Méthode de correction de l’erreur d’appartenance à une base dans les estimateurs à double base de sondage
Section 4. Correction de biais en cas d’erreur de rattachement à un domaine

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Lohr (2011, section 6) s’est attaquée au problème qui est le nôtre, c’est-à-dire d’apporter une correction en cas de défaut de classification de domaine dans les plans d’échantillonnage à base double. Lohr a proposé d’apporter une correction à l’estimateur de Hartley en vue d’atténuer le biais par défaut de classification. Nous examinerons sa méthode et la comparerons à la méthode que nous proposons. Nous observons que, pour que la méthode de Lohr donne un estimateur sans biais de moyenne ou de total pour $Y,$ les unités d’un même domaine doivent être à égalité de moyennes, quelle que soit leur appartenance à un domaine perçu. Cette hypothèse ne valait pas pour notre enquête auprès des pêcheurs à la ligne, car nous avons plutôt constaté que la motivation à aller à la pêche avait à voir avec le domaine perçu plutôt que réel d’appartenance en ce qui concerne le permis de pêche. Nous avons élaboré notre méthode de correction de biais dans l’optique différente d’une prise en compte de l’erreur de rattachement à un domaine. Nous supposons que les unités se rattachant à un même domaine perçu doivent être à égalité de moyennes, quelle que soit leur appartenance à un domaine réel. Nous démontrons que la méthode envisagée présente une EQM inférieure à celle de la méthode de Lohr lorsque les deux hypothèses se vérifient. Là où elles ne se vérifient pas, le choix doit se faire selon l’hypothèse qui convient.

4.1  Méthode de Lohr de correction de biais en cas de défaut de classification

Dans le modèle multinomial de Lohr pour le défaut de classification, nous posons que les unités de chacun des domaines $a,$ $ab$ et $b$ ont leurs propres probabilités connues de perception d’appartenance à un de ces trois domaines. Nous prenons ces probabilités pour corriger les estimateurs et éliminer le biais tenant au défaut de classification. Dans la pratique, ces probabilités sont normalement inconnues et doivent être estimées à l’aide d’un échantillon de seconde phase pour lequel on applique une méthode coûteuse (mais exacte) de détermination d’appartenance à un domaine. Il sera question plus avant de cette méthode à la section 4.3.1. Pour l’instant, nous supposons ces probabilités connues.

Nous décrivons la méthode de Lohr pour un plan d’échantillonnage à base double, bien que l’intéressée ait décrit sa méthode pour des bases multiples. Nous définissons des vecteurs aléatoires constitués de variables aléatoires des trois domaines : $Y\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(Y_a\mathrm{,}{Y}_{ab}\mathrm{,}{Y}_b\right)}^{\prime }\text{},$ ${\delta }_i^A\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\delta }_i^A\left(a\right)\mathrm{,}{\delta }_i^A\left(ab\right)\mathrm{,}{\delta }_i^A\left(b\right)\right)}^{\prime }$ et ${\delta }_i^B\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\delta }_i^B\left(a\right)\mathrm{,}{\delta }_i^B\left(ab\right)\mathrm{,}{\delta }_i^B\left(b\right)\right)}^{\prime }.$ S’il n’y a pas d’erreur de rattachement à un domaine, ${\widehat{Y}}^A\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s_A}}{\delta }_i^A{w}_i^A{y}_i$ et ${\widehat{Y}}^B\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s_B}}{\delta }_i^B{w}_i^B{y}_i$ sont des vecteurs d’estimateurs sans biais de totaux de domaine pour les bases $A$ et $B.$ Dans ce cas, l’estimateur de Hartley à $\theta$ fixe peut s’écrire comme ${\widehat{Y}}_H\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(m^A\right)}^{\prime }{\widehat{Y}}^A+{\left(m^B\right)}^{\prime }{\widehat{Y}}^B,$ où $m^A\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\mathrm{1,}\theta \mathrm{,}0\right)}^{\prime }$ et $m^B\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\mathrm{0,}1-\theta \mathrm{,}1\right)}^{\prime }.$

