Estimation polynomiale locale pour une moyenne de petit domaine sous échantillonnage informatif
Section 5. Étude de simulation

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Le paramétrage de cette étude par simulation suit celui de Verret et coll. (2015). Nous avons considéré une population comptant $M=$ 15 petits domaines et $N_i=$ 15 unités par petit domaine. Nous avons opté pour ces valeurs relativement faibles de domaines et d’unités pour alléger les calculs. Nous avons employé une seule variable auxiliaire $x.$ Nous avons généré les valeurs $x$ de population à partir d’une distribution gamma à moyenne 10 et à variance 50. Nous avons produit les valeurs $y_{ij}$ de population par le modèle

$$y_{ij}=4+x_{ij}+v_i+e_{ij};i=1,\dots ,15;j=1,\dots ,15,(5.1)$$

où $v_i\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_v^2\right)$ et $e_{ij}\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_e^2\right)$ avec ${\sigma }_v^2=$ 0,5 et ${\sigma }_e^2=$ 2.

Nous avons pris en compte une taille unique d’échantillon, $n_i=$ 3, à l’intérieur d’un petit domaine. Nous avons procédé par échantillonnage de Poisson conditionnel (EPC) pour prélever des échantillons non équiprobables dans les petits domaines, les probabilités étant proportionnelles aux tailles spécifiées $c_{ij}$ (voir Tillé, 2006, chapitre 5). Nous avons examiné deux choix de tailles $c_{ij}$ dans l’étude de simulation. Le premier choix était

$$c_{ij}=\exp \left[\frac{1}{3}\left\{-\frac{(v_i+e_{ij})}{{\sigma }_e}+\frac{{\delta }_{ij}}{5}\right\}\right],(5.2)$$

où ${\delta }_{ij}\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,1\right).$ Les mesures de taille en (5.2) équivalent à celles de Pfeffermann et Sverchkov (2007) dans leur propre étude de simulation et satisfont la relation en (2.5) pour les poids $w_{j|i}={\pi }_{j|i}^{-1}.$

Dans un second choix de mesures de taille d’après Asparouhov (2006), nous prenons deux mesures invariante (I) et non invariante (NI). Dans la mesure invariante, $c_{ij}$ est indépendant de $v_i$ étant donné $x_{ij},$ sinon il s’agit de la mesure non invariante. Les mesures de taille invariantes sont données par

$$c_{ij}={\left(1+\exp \left\{-\tau \left(\frac{1}{\alpha }{e}_{ij}+\sqrt{1-\frac{1}{{\alpha }^2}}{e}_{ij}^{*}\right)\right\}\right)}^{-1}.(5.3)$$

Les mesures non invariantes le sont par

$$c_{ij}={\left(1+\exp \left\{-\tau \left[\frac{1}{\alpha }\left(v_i+e_{ij}\right)+\sqrt{1-\frac{1}{{\alpha }^2}}\left(v_i^{*}+e_{ij}^{*}\right)\right]\right\}\right)}^{-1},(5.4)$$

où la paire aléatoire $\left(v_i^{*},e_{ij}^{*}\right)$ se génère indépendamment de $\left(v_i,e_{ij}\right)$ par les mêmes distributions comme $v_i$ et $e_{ij}.$ Ce sont les mesures de taille retenues par Asparouhov (2006). Le coefficient $\tau$ permet de tenir compte de la variation des poids et la valeur $\alpha ,$ du degré de contenu informatif du plan de sondage. Nous avons choisi $\tau =$ 0,5 et $\alpha =1;2;3$ et $\infty$ correspondant à la pluralité de degrés de contenu informatif venant de $c_{ij}$ en (5.3) et (5.4). Si $\alpha$ augmente, le contenu informatif diminue; $\alpha =\infty$ correspond à un échantillonnage non informatif. Si certains ${\pi }_{j|i}$ dépassaient l’unité, nous les avons fixés à un et recalculé les probabilités pour les unités restantes.

