Estimation sur petits domaines à l’aide du modèle au niveau de domaine de Fay-Herriot avec lissage et modélisation de variance d’échantillonnage
Section 1. Introduction

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L’estimation sur petits domaines est prisée et importante dans l’analyse de données d’enquête. On a largement recouru aux modèles pour établir des estimations fiables sur petits domaines. Dans la pratique, on se sert d’habitude de modèles au niveau de domaine chaque fois que des estimations d’enquête directes et des variables auxiliaires de niveau de domaine sont disponibles. Divers modèles en ce sens ont été proposés en vue d’accroître la précision des estimations d’enquête directes (voir Rao et Molina, 2015). Parmi les modèles au niveau de domaine, celui de Fay-Herriot (Fay et Herriot, 1979) est un modèle de base amplement utilisé dans l’estimation sur petits domaines. Il comporte deux composantes, à savoir un modèle d’échantillonnage pour les estimations d’enquête directes et un modèle de lien pour le paramètre du petit domaine choisi. Avec le modèle d’échantillonnage, nous posons qu’un estimateur d’enquête direct $y_i$ est sans biais sous le plan de sondage pour le paramètre de petit domaine ${\theta }_i,$ de sorte que

$$y_i={\theta }_i+e_i,i=1,\dots ,m,(1.1)$$

où $e_i$ est l’erreur d’échantillonnage liée à l’estimateur direct $y_i$ et où $m$ est le nombre de petits domaines. L’hypothèse habituelle est que les $e_i$ sont des variables aléatoires normales indépendantes dont la moyenne est $\text{E}(e_i)=0$ et la variance d’échantillonnage, $Var(e_i)={\sigma }_i^2.$ Avec le modèle de lien, nous posons que le paramètre de petit domaine ${\theta }_i$ est lié aux variables auxiliaires $x_i=(x_{i1},\dots ,x_{ip}{)}^{\prime }$ par un modèle de régression linéaire qui est

$${\theta }_i=x_i^{\prime }\beta +v_i,i=1,\dots ,m,(1.2)$$

où $\beta =({\beta }_1,\dots ,{\beta }_p{)}^{\prime }$ est un vecteur $p\times 1$ de coefficients de régression et où les $v_i$ sont des effets aléatoires propres au domaine que nous supposons indépendants et d’une distribution identique avec $\text{E}(v_i)=0$ et $Var(v_i)={\sigma }_v^2.$ L’hypothèse de normalité est généralement formulée. Les effets aléatoires $v_i$ et les erreurs d’échantillonnage $e_i$ sont mutuellement indépendants. La variance de modèle ${\sigma }_v^2$ est inconnue et doit faire l’objet d’une estimation. La combinaison des modèles (1.1) et (1.2) nous donne un modèle mixte linéaire qui est

$$y_i=x_i^{\prime }\beta +v_i+e_i,i=1,\dots ,m.(1.3)$$

Le modèle (1.3) fait intervenir tant des erreurs aléatoires fondées sur le plan $e_i$ que des effets aléatoires fondés sur le modèle $v_i.$ Nous supposons ordinairement que, dans le cas du modèle de Fay-Herriot, la variance d’échantillonnage ${\sigma }_i^2$ est connue. C’est là une hypothèse très forte et, dans la pratique, nous disposerons généralement d’estimations directes sans biais des variances d’échantillonnage. S’il s’agit d’employer des estimations directes de variance d’échantillonnage, deux méthodes s’offrent dans la pratique, soit par lissage et par modélisation. Dans le premier cas, des estimations lissées de ces variances entrent dans le modèle de Fay-Herriot et sont ensuite traitées comme connues. Cette méthode exige des variables et des modèles externes comme une fonction généralisée de variance (FGV) et des effets du plan de sondage. You et Hidiroglou (2012) se sont attachés aux méthodes avec FGV et effets du plan pour un lissage des variances d’échantillonnage en présence de proportions. Nous emploierons ici un modèle FGV proposé par You et Hidiroglou (2012) en matière de lissage de variance d’échantillonnage.

Une solution autre que le lissage est le recours habituel dans la pratique à une modélisation de variance d’échantillonnage. Soit $s_i^2$ désignant l’estimateur direct de la variance d’échantillonnage ${\sigma }_i^2.$ Nous considérons pour $s_i^2$ un modèle spécial sous la forme $d_i{s}_i^2~{\sigma }_i^2{\chi }_{d_i}^2,$ où $d_i=n_i-1$ et où $n_i$ est la taille d’échantillon du $i^{\text{e}}$ domaine. Rivest et Vandal (2002) et Wang et Fuller (2003) ont appliqué la méthode dite du meilleur prédicteur linéaire sans biais empirique (MPLSBE) pour dégager les estimations fondées sur le modèle. You et Chapman (2006) ont retenu une méthode hiérarchique bayésienne (HB) et combiné le modèle de variance d’échantillonnage $d_i{s}_i^2~{\sigma }_i^2{\chi }_{d_i}^2$ et le modèle de petit domaine (1.3). Le modèle ainsi obtenu tire sa puissance des estimations à la fois de petit domaine et de variance d’échantillonnage. Ainsi, la modélisation intégrée HB avec $d_i{s}_i^2~{\sigma }_i^2{\chi }_{d_i}^2$ a largement été utilisée dans la pratique, notamment par You (2008, 2016), Dass, Maiti, Ren et Sinha (2012), Sugasawa, Tamae et Kubokawa (2017), Ghosh, Myung et Moura (2018) et Hidiroglou, Beaumont et Yung (2019).

Nous regarderons ici les approches par lissage et par modélisation des variances d’échantillonnage. À la section 2, nous présentons la méthode MPLSBE en fonction des estimations tant lissées que directes des variances d’échantillonnage. À la section 3, nous présentons le modèle HB de Fay-Herriot et trois autres modèles HB basés sur la modélisation des variances d’échantillonnage. À la section 4, nous comparons les effets du lissage et de la modélisation de la variance d’échantillonnage par une analyse de données réelles et enfin, à la section 5, nous y allons de nos suggestions.

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