Posons maintenant l’existence d’une erreur de rattachement. Soit ${\eta }_i^A\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\eta }_i^A\left(a\right)\mathrm{,}{\eta }_i^A\left(ab\right)\mathrm{,}{\eta }_i^A\left(b\right)\right)}^{\prime }$ le vecteur des indicateurs d’appartenance à un domaine perçu pour l’unité $i$ de la base $A.$ Ce vecteur peut se formuler comme ${\eta }_i^A\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(M_i^A\right)}^{\prime }{\delta }_i^A,$ où $M_i^A$ est une matrice $3\times 3$ avec un 1 à la position $\left(d_2\mathrm{,}{d}_1\right)$ si l’unité $i$ du domaine $d_2$ est perçue comme dans le domaine $d_1,$ et avec 0 dans les autres cas. Lorsque nous employons l’information d’appartenance au domaine perçu plutôt qu’au domaine réel, ${\widehat{Y}}^A$ devient

$${\widehat{Y}}^{A^{*}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in s_A}}{\eta }_i^A{w}_i^A{y}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in s_A}}{\left(M_i^A\right)}^{\prime }{\delta }_i^A{w}_i^A{y}_i\mathrm{.}$$

Définissons la matrice des probabilités de défaut de classification pour la base $A:$

$${\Phi }^A=\left(\begin{array}{ccc}{p}_{a^{*}|a}& p_{a{b}^{*}\left(A\right)|a}& 0\\ p_{a^{*}|ab}& p_{a{b}^{*}\left(A\right)|ab}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\mathrm{,}(4.1)$$

où $p_{d_1^{*}|d_2}$ est la probabilité que l’unité du domaine $d_2$ soit perçue comme étant dans le domaine $d_1.$ ${\widehat{Y}}^{A^{*}}$ sera normalement entaché d’un biais pour les totaux de domaine de la base $A$ lorsque les éléments hors diagonale sont non nuls, car $E\left({\widehat{Y}}^{A^{*}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\Phi }^A\right)}^{\prime }Y\ne E\left({\widehat{Y}}^A\right).$

Pour corriger le biais, Lohr (2011) a proposé le vecteur de repondération ${\tilde{m}}^A\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\Phi }^A\right)}^{+}{m}^A,$ où ${\left({\Phi }^A\right)}^{+}$ est l’inverse de Moore-Penrose de ${\Phi }^A.$ Sans l’expliciter, cette méthode exige, pour qu’il y ait absence de biais, que l’on pose que l’appartenance au domaine réel détermine la moyenne; en d’autres termes,

$${\overline{Y}}_{a\cap a{b}^{*}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{Y}}_{a\cap a^{*}},{\overline{Y}}_{ab\cap a{b}^{*}\left(A\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{Y}}_{ab\cap a^{*}}(4.2)$$

Dans ce cas, $E\left({\left({\tilde{m}}^A\right)}^{\prime }{\widehat{Y}}^{A^{*}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\left({\Phi }^A\right)}^{+}{m}^A\right)}^{\prime }{\left({\Phi }^A\right)}^{\prime }Y\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(m^A\right)}^{\prime }Y.$ Après avoir employé une hypothèse semblable d’égalité des moyennes, une matrice du défaut de classification et une correction pour la base $B,$ nous obtenons l’estimateur de Lohr en correction de biais :

$$\begin{array}{ll}{\widehat{Y}}_L\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\tilde{m}}^A\right)}^{\prime }{\widehat{Y}}^{A^{*}}+{\left({\tilde{m}}^B\right)}^{\prime }{\widehat{Y}}^{B^{*}}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{a^{*}}{\varphi }_{11}^{A+}+{\widehat{Y}}_{a{b}^{*}\left(A\right)}{\varphi }_{21}^{A+}+\theta \left({\widehat{Y}}_{a^{*}}{\varphi }_{12}^{A+}+{\widehat{Y}}_{a{b}^{*}\left(A\right)}{\varphi }_{22}^{A+}\right)\hfill \\ \hfill & +\left(1-\theta \right)\left({\widehat{Y}}_{b^{*}}{\varphi }_{32}^{B+}+{\widehat{Y}}_{a{b}^{*}\left(B\right)}{\varphi }_{22}^{B+}\right)+{\widehat{Y}}_{b^{*}}{\varphi }_{33}^{B+}+{\widehat{Y}}_{a{b}^{*}\left(B\right)}{\varphi }_{23}^{B+}\mathrm{,}(4.3)\hfill \end{array}$$

où ${\varphi }_{ij}^{A+}$ est l’élément $\left(i\mathrm{,}j\right)$ de ${\left({\Phi }^A\right)}^{+}$ et où ${\varphi }_{ij}^{B+}$ se définit de la même manière. Dans le cas particulier des plans d’échantillonnage à base double que nous considérons, les composantes des matrices pseudo-inverses peuvent facilement se formuler en termes exprès si $p_{a{b}^{*}\left(A\right)|a}+p_{a^{*}|ab}\ne 1$ et $p_{a{b}^{*}\left(B\right)|b}+p_{b^{*}|ab}\ne 1:$

