Méthode de correction de l’erreur d’appartenance à une base dans les estimateurs à double base de sondage
Section 2. Estimation à base de sondage double

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Depuis l’introduction des plans d’échantillonnage à base double par Hartley (1962), un grand nombre d’estimateurs ont été proposés (Fuller et Burmeister, 1972; Kalton et Anderson, 1986; Bankier, 1986; Skinner et Rao, 1996). Dans cette section, nous nous attachons à l’estimateur de Hartley, puisqu’il a été utilisé dans notre application d’étude pilote dans le cadre du MRIP. Avec la notation originale de Hartley, nous désignons par $N\mathrm{,}{N}_A\mathrm{,}{N}_B\mathrm{,}{N}_a\mathrm{,}{N}_b$ et $N_{ab}$ le nombre d’éléments dans $U\mathrm{,}A\mathrm{,}B\mathrm{,}a\mathrm{,}b$ et $ab$ respectivement. Les relations suivantes se vérifient alors : $N\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_a+N_{ab}+N_b,$ $N_A\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_a+N_{ab}$ et $N_B\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_{ab}+N_b.$ Nous désignons les échantillons des bases $A$ et $B$ par $s_A$ et $s_B$ et les probabilités respectives d’inclusion de l’unité $i$ dans les deux échantillons par ${\pi }_i^A$ et ${\pi }_i^B.$

Le total de population $Y$ peut s’écrire comme la somme des totaux des trois domaines s’excluant les uns les autres :

$$Y\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_a+Y_{ab}+Y_b\mathrm{,}(2.1)$$

où $Y_a\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in a}}{y}_i,$ $Y_b\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in b}}{y}_i$ et $Y_{ab}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in ab}}{y}_i.$ Les estimateurs du total peuvent s’écrire comme la somme des estimateurs des totaux des trois domaines :

$$\widehat{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_a+{\widehat{Y}}_{ab}+{\widehat{Y}}_b\mathrm{.}(2.2)$$

L’estimateur de Hartley (1962) est

$${\widehat{Y}}_H\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_a+\theta {\widehat{Y}}_{ab}^A+\left(1-\theta \right){\widehat{Y}}_{ab}^B+{\widehat{Y}}_b\mathrm{,}(2.3)$$

où ${\widehat{Y}}_{ab}^A\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s_{ab}^A}}{w}_i^A{y}_i$ désigne l’estimateur de $Y_{ab}$ par l’information de la base $A$ et où ${\widehat{Y}}_{ab}^B\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s_{ab}^B}}{w}_i^B{y}_i$ est l’estimateur correspondant par l’information de la base $B.$ $s_{ab}^A$ $\left(s_{ab}^B\right)$ est le sous-ensemble de $s_A$ $\left(s_B\right)$ comprenant les éléments du domaine $ab;$ $w_i^A\mathrm{<mo>=</mo>}1/{\pi }_i^A$ et $w_i^B\mathrm{<mo>=</mo>}1/{\pi }_i^B$ sont les poids d’échantillonnage selon les probabilités d’inclusion dans les bases $A$ et $B.$ Dans la pratique, il y a normalement repondération en fonction tant de la non-réponse que de la sous-couverture éventuelle. De même, nous estimons $Y_a$ et $Y_b$ comme ${\widehat{Y}}_a\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s_a}}{w}_i^A{y}_i$ et ${\widehat{Y}}_b\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s_b}}{w}_i^B{y}_i.$ $\theta$ est un nombre entre 0 et 1 qui repondère les éléments des bases $A$ et $B.$ Si $\theta$ désigne une constante, la théorie prévoit une valeur optimale qui minimisera la variance de l’estimateur. Toutefois, $\theta$ dépendra de paramètres inconnus et devra donc faire l’objet d’une estimation. Un autre moyen à employer consiste à choisir une valeur de $\theta$ qui est proportionnelle à la réciproque des tailles d’échantillon en provenance de l’une et l’autre des bases. Ce sera là une constante et elle sera quasi optimale si les plans de sondage sont d’un effet semblable et que le domaine en chevauchement est petit.

Si $\theta$ est une constante, ${\widehat{Y}}_H$ est linéaire dans les données et ses propriétés sont faciles à calculer. Si $\theta$ égale 0 ou 1, l’estimateur du domaine en chevauchement dépend des données d’une seule des deux bases. La valeur optimale de $\theta$ qui minimise la variance de ${\widehat{Y}}_H$ (Hartley, 1962) est

$${\theta }_H\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{V\left({\widehat{Y}}_{ab}^B\right)+\text{Cov}\left({\widehat{Y}}_b^B\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{ab}^B\right)-\text{Cov}\left({\widehat{Y}}_a^A\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{ab}^A\right)}{V\left({\widehat{Y}}_{ab}^A\right)+V\left({\widehat{Y}}_{ab}^B\right)}\mathrm{.}(2.4)$$

Les variances et les covariances en (2.4) sont inconnues et doivent être estimées à partir de l’échantillon si la forme optimale de $\theta$ doit être employée en (2.3). Dans ce cas, les poids résultants sont aléatoires et contribuent à la variabilité de l’estimateur. Un autre inconvénient avec la valeur optimale de $\theta$ dans ${\widehat{Y}}_H$ est que ${\theta }_H$ diffère selon les variables de réponse, d’où une incohérence parmi les estimateurs de quantités apparentées. Ainsi, les estimateurs optimaux du nombre de déplacements de pêche à la ligne depuis la rive ou en bateau ne donnent pas nécessairement par addition l’estimateur optimal du nombre total de déplacements de pêche. C’est pourquoi une valeur constante de $\theta$ est fréquemment employée dans la pratique. Ainsi, une valeur $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}1/2$ est quelquefois recommandée lorsque les tailles d’échantillon coïncident dans les deux bases (Lohr, 2011).

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