right)}^2\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

et

$$\begin{array}{ll}{S}_{x_B^{*}}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{N_{b^{*}}}{N_B}\left(S_{b^{*}}^2+{\overline{Y}}_{b^{*}}^2\right)+{\left(1-\theta \right)}^2\frac{N_{a{b}^{*}\left(B\right)}}{N_B}\left(S_{a{b}^{*}\left(B\right)}^2+{\overline{Y}}_{a{b}^{*}\left(B\right)}^2\right)\hfill \\ \hfill & -{\left(\frac{N_{b^{*}}}{N_B}{\overline{Y}}_{b^{*}}+\left(1-\theta \right)\frac{N_{a{b}^{*}\left(B\right)}}{N_B}{\overline{Y}}_{a{b}^{*}\left(B\right)}\right)}^2\hfill \end{array}$$

désignent les variances de $x_{Ai}^{*}$ et $x_{Bi}^{*}.$ Le domaine perçu en chevauchement $a{b}^{*}$ reçoit aussi la notation $\left(A\right)$ ou $\left(B\right),$ puisqu’une même unité dans $ab$ peut être perçue comme appartenant à des domaines différents si elle est tirée de bases différentes. Nous étudierons plus en détail à la section 3.3 l’incidence du défaut de classification sur l’erreur quadratique moyenne (EQM) de l’estimateur de Hartley. Bien sûr, le biais de ${\widehat{Y}}_H^{*}$ est 0 et $V\left({\widehat{Y}}_H^{*}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}V\left({\widehat{Y}}_H\right)$ si le domaine réel et le domaine perçu coïncident.

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