$$\begin{array}{ll}{\varphi }_{11}^{A+}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{p_{a{b}^{*}\left(A\right)|ab}}{D_A}\mathrm{,}{\varphi }_{21}^{A+}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{-p_{a^{*}|ab}}{D_A}\mathrm{,}{\varphi }_{12}^{A+}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{-p_{a{b}^{*}\left(A\right)|a}}{D_A}\mathrm{,}\hfill \\ {\varphi }_{22}^{A+}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{p_{a^{*}|a}}{D_A}\mathrm{,}{\varphi }_{33}^{B+}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{p_{a{b}^{*}\left(B\right)|ab}}{D_B}\mathrm{,}{\varphi }_{23}^{B+}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{-p_{b^{*}|ab}}{D_B}\mathrm{,}\hfill \\ {\varphi }_{32}^{B+}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{-p_{a{b}^{*}\left(B\right)|b}}{D_B}\mathrm{,}{\varphi }_{22}^{B+}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{p_{b^{*}|b}}{D_B}\mathrm{,}(4.4)\hfill \end{array}$$

où $D_A\mathrm{<mo>=</mo>}1-\left(p_{a{b}^{*}\left(A\right)|a}+p_{a^{*}|ab}\right)$ et $D_B\mathrm{<mo>=</mo>}1-\left(p_{a{b}^{*}\left(B\right)|b}+p_{b^{*}|ab}\right).$ Si les probabilités de défaut de classification sont connues, cet estimateur peut se calculer et serait sans biais dans la mesure où (4.2) et les hypothèses correspondantes pour les moyennes de la base $B$ se vérifient. Nous pouvons dégager la variance par la même technique ayant mené à l’équation (3.2). Voir Lin (2014) aux pages 28 et 29 pour l’expression de la variance.

4.2  Autre méthode de correction de biais en cas de défaut de classification

L’estimateur de Lohr élimine le biais de l’estimateur de Hartley dans l’hypothèse où l’appartenance au domaine réel détermine la moyenne de la variable d’intérêt. Comme cette hypothèse semblait ne pas se vérifier dans le cas des données de l’enquête auprès des pêcheurs à la ligne, nous avons conçu une autre méthode de correction de biais exigeant pour notre application un jeu d’hypothèses mieux adapté.

Rappelons que $Y_{a^{*}}\mathrm{,}{Y}_{a{b}^{*}\left(A\right)}\mathrm{,}{Y}_{a{b}^{*}\left(B\right)}\mathrm{,}{Y}_{b^{*}}$ désignent les totaux de population des domaines perçus, la notation traduisant la possibilité que l’appartenance au domaine perçu dans la base en chevauchement dépende de la base d’échantillonnage de l’unité. Nous pouvons décomposer les totaux et les tailles de domaine perçu par les étiquettes de domaine réel : $Y_{a^{*}}\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_{a\cap a^{*}}+Y_{ab\cap a^{*}}$ et $N_{a^{*}}\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_{a\cap a^{*}}+N_{ab\cap a^{*}},$ par exemple. Nous paramétrons notre modèle en définissant les probabilités de défaut de classification en forme inverse par rapport au modèle de Lohr. En d’autres termes, soit $p_{d_1|d_2^{*}}$ la probabilité qu’une observation perçue comme du domaine $d_2$ soit en réalité du domaine $d_1;$ nous définissons la matrice des probabilités de défaut de classification pour la base $A$ comme

$${\Lambda }^A\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{ccc}{p}_{a|a^{*}}& p_{ab|a^{*}}& 0\\ p_{a|a{b}^{*}\left(A\right)}& p_{ab|a{b}^{*}\left(A\right)}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Dans ce cas, nous remplaçons les hypothèses d’égalité des moyennes (4.2) par des hypothèses de détermination des moyennes par l’appartenance au domaine perçu :

$${\overline{Y}}_{a\cap a^{*}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{Y}}_{ab\cap a^{*}}\mathrm{,}{\overline{Y}}_{a\cap a{b}^{*}\left(A\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{Y}}_{ab\cap a{b}^{*}\left(A\right)}\mathrm{,}{\overline{Y}}_{b\cap b^{*}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{Y}}_{ab\cap b^{*}}\mathrm{,}{\overline{Y}}_{b\cap a{b}^{*}\left(B\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{Y}}_{ab\cap a{b}^{*}\left(B\right)}(4.5)$$

