Estimation sur petits domaines à l’aide du modèle au niveau de domaine de Fay-Herriot avec lissage et modélisation de variance d’échantillonnage
Section 3. Modèle de Fay-Herriot avec le cadre HB en modélisation de la variance d’échantillonnage

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Nous présenterons d’abord le modèle de Fay-Herriot dans un cadre hiérarchique bayésien (HB) et considérerons ensuite trois modèles de la variance d’échantillonnage. Le premier est de You et Chapman (2006) où un modèle à distribution gamma inverse est appliqué à la variance d’échantillonnage ${\sigma }_i^2$ avec des valeurs connues de paramètres vagues. Le deuxième modèle est de You (2016) avec un modèle loglinéaire à erreur aléatoire appliqué à ${\sigma }_i^2.$ Le troisième est proposé par Sugasawa et coll. (2017) avec un modèle à distribution gamma inverse appliqué à ${\sigma }_i^2,$ mais dans des réglages paramétriques différents.

Modèle HB 1 : modèle de Fay-Herriot dans un cadre HB, que nous appellerons FH-HB :

• $y_i|{\theta }_i,{\sigma }_i^2~\text{ind}N({\theta }_i,{\sigma }_i^2),i=1,\dots ,m;$
• ${\theta }_i|\beta ,{\sigma }_v^2~\text{ind}N({x_i^{\prime }}_{}\beta ,{\sigma }_v^2),i=1,\dots ,m;$
• distributions a priori uniformes pour les paramètres inconnus : $\pi (\beta )\propto 1,$ $\pi ({\sigma }_v^2)\propto 1.$

À noter que, dans ce modèle, la variance d’échantillonnage ${\sigma }_i^2$ est censée être connue. À la place de ${\sigma }_i^2,$ il y aura une estimation lissée de la variance d’échantillonnage ${\tilde{\sigma }}_i^2$ ou une estimation directe $s_i^2.$

Modèle HB 2 : modèle de You-Chapman (You et Chapman, 2006), que nous appellerons YCM :

• $y_i|{\theta }_i,{\sigma }_i^2~\text{ind}N({\theta }_i,{\sigma }_i^2),i=1,\dots ,m;$
• $d_i{s}_i^2|{\sigma }_i^2~\text{ind}{\sigma }_i^2{\chi }_{d_i}^2,$ $d_i=n_i-1,i=1,\dots ,m;$
• ${\theta }_i|\beta ,{\sigma }_v^2~\text{ind}N({x_i^{\prime }}_{}\beta ,{\sigma }_v^2),i=1,\dots ,m;$
• $\pi ({\sigma }_i^2)~\text{IG}(a_i,b_i),$ où $a_i=$ 0,0001, $b_i=$ 0,0001, $i=1,\dots ,m;$
• distributions a priori uniformes pour les paramètres inconnus : $\pi (\beta )\propto 1,$ $\pi ({\sigma }_v^2)\propto 1.$

On peut trouver dans You et Chapman (2006) les distributions conditionnelles complètes pour la procédure d’échantillonnage de Gibbs avec les modèles FH-HB et YCM.

Modèle HB 3 : modèle loglinéaire de You (2016) pour les variances d’échantillonnage, que nous appellerons YLLM :

• $y_i|{\theta }_i,{\sigma }_i^2~\text{ind}N({\theta }_i,{\sigma }_i^2),i=1,\dots ,m;$
• $d_i{s}_i^2|{\sigma }_i^2~\text{ind}{\sigma }_i^2{\chi }_{d_i}^2,d_i=n_i-1,i=1,\dots ,m;$
• ${\theta }_i|\beta ,{\sigma }_v^2~\text{ind}N({x_i^{\prime }}_{}\beta ,{\sigma }_v^2),i=1,\dots ,m;$
• $\log ({\sigma }_i^2)~N\left({\delta }_1+{\delta }_2\log (n_i),{\tau }^2\right),i=1,\dots ,m;$
• distributions a priori uniformes pour les paramètres inconnus : $\pi (\beta )\propto 1,$ $\pi ({\delta }_1,{\delta }_2)\propto 1,$ $\pi ({\sigma }_v^2)\propto 1,$ $\pi ({\tau }^2)\propto 1.$

Signalons que le modèle YLLM est un modèle loglinéaire appliqué à la variance d’échantillonnage ${\sigma }_i^2$ qui amplifie le modèle proposé par Souza, Moura et Migon (2009) en utilisant $\log (n_i)$ et en ajoutant un effet aléatoire à la partie « régression » du modèle. On trouvera en annexe les distributions conditionnelles complètes pour la procédure d’échantillonnage de Gibbs.

Modèle HB 4 : modèle de Sugasawa, Tamae et Kubokawa (2017) resserrant tant les moyennes que les variances, que nous appellerons STKM :

• $y_i|{\theta }_i,{\sigma }_i^2~\text{ind}N({\theta }_i,{\sigma }_i^2),i=1,\dots ,m;$
• $d_i{s}_i^2|{\sigma }_i^2~\text{ind}{\sigma }_i^2{\chi }_{d_i}^2,d_i=n_i-1,i=1,\dots ,m;$
• ${\theta }_i|\beta ,{\sigma }_v^2~\text{ind}N({x_i^{\prime }}_{}\beta ,{\sigma }_v^2),i=1,\dots ,m;$
• $\pi ({\sigma }_i^2)~\text{IG}(a_i,b_i\gamma ),$ où $a_i$ et $b_i$ sont des constantes connues, $a_i=O\left(1\right);$ $b_i=O(n_i^{-1});$
• distributions a priori uniformes pour les paramètres inconnus : $\pi (\beta )\propto 1,$ $\pi ({\sigma }_v^2)\propto 1,$ $\pi (\gamma )\propto 1.$

Mentionnons que, dans STKM pour le modèle à distribution gamma inverse de ${\sigma }_i^2,$ nous choisissons $a_i=2$ et $b_i=n_i^{-1},$ ainsi que le proposent Sugasawa et coll. (2017). Ghosh et coll. (2018) ont opté pour le même paramétrage dans leur étude comparative des estimateurs HB. On peut trouver les distributions conditionnelles complètes pour STKM dans Sugasawa et coll. (2017).

À noter que, dans les modèles HB 2 à 4 qui précèdent, la modélisation khi-carré de la variance d’échantillonnage $d_i{s}_i^2~{\sigma }_i^2{\chi }_{d_i}^2$ fait appel à la normalité et à un échantillonnage aléatoire simple (Rivest et Vandal, 2002). Dans le cas des plans de sondage complexes, on pourrait devoir déterminer plus soigneusement les degrés de liberté $d_i.$ Il n’y a pas de solide résultat théorique pour cette détermination (Dass et coll., 2012). Des formules peuvent se révéler utiles comme l’approximation sur erreurs de niveau d’unité non normales que proposent Wang et Fuller (2003) ou la règle par simulation de Maples, Bell et Huang (2009), mais on aura besoin dans l’un et l’autre cas de données de niveau des unités et d’une vaste étude de simulation. Une détermination prudente des degrés de liberté pourrait constituer une approximation raisonnablement utile. Ajoutons qu’une analyse bayésienne d’ajustement de modèle pourrait aussi servir à une détermination du modèle.

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