Estimation sur petits domaines à l’aide du modèle au niveau de domaine de Fay-Herriot avec lissage et modélisation de variance d’échantillonnage
5. Conclusion

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Nous avons comparé les estimations fondées sur le modèle de Fay-Herriot dans les cas respectifs de lissage et de modélisation des variances d’échantillonnage. Comme dans Hidiroglou et coll. (2019), nos résultats indiquent que ce modèle peut grandement améliorer les estimations directes du taux de chômage de l’EPA, bien que des modèles plus complexes tels que les modèles non appariés ou les modèles de séries chronologiques puissent être employés (You (2008), par exemple). De tous les estimateurs, ce sont les modèles FH-MPLSBE et FH-HB en lissage qui donnent le meilleur résultat de réduction des ERA et des CV. En estimation directe des variances d’échantillonnage, ces mêmes modèles donnent les pires résultats. Dans la modélisation HB, YLLM et STKM s’en tirent tous deux très bien et mieux que YCM; YLLM est un peu meilleur que STKM dans l’étude. Nous proposons le modèle YLLM ou STKM en cas d’estimation directe de la variance d’échantillonnage. Autre possibilité, le lissage de variance devrait permettre dans le modèle de Fay-Herriot de surmonter la difficulté de modélisation des variances d’échantillonnage que nous évoquons à la section 3. Le lissage avec le modèle FGV en (2.2) à la section 2 peut produire un très bon résultat, comme le démontre notre étude.

Annexe

Distributions conditionnelles complètes et procédure d’échantillonnage pour YLLM

• $\left[{\theta }_i|y,\beta ,{\sigma }_i^2,{\sigma }_v^2\right]~N\left({\gamma }_i{y}_i+(1-{\gamma }_i){x_i^{\prime }}_{}\beta ,{\gamma }_i{\sigma }_i^2\right),$ où ${\gamma }_i={\sigma }_v^2/{\sigma }_v^2+{\sigma }_i^2,$$i=1,\dots ,m;$
• $\left[\beta |y,\theta ,{\sigma }_i^2,{\sigma }_v^2\right]~N_p\left({\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{x}_i{x_i^{\prime }}_{}}\right)}^{-1}\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{x}_i{\theta }_i}\right),{\sigma }_v^2{\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{x}_i{x_i^{\prime }}_{}}\right)}^{-1}\right);$
• $\left[{\sigma }_v^2|y,\theta ,\beta ,{\sigma }_i^2\right]~\text{IG}\left(\frac{m}{2}-1,\frac{1}{2}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{({\theta }_i-{x_i^{\prime }}_{}\beta )}^2}\right);$
• $\left[{\sigma }_i^2|y,\theta ,\beta ,{\sigma }_v^2,\delta ,{\tau }^2\right]\propto f({\sigma }_i^2)\cdot h({\sigma }_i^2),$ où $f({\sigma }_i^2)$ et $h({\sigma }_i^2)$ sont $f({\sigma }_i^2)~\text{IG}\left(\frac{d_i+1}{2},\frac{{(y_i-{\theta }_i)}^2+d_i{s}_i^2}{2}\right)$ et $h({\sigma }_i^2)=\exp \left(-\frac{{(\log ({\sigma }_i^2)-{z_i^{\prime }}_{}\delta )}^2}{2{\tau }^2}\right);$
• $\left[\delta |y,\theta ,\beta ,{\sigma }_i^2,{\sigma }_v^2,{\tau }^2\right]~N_2\left({\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{z}_i{z_i^{\prime }}_{}}\right)}^{-1}\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{z}_i\log ({\sigma }_i^2)}\right),{\tau }^2{\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{z}_i{z_i^{\prime }}_{}}\right)}^{-1}\right);$
• $\left[{\tau }^2|y,\theta ,\beta ,{\sigma }_i^2,{\sigma }_v^2,\delta \right]~\text{IG}\left(\frac{m}{2}-1,\frac{1}{2}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{\left(\log ({\sigma }_i^2)-{z_i^{\prime }}_{}\delta \right)}^2}\right).$

Nous passons par l’étape de rejet de l’algorithme Metropolis-Hastings pour actualiser ${\sigma }_i^2:$

1. on tire ${\sigma }_i^{2*}$ de $\text{IG}\left(\frac{d_i+1}{2},\frac{{(y_i-{\theta }_i)}^2+d_i{s}_i^2}{2}\right);$
2. on calcule la probabilité d’acceptation $\alpha ({\sigma }_i^{2*},{\sigma }_i^2{}^{(k)})=\min \left\{h({\sigma }_i^{2*})/h({\sigma }_i^2{}^{(k)}),1\right\};$
3. on tire $u$ de la distribution uniforme (0, 1); si $u<\alpha ({\sigma }_i^{2*},{\sigma }_i^2{}^{(k)}),$ la valeur candidate ${\sigma }_i^{2*}$ est acceptée et ${\sigma }_i^2{}^{(k+1)}={\sigma }_i^{2*};$ dans le cas contraire, ${\sigma }_i^{2*}$ est rejeté et ${\sigma }_i^2{}^{(k+1)}={\sigma }_i^2{}^{(k)}.$

Remerciements

J’aimerais remercier le rédacteur en chef, le rédacteur adjoint et un examinateur de leurs observations et leurs suggestions constructives ayant permis d’améliorer cet article.

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