Lorsque ces hypothèses se vérifient, nous avons

$$Y_a\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_{a^{*}}{p}_{a|a^{*}}+Y_{a{b}^{*}\left(A\right)}{p}_{a|a{b}^{*}\left(A\right)}\mathrm{,}{Y}_{ab}\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_{a^{*}}\left(1-p_{a|a^{*}}\right)+Y_{a{b}^{*}\left(A\right)}\left(1-p_{a|a{b}^{*}\left(A\right)}\right)\mathrm{,}(4.6)$$

et les expressions sont semblables pour les totaux de domaine dans le cas de la base $B.$ Ainsi, un estimateur en correction de biais est

$$\begin{array}{ll}{\widehat{Y}}_{\text{CB}}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\Lambda }^A{m}^A\right)}^{\prime }{\widehat{Y}}^{A^{*}}+{\left({\Lambda }^B{m}^B\right)}^{\prime }{\widehat{Y}}^{B^{*}}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{a^{*}}{p}_{a|a^{*}}+{\widehat{Y}}_{a{b}^{*}\left(A\right)}{p}_{a|a{b}^{*}\left(A\right)}+\theta \left({\widehat{Y}}_{a^{*}}\left(1-p_{a|a^{*}}\right)+{\widehat{Y}}_{a{b}^{*}\left(A\right)}\left(1-p_{a|a{b}^{*}\left(A\right)}\right)\right)\hfill \\ \hfill & +\left(1-\theta \right)\left({\widehat{Y}}_{b^{*}}\left(1-p_{b|b^{*}}\right)+{\widehat{Y}}_{a{b}^{*}\left(B\right)}\left(1-p_{b|a{b}^{*}\left(B\right)}\right)\right)+{\widehat{Y}}_{b^{*}}{p}_{b|b^{*}}+{\widehat{Y}}_{a{b}^{*}\left(B\right)}{p}_{b|a{b}^{*}\left(B\right)\mathrm{.}}(4.7)\hfill \end{array}$$

${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ est sans biais là où les hypothèses d’égalité des moyennes (4.5) se vérifient. Sa variance peut se calculer par la même technique que pour l’obtention de l’équation (3.2). Voir Lin (2014) aux pages 33 et 34 pour l’expression de la variance.

4.3  Comparaison des méthodes de correction de biais

Dans cette section, nous examinons le rendement de ${\widehat{Y}}_L,$ de ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ et de leur homologue non corrigé ${\widehat{Y}}_H.$ Nous examinons également les estimateurs en correction de biais qui peuvent s’employer lorsque les probabilités de défaut de classification sont inconnues. Nous pouvons établir ces probabilités en remplaçant les valeurs connues des probabilités en (4.3) et (4.7) par des estimateurs des probabilités de défaut à partir de sous-échantillons de phase 2. Nous prélevons un tel sous-échantillon sur l’échantillon de départ à l’aide d’une méthode exacte (et normalement coûteuse) de collecte de données en vue de vérifier l’appartenance au domaine réel. Soit $I_i^{A\left(2\right)}$ l’indicateur d’échantillon de phase 2 pour la base $A,$ ${\pi }_i^{A\left(2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}P\left\{I_i^{A\left(2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}1|I_i^A\mathrm{<mo>=</mo>}1\right\}$ sa probabilité de sélection conditionnelle et $w_i^{A\left(2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}1/{\pi }_i^{A\left(2\right)}$ son poids de phase 2. Nous pouvons alors élaborer des estimateurs quotient des probabilités de défaut de classification. Ainsi, $p_{a|a^{*}}$ peut s’estimer par

$${\widehat{p}}_{a|a^{*}}^{\left(2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_A}{I}_i^A{I}_i^{A\left(2\right)}{w}_i^A{w}_i^{A\left(2\right)}{\delta }_i\left(a^{*}\cap a\right)}}{{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_A}{I}_i^A{I}_i^{A\left(2\right)}{w}_i^A{w}_i^{A\left(2\right)}{\delta }_i\left(a^{*}\right)}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{N}}_{a^{*}\cap a}^{\left(2\right)}/{\widehat{N}}_{a^{*}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>\; 2\; <mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}(4.8)$$