5.1  Rendement de l’estimateur polynomial local de ${\overline{Y}}_i$

Nous avons comparé le biais et l’erreur quadratique moyenne des estimateurs ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}},$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH}}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}.$ L’estimateur EBLUP ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ fondé sur (1.1) présuppose que le modèle d’échantillon coïncide avec le modèle de population, faisant ainsi abstraction du contenu informatif du plan d’échantillonnage. Nous avons étudié deux versions de ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH}}$ examinées par Verret et coll. (2015) pour divers choix de $g(\cdot )$ rendant compte du contenu informatif. Il s’agit d’estimateurs EBLUP fondés sur le modèle d’échantillon augmenté en (1.2). Ils sont désignés par ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH1}}$ quand $g\left(p_{j|i}\right)=p_{j|i}$ et par ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH2}}$ quand $g\left(p_{j|i}\right)=\log \left(p_{j|i}\right).$ Nous présentons les résultats seulement pour ces fonctions $g,$ car elles sont d’un meilleur rendement que les autres fonctions dans Verret et coll. (2015). Précisons enfin que ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ représente notre nouvel estimateur polynomial local.

Nous avons calculé le biais et l’erreur quadratique moyenne des estimateurs à l’aide de $R=$ 1 000 échantillons en simulation prélevés dans un traitement plan-modèle. Dans chaque passage, $r=1,\dots ,R,$ nous avons d’abord produit les valeurs $y_{ij}$ de population selon le modèle de population en (5.1) et calculé ${\overline{Y}}_i^{\left(r\right)},$ la moyenne du petit domaine $i$ dans la $r^{\text{e}}$ population générée. Nous avons ensuite tiré des échantillons de taille $n_i=3$ à l’intérieur des petits domaines dans un échantillonnage de Poisson conditionnel où les probabilités étaient proportionnelles aux tailles spécifiées $c_{ij}^{\left(r\right)}$ en (5.2) pour les mesures de taille PS de Pfeffermann et Sverchkov (2007) et en (5.3) et (5.4) pour les mesures invariantes et non invariantes AP d’Asparouhov (2006). Avec chaque échantillon $r$ en simulation $\left(r=1,\dots ,R\right),$ nous avons établi les estimations ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}\left(r\right)},$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH1}\left(r\right)},$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH2}\left(r\right)}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}\left(r\right)}$ pour chaque petit domaine $U_i.$ Nous avons trouvé une largeur de bande optimale $h_{\text{opt}}^{\left(r\right)}$ pour ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}\left(r\right)}$ en appliquant le critère de validation croisée. Une grille de la forme (0,01; 0,02; 0,03;…; 0,15) nous a donné les valeurs possibles de $h_{\text{opt}}^{\left(r\right)}$ dans les populations générées en (5.1).

Pour un estimateur donné de la moyenne de petit domaine ${\overline{Y}}_i,$ nous avons considéré les mesures de rendement suivantes :

Biais absolu moyen

$$\overline{\text{BA}}=\frac{1}{M}{\displaystyle \sum _{i=1}^M{\text{BA}}_i},$$

où

$${\text{BA}}_i=\left|\frac{1}{R}{\displaystyle \sum _{r=1}^R\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\left(r\right)}-{\overline{Y}}_i^{\left(r\right)}\right)}\right|.$$

Racine de l’erreur quadratique moyenne (REQM)

$$\overline{\text{REQM}}=\frac{1}{M}{\displaystyle \sum _{i=1}^M\sqrt{\frac{1}{R}{\displaystyle \sum _{r=1}^R{\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\left(r\right)}-{\overline{Y}}_i^{\left(r\right)}\right)}^{\text{2}}}}}.$$

Le tableau 5.1 présente le biais absolu moyen $\left(\overline{\text{BA}}\right)$ des estimateurs ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}},$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH1}},$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH2}}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ avec les mesures de taille PS en (5.2) et AP en (5.3 et 5.4) pour $\alpha =1;2;3$ et $\infty .$

Comme on le fait observer dans Verret et coll. (2015), le $\overline{\text{BA}}$ de l’estimateur EBLUP ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ avec la seule variable auxiliaire $x$ est bien plus élevé que les estimateurs fondés sur les modèles augmentés $(p_{j|i}$ et $\log (p_{j|i}))$ et la méthode polynomiale locale. Cela se vérifie quelle que soit la façon dont les mesures de taille sont générées (PS ou AP). Le $\overline{\text{BA}}$ de ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ prend sa plus grande valeur (0,431) lorsque le plan de sondage est très informatif $\left(\alpha =1\right)$ et diminue à mesure que $\alpha$ augmente. Cette observation vaut également pour les estimateurs fondés sur les modèles augmentés. L’inclusion de $p_{j|i}$ ou de $\log \left(p_{j|i}\right)$ en variable d’augmentation dans le modèle donne de petites valeurs $\overline{\text{BA}},$ la plus haute étant de 0,036. Si nous comparons les $\overline{\text{BA}}$ de l’estimateur polynomial local ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ aux $\overline{\text{BA}}$ des modèles augmentés VRH, nous constatons qu’ils sont comparables pour $\alpha =1$ et $\alpha =2$ et un peu plus élevés pour $\alpha \ge 3.$

