Estimation sur petits domaines à l’aide du modèle au niveau de domaine de Fay-Herriot avec lissage et modélisation de variance d’échantillonnage
Section 4. Application

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Dans cette section, nous appliquons les modèles des sections 2 et 3 aux données canadiennes de l’Enquête sur la population active (EPA) et comparons les estimations MPLSBE et HB. L’EPA diffuse chaque mois des estimations du taux de chômage pour de grands territoires comme le pays entier et les provinces aussi bien que pour de petites régions comme les régions métropolitaines de recensement (RMR) et les agglomérations de recensement (AR) de tout le Canada. Les estimations directes de l’EPA pour un certain nombre d’unités locales manquent de fiabilité, présentant des coefficients de variation (CV) très élevés à cause des petites tailles d’échantillon. Nous considérons que les estimateurs fondés sur le modèle viennent améliorer ces estimations directes. En guise d’illustration, nous appliquons le modèle de Fay-Herriot aux estimations du taux de chômage de mai 2016 au niveau des RMR-AR; nous comparons les estimations fondées sur le modèle et directes aux estimations du recensement pour mettre en contraste les effets du lissage et de la modélisation de la variance d’échantillonnage. Hidiroglou et coll. (2019) ont aussi comparé les estimations de l’EPA fondées sur le modèle aux estimations du recensement. Dans l’estimation du taux de chômage, la proportion mensuelle de prestataires locaux de l’assurance-emploi sert de variable auxiliaire dans le modèle. Dans une comparaison des estimations ponctuelles, nous calculons l’erreur relative absolue (ERA) des estimations directes et fondées sur le modèle relativement aux estimations du recensement pour chaque RMR ou AR :

$${\text{ERA}}_i=\left|\frac{{\theta }_i^{\text{Census}}-{\theta }_i^{\text{Est}}}{{\theta }_i^{\text{Census}}}\right|,$$

où ${\theta }_i^{\text{Est}}$ est l’estimation directe ou par MPLSBE/HB et où ${\theta }_i^{\text{Census}}$  est la valeur correspondante du recensement pour le taux de chômage. Il s’agit ensuite de prendre la moyenne des ERA sur l’ensemble des RMR et AR. Nous calculons les CV moyens des estimations directes et fondées sur le modèle. Nous privilégierons un modèle où les ERA et les CV sont moindres.

Nous appliquons les modèles d’abord aux 117 RMR et AR à taille d’échantillon $\ge 2,$ ensuite à 92 à taille d’échantillon $\ge 5$ et enfin à 79 à taille d’échantillon $\ge 7.$  Le tableau 4.1 présente les ERA moyennes et les CV moyens correspondants (ceux-ci entre parenthèses). Dans ce tableau, les valeurs présentées de modélisation sont fonction du lissage ou de l’estimation directe de la variance d’échantillonnage.

En cas de lissage, les deux méthodes FH-MPLSBE et FH-HB améliorent nettement les estimations d’enquête directes avec les ERA et les CV sont bien moindres. Mentionnons en particulier que l’ERA et le CV sont respectivement les moindres avec FH-HB et FH-MPLSBE. Si la modélisation porte sur les 117 régions, les ERA et CV moyens sont respectivement de 0,263 et 0,329 pour l’estimateur direct de l’EPA, de 0,124 et 0,087 pour le lissage FH-MPLSBE et de 0,118 et 0,116 pour le lissage FH-HB. Le bon résultat des lissages FH-MPLSBE et FH-HB de la variance d’échantillonnage indique que la fonction généralisée de variance (2.2) est très utile dans ce cas et réussit à améliorer les estimations fondées sur le modèle.

En cas d’estimation directe de la variance d’échantillonnage, FH-MPLSBE et FH-HB ont les pires résultats de tous les modèles, et ils sont presque identiques dans ce scénario. Les trois autres modèles HB s’en tirent mieux que les modèles FH-MPLSBE et FH-HB en cas d’estimation directe. YLLM et STKM sont d’un meilleur rendement que YCM avec des ERA et des CV moindres. YLLM et STKM ont des résultats à peu près identiques pour tous les groupes de RMR-AR; YLLM montre toujours une ERA légèrement inférieure, mais un CV légèrement supérieur à ceux de STKM. Sur l’ensemble des 117 régions, YLLM et STKM ont, par exemple, des ERA à 0,135 et 0,137 et des CV moyens à 0,123 et 0,122. YCM présente des valeurs correspondantes de 0,148 et 0,136 et FH-HB, de 0,171 et 0,221.

Passons maintenant à une comparaison de modélisation bayésienne avec ordonnée prédictive conditionnelle (OPC) qui porte sur les quatre modèles HB pour l’estimation directe. Les OPC sont les valeurs observées de vraisemblance en fonction de la distribution prédictive sur validation croisée $f(y_i|y_{\text{obs}(i)}).$ Nous calculons les valeurs OPC pour les divers points $y_{i,\text{obs}}$ de données d’observation. Une OPC plus élevée indique que $y_{i,\text{obs}}$ favorise le modèle et permet un meilleur ajustement. S’il s’agit de choisir un modèle, nous pouvons calculer le rapport des OPC entre un modèle A et un modèle B. Si ce rapport est supérieur à 1, $y_{i,\text{obs}}$ favorise le modèle A. Nous calculons les rapports OPC pour YCM/FH-HB, YLLM/FH-HB et STKM/FH-HB et comptons les fois que le rapport est supérieur à 1. Nous pouvons aussi tracer la courbe des valeurs OPC ou condenser celles-ci en prenant la moyenne des OPC estimées. Pour plus de détails sur l’ordonnée prédictive conditionnelle, voir, par exemple, Gilks, Richardson et Spiegelhalter (1996), page 153, You et Rao (2000) et Molina, Nandram et Rao (2014). Le tableau 4.2 présente les OPC moyennes et médianes pour les 117 RMR-AR, ainsi que le nombre de rapports OPC supérieurs à 1.

Il ressort du tableau 4.2 que YCM, YLLM et STKM présentent des valeurs OPC supérieures à celles de FH-HB, indice que le modèle HB en modélisation de variance d’échantillonnage est préférable lorsque les estimations directes de cette variance sont employées. Il ressort également que YLLM et STKM sont préférables à YCM. Dans le cas des rapports OPC sur l’ensemble des 117 régions, 72 régions ou observations favorisent YCM, 78 YLLM et 76 STKM. Ainsi, plus d’observations font préférer YCM, YLLM et STKM à FH-HB; YLLM présente le plus de rapports OPC supérieurs à 1. La comparaison OPC s’accorde avec les résultats au tableau 4.1. Pour les autres méthodes de vérification et d’évaluation de modèles, voir Hidiroglou et coll. (2019).

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