L’estimateur de Lohr demande que nous estimions les probabilités conditionnelles inversées dans le cas de l’échantillon de phase 2, soit ${\widehat{p}}_{a^{*}|a}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{N}}_{a^{*}\cap a}^{\left(2\right)}/{\widehat{N}}_a^{\left(2\right)}.$ Nous pouvons élaborer des estimateurs semblables pour les composantes des quatre matrices de défaut de classification. Si nous procédons à la substitution de ces estimateurs pour les paramètres en (4.3) et (4.7), les estimateurs obtenus en correction de biais sont désignés par ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}$ et ${\widehat{\widehat{Y}}}_L.$

Dans cette section, nous offrons plusieurs comparaisons entre les cinq estimateurs. Dans un premier exemple, nous limitons la comparaison des variances à ${\widehat{Y}}_H,$ ${\widehat{Y}}_L$ et ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ seulement pour un scénario simple où toutes les moyennes de domaine sont égales, de sorte que les hypothèses requises au sujet des moyennes vaillent pour les deux estimateurs comparés. Le but est d’illustrer le gonflement de la variance susceptible de se produire dans ${\widehat{Y}}_L.$ Dans notre deuxième exemple, nous reproduisons partiellement la simulation présentée dans Lohr (2011), mais en ajoutant ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ et ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}.$ Nous comparons les erreurs quadratiques moyennes (EQM) des estimateurs lorsque les deux jeux d’hypothèses d’égalité des moyennes sont respectés. Nous examinons en outre l’effet du passage du plan de sondage de phase 2 d’un échantillon aléatoire simple à un échantillon stratifié par domaine perçu. Dans un troisième exemple, nous nous attachons à la robustesse des deux estimateurs à l’égard des hypothèses formulées en examinant en simulation le biais et l’EQM des estimateurs lorsque ni (4.2) ni (4.5) ne se vérifient. Dans tous les cas, $\theta$ est fixé à 0,5.

4.3.1  Exemple 1 : Gonflement de la variance

Nous avons comparé les variances de ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ et ${\widehat{Y}}_L$ à l’EQM de ${\widehat{Y}}_H$ en cas d’erreur de rattachement à un domaine, mais là où les taux en question sont connus. Nous tenons les populations pour homogènes et toutes les moyennes et les variances de domaine pour constantes : ${\overline{Y}}_a\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{Y}}_{ab}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{Y}}_b\mathrm{<mo>=</mo>}2,$ de sorte que, à la fois, les hypothèses d’égalité des moyennes se vérifient et ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ et ${\widehat{Y}}_L$ soient exempts de biais. Nous posons $S_a^2\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_{ab}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_b^2\mathrm{<mo>=</mo>}1.$ Dans cet exemple, les bases sont considérées comme petites et le chevauchement comme appréciable : $N_a\mathrm{<mo>=</mo>}\text{3}\text{000},$ $N_{ab}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{2}\text{000},$ $N_b\mathrm{<mo>=</mo>}\text{3}\text{000}.$ Nous prenons des échantillons aléatoires simples de tailles $n_A\mathrm{<mo>=</mo>}100$ et $n_B\mathrm{<mo>=</mo>}50.$ Nous calculons l’EQM de l’estimateur de Hartley par (3.4) et (3.5) et les variances des estimateurs en correction de biais, par les expressions dans Lin (2014) aux pages 28 et 33. Nous regardons les deux scénarios suivants :

1. La probabilité de défaut de classification pour les unités du domaine $a$ varie de 0 à 1, et il n’existe aucune autre erreur de rattachement à un domaine.
2. La probabilité de défaut de classification pour les unités du domaine $ab$ (en cas d’échantillonnage dans la base $A)$ varie de 0 à 1; il n’existe aucune autre erreur de rattachement à un domaine.

Les deux parties de la figure 4.1 présentent les EQM des trois estimateurs en fonction des deux probabilités de défaut de classification. Pour chaque condition, ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ présente une EQM inférieure à celle de ${\widehat{Y}}_L$ sur la plage de valeurs des probabilités en question, bien que les deux estimateurs soient d’un rendement à peu près semblable lorsque les probabilités sont petites. L’EQM de ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ ne varie guère sur la plage de valeurs, mais l’EQM de ${\widehat{Y}}_L$ augmente sans borne à mesure que la probabilité approche de l’unité, et ce, parce que les composantes du pseudo-inverse (4.4) se font grandes à mesure que le défaut de classification (unique) approche de l’unité, ce qui gonfle les coefficients des estimations de sous-domaine en (4.3).