Le tableau 5.2 présente les données de simulation de la racine de l’erreur quadratique moyenne $\left(\overline{\text{REQM}}\right)$ des estimateurs pour les mesures de taille PS en (5.2) et AP en (5.3 et 5.4) et pour $\alpha =1;2;3$ et $\infty .$ L’estimateur EBLUP, ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}},$ avec le modèle (1.1) et sans la variable d’augmentation $g\left(p_{j|i}\right)$ a les valeurs $\overline{\text{REQM}}$ les plus hautes (0,740 pour I et 0,752 pour NI) avec les mesures de taille AP correspondant à $\alpha =1;$ la valeur est de 0,685 pour les mesures de taille PS. Les valeurs $\overline{\text{REQM}}$ décroissent à mesure que croît $\alpha$ avec 0,608 pour I et 0,610 pour NI dans le cas d’un échantillonnage non informatif $\left(\alpha =\infty \right).$ Les valeurs $\overline{\text{REQM}}$ pour ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH1}},$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH2}}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ sont significativement moindres que celles de ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ dans le cas d’un échantillonnage très informatif $\left(\alpha =1\right)$ et pour la mesure de taille PS. Il existe de légères différences de $\overline{\text{REQM}}$ entre la méthode non paramétrique et la méthode paramétrique dans Verret et coll. (2015).

Quand l’échantillonnage est moins informatif $\left(\alpha =3\right),$ l’estimateur linéaire local ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ est meilleur que l’estimateur ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}},$ mais ses valeurs $\overline{\text{REQM}}$ sont un peu plus élevées que celles des estimateurs paramétriques ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH1}}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH2}}.$ Nous observons dans ce cas que la fonction estimée $m_0\left(p_{j|i}\right)$ est proche d’un tracé plat, d’où l’implication que l’approximation linéaire locale ne convient pas aussi bien. Cela explique que ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ soit légèrement pire que ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH1}}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH2}}$ avec un faible degré de contenu informatif de l’échantillonnage. Un estimateur polynomial local est d’un bon rendement lorsque la fonction $m_0(\cdot )$ est significativement non constante.

Avec un échantillon non informatif $\left(\alpha =\infty \right),$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ l’emporte sur ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH1}},$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH2}}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ dans les mesures invariantes ou non. Cette conclusion s’écarte quelque peu de celle de Verret et coll. (2015), là où, pour $\alpha =\infty ,$ leurs estimateurs ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}},$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH1}}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH2}}$ ont des valeurs égales $\overline{\text{BA}}$ et $\overline{\text{REQM}}.$ Verret et coll. (2015) employaient des populations et des échantillons plus grands, ce qui pourrait expliquer que leurs modèles augmentés aient produit des estimations aussi bonnes que le modèle de population avec des plans d’échantillonnage non informatifs. Dans notre paramétrage de simulation, nous avons constaté que $\overline{\text{BA}}$ et $\overline{\text{REQM}}$ pour l’EBLUP sont petits lorsque les valeurs $\alpha$ sont de plus de 6, ce qui correspond à un plan de sondage presque non informatif. Nous recommandons en pareil cas d’utiliser l’estimateur EBLUP.

5.2  Rendement des estimateurs de l’EQM

Considérons maintenant le rendement des méthodes bootstrap d’estimation de l’EQM des estimateurs EBLUP et VRH et de l’estimateur polynomial local. Soit ${\widehat{\overline{Y}}}_i$ un estimateur de ${\overline{Y}}_i$ et ${\text{eqm}}_{\text{boot}}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right)$ l’estimateur bootstrap de $\text{EQM}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right).$ En prévoyant $R=$ 1 000 populations et échantillons en simulation, nous avons d’abord pris la mesure des valeurs EQM comme

$$\text{EQM}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right)=\frac{1}{R}{\displaystyle \sum _{r=1}^R{\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\left(r\right)}-{\overline{Y}}_i^{\left(r\right)}\right)}^{\text{2}}},$$

