Estimation sur petits domaines à l’aide du modèle au niveau de domaine de Fay-Herriot avec lissage et modélisation de variance d’échantillonnage
Section 2. Modèle de Fay-Herriot avec le cadre MPLSBE

• Précédent
• Suivant

Si nous employons le modèle de Fay-Herriot (1.3) et posons que ${\sigma }_i^2$ et ${\sigma }_v^2$ sont connus dans ce modèle, nous obtenons le meilleur estimateur de prédiction linéaire sans biais (MPLSB) de ${\theta }_i$ comme ${\tilde{\theta }}_i={\gamma }_i{y}_i+(1-{\gamma }_i){x_i^{\prime }}_{}\tilde{\beta },$ où ${\gamma }_i={\sigma }_v^2/({\sigma }_v^2+{\sigma }_i^2)$ et $\tilde{\beta }={\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{({\sigma }_i^2+{\sigma }_v^2)}^{-1}{x}_i{x_i^{\prime }}_{}}\right)}^{-1}\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{({\sigma }_i^2+{\sigma }_v^2)}^{-1}{x}_i{y}_i}\right).$ Pour estimer la composante ${\sigma }_v^2$ de la variance, nous devons supposer au départ que ${\sigma }_i^2$ est connu. Plusieurs méthodes s’offrent pour l’estimation de cette composante; nous allons employer la méthode du maximum de vraisemblance restreint (REML). Nous obtenons ainsi le MPLSBE du paramètre de petit domaine ${\theta }_i$ comme

$${\widehat{\theta }}_i={\widehat{\gamma }}_i{y}_i+(1-{\widehat{\gamma }}_i){x_i^{\prime }}_{}\widehat{\beta },(2.1)$$

où ${\widehat{\gamma }}_i={\widehat{\sigma }}_v^2/({\widehat{\sigma }}_v^2+{\sigma }_i^2)$ et où ${\widehat{\sigma }}_v^2$ est l’estimateur REML. L’estimateur de l’erreur quadratique moyenne (EQM) de ${\widehat{\theta }}_i$ nous est donné par $\text{eqm}({\widehat{\theta }}_i)=g_{1i}+g_{2i}+2g_{3i},$ où $g_{1i}={\widehat{\gamma }}_i{\sigma }_i^2$ est le terme principal, où $g_{2i}$ rend compte de la variabilité due à l’estimation du paramètre de régression $\beta$ et où $g_{3i}$ découle de l’estimation de la variance de modèle ${\sigma }_v^2$ (voir les détails dans Rao et Molina, 2015).

Nous pouvons utiliser l’estimation lissée ou l’estimation directe de ${\sigma }_i^2$ en (2.1). S’il s’agit de lisser la variance d’échantillonnage, nous appliquons un modèle de régression loglinéaire à la variance d’estimation directe $s_i^2,$ comme le proposent You et Hidiroglou (2012). Le modèle de lissage se définit comme

$$\log (s_i^2)={\eta }_0+{\eta }_1\log (n_i)+{\epsilon }_i,i=1,\dots ,m,(2.2)$$

où le terme d’erreur du modèle est ${\epsilon }_i~N(0,{\psi }^2)$ et où ${\psi }^2$ est inconnu. Soit ${\widehat{\eta }}_0$ et ${\widehat{\eta }}_1$ les estimations par les moindres carrés ordinaires des coefficients de régression ${\eta }_0$ et ${\eta }_1,$ et soit ${\widehat{\psi }}^2$ la variance résiduelle estimée du modèle de régression loglinéaire (2.2). Nous pouvons obtenir un estimateur lissé de la variance d’échantillonnage ${\sigma }_i^2$ sous la forme suivante :

$${\tilde{\sigma }}_i^2=\exp \left({\widehat{\eta }}_0+{\widehat{\eta }}_1\log (n_i)\right)exp\left({\widehat{\psi }}^2/2\right).$$

Les variances d’échantillonnage en lissage ${\tilde{\sigma }}_i^2$ peuvent alors être employées dans l’estimateur MPLSBE (2.1) et le calcul de son EQM. C’est là une procédure courante (voir Rao et Molina, 2015).

Là où une estimation directe de la variance d’échantillonnage $s_i^2$ remplace sa valeur réelle ${\sigma }_i^2$ en (2.1), un terme supplémentaire rendant compte de l’incertitude de l’utilisation de $s_i^2$ est nécessaire dans l’estimateur EQM. Ce terme appelé $g_{4i}$ est donné par $g_{4i}=4{(n_i-1)}^{-1}{\widehat{\sigma }}_v^4{s}_i^4{({\widehat{\sigma }}_v^2+s_i^2)}^{-3}$ (voir Rivest et Vandal (2002) et Rao et Molina (2015), page 150). En employant directement $s_i^2$ dans le cadre MPLSBE, on risque de surestimer la variance du modèle ${\sigma }_v^2$ (You, 2010; Rubin-Bleuer et You, 2016) et d’obtenir des estimations moins fidèles. Nous comparerons les estimations MPLSBE et HB en fonction des valeurs lissées et directes de variance d’échantillonnage à la section 4.

• Précédent
• Page principale de l'article
• Suivant