Dans la pratique, si les probabilités de défaut de classification étaient connues et dépassaient $1/2,$ le processus d’identification de domaine s’inverserait simplement, si bien que ce scénario n’a pas d’importance dans la pratique. Nous verrons cependant dans le prochain exemple que, lorsque les probabilités de défaut de classification sont inconnues et doivent faire l’objet d’une estimation, le rendement de ${\widehat{Y}}_L$ est sensible à la qualité des estimateurs de probabilité de phase 2. C’est que, même si les probabilités de défaut de classification sont modestes, les estimations correspondantes peuvent être grandes, surtout lorsque le plan d’échantillonnage de phase 2 est inefficace; le même gonflement de la variance peut alors se produire.

4.3.2  Exemple 2 : Efficacité relative en simulation des cinq estimateurs

Dans notre deuxième exemple, nous procédons par simulation pour comparer le rendement de ${\widehat{Y}}_H\mathrm{,}{\widehat{Y}}_L\mathrm{,}{\widehat{\widehat{Y}}}_L\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ et ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}$ pour différents scénarios de défaut de classification, l’un où les deux hypothèses d’égalité des moyennes de domaine se vérifient et l’autre où elles ne le font pas. Les tailles de domaine choisies dans cet exemple ont été $N_a\mathrm{<mo>=</mo>}48000,$ $N_{ab}\mathrm{<mo>=</mo>}2000$ et $N_b\mathrm{<mo>=</mo>}3000,$ le but étant d’imiter l’enquête sur la motivation des pêcheurs à la ligne où une base (celle des adresses) était bien plus grande que l’autre (base des permis). Nous avons produit la population par le modèle $y_i\sim x_i+1$ pour $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}N$ avec $x_i\sim$ Poisson(1), et ce, indépendamment du domaine. Ainsi, les moyennes et les variances de la population étaient approximativement les mêmes que dans le premier exemple. Nous avons simulé le prélèvement d’échantillons aléatoires simples sur chaque base avec des tailles d’échantillon $n_A\mathrm{<mo>=</mo>}100$ et $n_B\mathrm{<mo>=</mo>}50.$ Pour les échantillons de phase 2, nous avons prélevé un échantillon aléatoire simple (EAS) avec quatre tailles variant de 20 % à 80 % de l’échantillon de phase 1, ce qui a donné des tailles de sous-échantillon $\left(m_A\right)$ de 20 à 80 pour la base $A$ et $\left(m_B\right)$ de 10 à 40 pour la base $B.$ Si une réplique présentait un échantillon de phase 2 de moins de deux unités pour un des sous-domaines, nous posions l’absence de défaut de classification pour ce domaine; nous avons donc élaboré des estimateurs comme s’il n’y avait pas d’erreur de rattachement pour le sous-domaine. Nous avons simulé 16 cas de défaut de classification avec chaque fois des paires des quatre cas suivants pour une même base :

1. Cas de défaut de classification pour la base  $A$ (MPA)
   1. $p_{a^{*}|a}\mathrm{<mo>=</mo>}1,$ $p_{a{b}^{*}\left(A\right)|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}1$
   2. $p_{a^{*}|a}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,9},$ $p_{a{b}^{*}\left(A\right)|a}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,1},$ $p_{a{b}^{*}\left(A\right)|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}1$
   3. $p_{a^{*}|a}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,9},$ $p_{a{b}^{*}\left(A\right)|a}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,1},$ $p_{a{b}^{*}\left(A\right)|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,9},$ $p_{a^{*}|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,1}$
   4. $p_{a^{*}|a}\mathrm{<mo>=</mo>}1,$ $p_{a{b}^{*}\left(A\right)|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,9},$ $p_{a^{*}|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,1}$
2. Cas de défaut de classification pour la base  $B$ (MPB)
   1. $p_{b^{*}|b}\mathrm{<mo>=</mo>}1,$ $p_{a{b}^{*}\left(B\right)|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}1$
   2. $p_{b^{*}|b}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,8},$ $p_{a{b}^{*}\left(B\right)|b}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,2},$ $p_{a{b}^{*}\left(B\right)|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}1$
   3. $p_{b^{*}|b}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,8},$ $p_{a{b}^{*}\left(B\right)|b}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,2},$ $p_{a{b}^{*}\left(B\right)|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,8},$ $p_{b^{*}|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,2}$
   4. $p_{b^{*}|b}\mathrm{<mo>=</mo>}1,$ $p_{a{b}^{*}\left(B\right)|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,8},$ $p_{b^{*}|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,2}$

Ainsi, nous avons examiné en simulation 64 configurations (16 cas de défaut de classification  $\times$ 4 tailles d’échantillon de phase 2) et avons produit 10 000 échantillons de phase 1 pour chaque configuration et calculé les estimations correspondantes. Nous avons établi l’EQM empirique comme l’écart quadratique moyen de chaque estimation par rapport au $Y$ réel sur les 10 000 échantillons répétés. Nous récapitulons les résultats au tableau 4.1 et aux figures 4.2 et 4.3.