où ${\overline{Y}}_i^{\left(r\right)}$ est la moyenne réelle et où ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\left(r\right)}$ est la valeur de l’estimateur pour la $r^{\text{e}}$  population. Soit ${\text{eqm}}_{\text{boot}}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right)$ l’estimateur bootstrap de $\text{EQM}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right).$ Il est désigné par ${\text{eqm}}_{\text{boot}}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}\right)$ pour l’estimateur EBLUP ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ et correspond à la méthode bootstrap paramétrique (inconditionnelle) à l’équation (4.2). Pour notre estimateur polynomial local ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ et les estimateurs de Verret et coll. (2015), ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH1}}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH2}},$ les valeurs d’erreur quadratique moyenne, désignées par ${\text{eqm}}_{\text{boot}}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}\right)$ et ${\text{eqm}}_{\text{boot}}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH }j}\right),$ pour $j=1$ et $j=2$ respectivement, se calculent par la méthode bootstrap paramétrique conditionnelle à la section 4. Pour chaque échantillon prélevé sur la $r^{\text{e}}$  population en simulation $\left(r=1,\dots ,R\right),$ nous avons pris $B=$ 400 bootstraps pour calculer la $r^{\text{e}}$  valeur de ${\text{eqm}}_{\text{boot}}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right)$ que nous désignons par ${\text{eqm}}_{\text{boot}}^{\left(r\right)}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right).$ Nous avons envisagé deux mesures pour évaluer le rendement de ${\text{eqm}}_{\text{boot}}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right),$ à savoir le biais relatif absolu et l’intervalle de confiance moyens. Ces mesures se définissent ainsi :

Biais relatif absolu moyen :

$$\overline{\text{BRA}}\text{=}\frac{1}{M}{\displaystyle \sum _{i=1}^M\left|\frac{E\left({\text{eqm}}_{\text{boot}}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right)\right)}{\text{EQM}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right)}-1\right|},$$

où

$$E\left({\text{eqm}}_{\text{boot}}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right)\right)\text{=}\frac{1}{R}{\displaystyle \sum _{r=1}^R{\text{eqm}}_{\text{boot}}^{\left(r\right)}\left(\widehat{\overline{Y}}\right).}$$

Niveau de confiance moyen :

$$\overline{\text{NC}}\text{=}\frac{1}{M}{\displaystyle \sum _{i=1}^M{\text{NC}}_i},$$

où ${\text{NC}}_i\text{=}{R}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{r=1}^R\text{I}\left({\overline{Y}}_i^{\left(r\right)}\in {\text{IC}}^{\left(r\right)}\right)}$ et ${\text{IC}}^{\left(r\right)}=\left[{\widehat{\overline{Y}}}_i^{\left(r\right)}\pm \text{1,96}\sqrt{{\text{eqm}}_{\text{boot}}^{\left(r\right)}\left({\widehat{\overline{Y}}}_i\right)}\right].$

Le tableau 5.3 présente les données de simulation du biais relatif moyen $\left(\overline{\text{BRA}}\right)$ des estimateurs de l’EQM tant pour les deux mesures de taille PS (5.2) que pour les mesures d’Asparouhov (5.3 et 5.4) et avec $\alpha =1;2;3$ et $\infty .$

Le $\overline{\text{BRA}}$ de ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ selon le modèle sans la variable d’augmentation $g\left(p_{j|i}\right)$ est très élevé pour un échantillonnage très informatif $\left(\alpha =1\right);$ nous obtenons 39,9 % pour I et 46,6 % pour NI. Le $\overline{\text{BRA}}$ diminue progressivement pour s’établir à 5 % environ avec un échantillonnage non informatif $\left(\alpha =\infty \right).$ En général, le $\overline{\text{BRA}}$ des estimateurs paramétriques ou non est inférieur à 10 %, la seule exception étant les 14,4 % de l’estimateur ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH2}}$ assorti de la variable d’augmentation $\log \left(p_{j|i}\right).$

Le tableau 5.4 présente les données de simulation du niveau de confiance moyen $\left(\overline{\text{NC}}\right)$ lié aux estimateurs de l’EQM pour les mesures de taille PS (5.2) et AP (5.3 et 5.4) et pour $\alpha =1;2;3$ et $\infty$ et un niveau nominal de 0,95.

L’estimateur EBLUP ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ accuse le pire taux de couverture lorsque le plan de sondage est très informatif. Le taux s’améliore à mesure que diminue le contenu informatif. Le taux de couverture des autres estimateurs s’établit entre 93 % et 95 % sauf pour ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH2}}$ (assorti de $\log (p_{j|i}))$ dont le taux est légèrement moindre.