Le tableau 4.1 présente les résultats des 16 cas de défaut de classification pour un taux d’échantillonnage de phase 2 de 40 % $(m_A\mathrm{<mo>=</mo>}40$ et $m_B\mathrm{<mo>=</mo>}20).$ Les conclusions que nous tirons sont cohérentes pour toutes les tailles d’échantillon. Nous pouvons voir que ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ et ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}$ sont moins variables que ${\widehat{Y}}_L$ et ${\widehat{\widehat{Y}}}_L$ pour tous les cas de défaut de classification sauf s’il y a absence d’erreur. Par ailleurs, s’il y a défaut de classification uniquement dans de petits domaines (cas $a$ ou $d$ pour la base $A),$ il n’y a guère d’avantage à recourir à la correction de biais, puisque ${\widehat{Y}}_H$ est d’un rendement égal ou supérieur à celui des estimateurs en correction de biais, d’où l’impression que cette correction pourrait ne pas être avantageuse à moins que le défaut de classification ne touche une grande partie de la population. Enfin, nous observons que ${\widehat{\widehat{Y}}}_L$ est d’un rendement pire lorsque le cas de défaut de classification $c$ se vérifie dans la base $A.$ Nous examinerons cet effet de plus près.

La figure 4.2 indique le rapport d’EQM entre les estimateurs en correction de biais à probabilités inconnues et à probabilités connues; la partie a) présente $\text{EQM}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/\text{EQM}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{Y}}_{\text{CB}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et la partie b) $\text{EQM}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\widehat{Y}}}_L\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/\text{EQM}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{Y}}_L\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>\; .}$ Les quatre lignes indiquent le rapport pour les quatre tailles d’échantillon de phase 2 et pour les 16 cas de défaut de classification disposés sur l’axe des x. La distance du rapport au-dessus de l’unité mesure la pénalité de variance causée par une estimation des probabilités de défaut de classification. Ce qui ressort de cette figure est l’importante pénalité pour ${\widehat{\widehat{Y}}}_L$ dans les cas de défaut de classification $c$ et $d$ de la base $A$ et pour les petites tailles d’échantillon, ainsi que l’absence relative d’un tel effet pour ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}.$ Les deux cas accusent une erreur non nulle de rattachement pour le petit domaine en chevauchement. Ainsi, l’échantillon de phase 1 a souvent moins d’unités à offrir par lesquelles estimer $p_{a^{*}|ab},$ ce qui entache de bruit l’estimation de la probabilité de défaut de classification. Même si la probabilité réelle de défaut n’est pas proche de l’unité pour les cas $c$ et $d$ $\left(p_{a^{*}|ab}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,1}\right),$ le fait qu’elle soit inconnue et doive faire l’objet d’une estimation à partir de données clairsemées signifie que certains échantillons produisent des estimations extrêmes et gonflent la variance, comme nous l’avons vu à la figure 4.1.

Nous pouvons voir à la partie a) de la figure 4.2 que le même effet est présent pour ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}},$ mais dans une moindre mesure. Le plus petit échantillon de phase 2 $(m_A\mathrm{<mo>=</mo>}20,$ $m_B\mathrm{<mo>=</mo>}10)$ est d’un rendement démesurément pire que l’échantillon qui le suit en taille. La même cause joue : un échantillon aléatoire simple de phase 1 peut produire trop peu d’unités dans le domaine $a{b}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\left(A\right).$ Il reste qu’il est plus simple d’améliorer l’efficacité du plan de sondage de phase 2 pour l’estimation de $p_{a|a{b}^{*}\left(A\right)}$ que de l’améliorer pour $p_{a^{*}|ab},$ et ce, parce que les domaines perçus sont observables pour toutes les unités de l’échantillon de phase 1, au contraire des domaines réels, si bien que l’analyste peut contrôler par voie de stratification la taille d’échantillon dans le premier cas, mais non dans le second.