5.3  Inclusion d’une variable d’augmentation

L’estimation polynomiale locale nous donne un mode automatique d’obtention d’un modèle augmenté raisonnable en fonction des probabilités de sélection $p_{j|i}.$ Toutefois, comme nous ignorons si le plan d’échantillonnage est informatif ou non, ne devrions-nous pas toujours prévoir une variable d’augmentation dans le modèle ? Si le plan de sondage n’est pas informatif, il est raisonnable de choisir le modèle en (1.1). À noter que, dans ce cas, l’inclusion de la variable d’augmentation, $p_{j|i}$ ou $\log \left(p_{j|i}\right),$ influe très peu sur le biais relatif absolu soit de l’estimateur soit de l’EQM estimé. La conclusion est semblable dans Verret et coll. (2015) avec leurs tailles supérieures de population et d’échantillon.

La même question se pose à propos de l’application de la procédure d’estimation polynomiale locale, mais la conclusion n’est pas aussi nette. Si le plan est très informatif, l’estimation polynomiale locale gagne pour le biais absolu et l’erreur quadratique moyenne lorsque $\alpha =1$ ou $\alpha =2.$ Si le plan se fait moins informatif $\left(\alpha =3\right),$ le traitement paramétrique de Verret et coll. (2015) représente un meilleur choix, mais par une très faible marge.

Dans la pratique, la valeur de $\alpha$ est inconnue et la décision est à prendre d’employer la variable d’augmentation dans un modèle paramétrique ou non. Nous appliquons à cette fin la procédure proposée par Verret et coll. (2015) et voyons quelque peu comment doit s’orienter le choix pour un ensemble quelconque de données. Définissons $u_{ij}=v_i+e_{ij}$ et ajustons le modèle suivant $y_{ij}={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{ij}+u_{ij}$ aux données d’échantillon par les moindres carrés ordinaires (MCO). Les résidus sont ${\tilde{u}}_{ij}=y_{ij}-{\tilde{\beta }}_0-{\tilde{\beta }}_1{x}_{ij},$ où ${\tilde{\beta }}_0$ et ${\tilde{\beta }}_1$ sont les estimateurs MCO de ${\beta }_0$ et ${\beta }_1$ respectivement. La figure 5.1 présente les courbes des résidus de $\left({\widehat{m}}_0\left(p_{j|i}\right),{\tilde{u}}_{ij}\right),j=1,\dots ,N_i;i=1,\dots ,M$ pour les mesures AP et pour $\alpha =1,2,3$ et $\infty$ dans le cas de l’invariance. Quand $\alpha =1,$ la relation entre ${\tilde{u}}_{ij}$ et ${\widehat{m}}_0\left(p_{j|i}\right)$ est clairement linéaire, d’où l’idée que le plan est informatif. Quand $\alpha$ augmente, le plan devient moins informatif. Il convient de noter que $m_0\left(p_{j|i}\right)$ est une constante lorsque $\alpha =\infty .$ Les mêmes observations s’imposent dans le cas des mesures non invariantes. Avec les mesures de taille PS, le tracé ressemble à celui de la figure 5.1 quand $\alpha =1.$

Le tableau 5.5 présente les coefficients de corrélation estimés $\widehat{\rho }\text{=}\text{cor}\left({\tilde{u}}_{ij},{\widehat{m}}_0\left(p_{j|i}\right)\right)$ pour les mesures de taille PS et AP et pour $\alpha =1,2,3$ et $\infty .$

Pour ce qui est de $\overline{\text{REQM}},$ nous avons vu à la section 5.1 que ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ l’emporte sur les estimateurs fondés sur des modèles augmentés pour $\alpha \ge 6.$ Des résultats non mentionnés au tableau 5.5 indiquent que, pour $\alpha \ge 6,$ la valeur absolue du coefficient de corrélation est de moins de 0,1. En s’appuyant sur cette simulation limitée, l’utilisateur pourrait arrêter son choix de l’estimateur à utiliser pour un ensemble de données réelles : i. si $\left|\widehat{\rho }\right|$ est supérieur à 0,5, il emploiera ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}};$ ii. s’il est inférieur à 0,1, il optera pour ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}};$ iii. dans les autres cas, il choisira ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH1}}$ ou ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH2}}.$

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