Pour voir dans quelle mesure nous en tirons un avantage, nous avons procédé à une autre simulation et étudié le rendement de ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}$ lorsque le plan de sondage de phase 2 est stratifié. Nous avons choisi un plan d’échantillonnage à égalité des tailles d’échantillon pour chacune des strates de domaine perçu. Ainsi, dans la configuration de taux d’échantillonnage à 20 %, nous avons tiré $m_A/2\mathrm{<mo>=</mo>}20/2\mathrm{<mo>=</mo>}10$ observations des domaines $a^{*}$ et $a{b}^{*}\left(A\right)$ pour l’échantillon de phase 1. Si nous disposions de moins que $m_A/2$ observations (ou $m_B/2)$ mais de plus d’une unité, tous les éléments étaient sélectionnés et le reste était tiré de l’autre domaine. Dans cette simulation, nous avons employé les 64 configurations de l’exemple précédent, la seule différence résidant dans le plan de sondage stratifié en phase 2 au lieu de l’échantillonnage aléatoire simple.

Nous présentons à la figure 4.3 les résultats de cette simulation où le rapport correspond à un effet de plan (mais pour l’EQM plutôt que la variance) pour l’échantillonnage de phase 2. Le graphique indique que, dans certaines configurations, il est possible d’apporter une amélioration significative à l’EQM de ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}$ en stratifiant l’échantillon de phase 2. Le gain est particulièrement important pour la petite taille d’échantillon.

4.3.3  Exemple 3 : Robustesse en cas de violation des hypothèses relatives aux moyennes

Les deux estimateurs en correction de biais demandent des hypothèses d’égalité des moyennes comme garantie d’absence de biais dans le cas des probabilités connues de défaut de classification. Ce sont des hypothèses qui diffèrent. Lin (2014) présente aux pages 43 à 47 des expressions du biais de ${\widehat{Y}}_L$ et ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}$ lorsque les hypothèses en question ne se vérifient pas. Dans notre exemple, nous étudions par simulation la taille du biais pour ${\widehat{\widehat{Y}}}_L$ et ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}},$ ainsi que pour ${\widehat{Y}}_L$ et ${\widehat{Y}}_{\text{CB}}.$ Les scénarios de simulation dans cet exemple sont semblables aux scénarios qui précèdent sauf pour les moyennes. Nous nous sommes attachés à seulement 3 des 16 cas de défaut de classification, c’est-à-dire à ceux où le défaut de classification de domaine se présente uniquement pour la base de grande taille (indiquée en premier lieu): $ba,$ $ca$ et $da.$

Nous avons simulé les populations de sorte qu’une des quatre moyennes de sous-domaine soit d’environ 3 $(y\sim x_i+2,$ avec $x_i\sim$ Poisson(1)) et que les autres demeurent à environ 2 $\left(y\sim x_i+1\right).$ Dans chaque cas donc, les hypothèses d’égalité des moyennes (4.2) et (4.5) n’étaient pas respectées pour les deux estimateurs en correction de biais. Nous avons calculé le biais empirique, la variance et l’EQM de chacun des cinq estimateurs à partir de 10 000 échantillons répétés pour chacune des 48 configurations (3 cas de défaut de classification  $\times$ 4 cas de violation de l’hypothèse d’égalité des moyennes  $\times$ 4 tailles d’échantillon de phase 2). Nous livrons les résultats pour un sous-ensemble représentatif de ces configurations à la figure 4.4.

Cette figure présente les diagrammes de quartiles des estimations en simulation de ${\widehat{Y}}_H,$ ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}$ et ${\widehat{\widehat{Y}}}_L$ pour une des tailles d’échantillon de phase 2 $(m_A\mathrm{<mo>=</mo>}40$ et $m_B\mathrm{<mo>=</mo>}20).$ Les colonnes du diagramme indiquent les résultats pour les quatre cas de violation de l’hypothèse d’égalité des moyennes et les lignes, pour les trois cas de défaut de classification. Le trait horizontal dans chaque diagramme correspond au total réel de population. La figure montre que tant ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}$ que ${\widehat{\widehat{Y}}}_L$ ont un biais inférieur à celui de ${\widehat{Y}}_H$ pour toutes les configurations. Ainsi, de formuler la mauvaise hypothèse au sujet de la moyenne est mieux pour le biais que de supposer une absence d’erreur de rattachement à un domaine. Pour les configurations considérées, il semblerait que ${\widehat{\widehat{Y}}}_{\text{CB}}$ en particulier n’est pas trop sensible à de légères violations de l’hypothèse d’égalité des moyennes.

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