Estimation polynomiale locale pour une moyenne de petit domaine sous échantillonnage informatif
Section 6. Observations en conclusion

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Nous avons étudié l’estimation d’une moyenne de petit domaine avec un échantillonnage informatif en prenant une approche par modèle augmenté où la variable d’augmentation est une fonction lisse $m_0\left(p_{j|i}\right)$ des probabilités de sélection $p_{j|i}.$ Notre modèle augmenté est semi-paramétrique. Il diffère de ce que proposent Verret et coll. (2015), car aucune hypothèse n’est formulée au sujet de la fonction d’augmentation $m_0(\cdot ).$

Nous avons proposé une démarche en trois étapes pour estimer le modèle semi-paramétrique augmenté. D’abord, nous avons estimé un ajustement polynomial local pour chaque unité de la population (échantillonnée ou non). Ensuite, nous avons défini, compte tenu de ces valeurs d’ajustement local, une nouvelle variable dépendante pour dégager des estimateurs globaux des paramètres de régression et des effets de petit domaine. Les estimateurs ainsi obtenus ont servi à calculer les valeurs prédites de la variable dépendante $y$ pour l’ensemble des unités non échantillonnées. En dernier lieu et à l’aide des valeurs d’échantillon observées et des valeurs prédites de $y,$ nous avons calculé l’estimateur polynomial local ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ de la moyenne de petit domaine ${\overline{Y}}_i.$

Nous avons adopté la méthode bootstrap paramétrique conditionnelle pour estimer l’erreur quadratique moyenne de l’estimateur nouvellement proposé. Le bootstrap conditionnel est une version modifiée du bootstrap paramétrique de Hall et Maiti (2006).

Nous avons mené une étude de simulation permettant de comparer la performance en termes de biais et d’erreur quadratique moyenne de l’estimateur EBLUP classique, ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}},$ de l’estimateur EBLUP augmenté de Verret et coll. (2015), ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH}},$ et de l’estimateur polynomial local proposé, ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}.$ Comme on pouvait s’y attendre, ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ est entaché d’un grand biais quand l’échantillonnage est informatif. Le nouvel estimateur ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ présente une EQM égale ou inférieure à celle de ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH}}$ avec un plan de sondage hautement informatif. Si le plan d’échantillonnage est moins informatif, il est préférable de recourir à l’un des deux estimateurs de Verret et coll. (2015), c’est-à-dire d’augmenter le modèle de base avec $p_{j|i}$ ou $\log \left(p_{j|i}\right).$ On notera que les gains ainsi réalisés sont des plus modestes. Si le plan d’échantillonnage est très peu informatif ou ne l’est pas du tout, on devrait employer l’estimateur ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ fondé sur le modèle de population.

Nous avons également évalué la performance de l’estimation bootstrap de l’erreur quadratique moyenne des estimateurs ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}},$ ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH}}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ pour ce qui est du biais relatif absolu moyen $\left(\overline{\text{BRA}}\right)$ et du niveau de confiance moyen $\left(\overline{\text{NC}}\right).$ Le bootstrap conditionnel est un bon moyen d’estimation des erreurs quadratiques moyennes.

L’avantage avec l’estimateur polynomial local est qu’il nous offre un moyen automatique d’augmenter le modèle en cas de plan informatif. Son plus grand inconvénient est la charge de calcul qu’il impose tant pour l’estimation des paramètres que pour la fiabilité du traitement. La procédure décrite à la section 5.3 nous suggère une façon de déterminer si l’estimation polynomiale locale en vaut la peine ou non. Une autre approche consisterait à augmenter le modèle au niveau des unités par un terme spline-P des probabilités de sélection permettant de tenir compte du contenu informatif du plan de sondage. C’est une orientation qui a récemment été étudiée par Chatrchi (2018).

Remerciements

Nous remercions J.N.K. Rao d’avoir proposé le bootstrap conditionnel pour l’estimation de l’erreur quadratique moyenne de l’estimateur polynomial. Nous le remercions également de ses observations sur notre article. Nos remerciements vont enfin au corédacteur et à un examinateur pour leurs commentaires constructifs qui ont amélioré notre exposé.

Bibliographie

Asparouhov, T. (2006). General multi-level modelling with sampling weights. Communication in Statistics, Theory and Methods, 439-460.

Battese, G.E., Harter, R.M. et Fuller, W.A. (1988). An error component model for prediction of county crop areas using survey and satellite data. Journal of the American Statistical Association, 83, 28-36.

Breidt, F.J., et Opsomer, J.D. (2000). Local polynomial regression estimators in survey sampling. Annals of Statistics, 28, 4, 1026-1053.

Breidt, F.J., Opsomer, J.D., Johnson, A.A. et Ranalli, M.G. (2007). Estimation assistée par un modèle semi-paramétrique pour les enquêtes sur les ressources naturelles. Techniques d’enquête, 33, 1, 41-51. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/fr/pub/12-001-x/2007001/article/9850-fra.pdf.

Chatrchi, G. (2018). Small Area Estimation: Informative Sampling and Two-Fold Models. Thèse de doctorat non publiée, Carleton University, Ottawa, Canada.

Fan, J., et Gijbels, I. (1996). Local Polynomial Modelling and its Applications. Londres: Chapman and Hall.

González-Manteiga, W., Lombardia, M.J., Molina, I. , Morales, D. et Santamaria, L. (2008). Bootstrap mean squared error of a small area EBLUP. Journal of Statistical Computation and Simulation, 78, 5, 443-462.

Hall, P., et Maiti, T. (2006). On parametric bootstrap methods for small area prediction. Journal of the Royal Statistical Society, Series B: Statistical Methodology, 68, 221-238.

Opsomer, J.D., Claeskens, G., Ranalli, M.G., Kauermann, G. et Breidt, F.J. (2008). Nonparametric small area estimation using penalized spline regression. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 70(1), 265-286.

Pfeffermann, D., et Sverchkov, M. (2007). Small-area estimation under informative probability sampling of areas and within the selected areas. Journal of the American Statistical Association, 102, 480, 1427-1439.

Prasad, N.G.N., et Rao, J.N.K. (1990). The estimation of the mean squared error of small area estimators. Journal of the American Statistical Association, 85, 409, 163-171.

Rao, J.N.K., et Molina, I. (2015). Small Area Estimation. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

Rao, J.N.K., Sinha, S.K. et Dumitrescu, L. (2014). Robust small area estimation under semi-parametric mixed models. The Canadian Journal of Statistics, 42, 126-141.

Ruppert, D., et Matteson, D.E. (2015). Statistics and Data Analysis for Financial Engineering with R Examples: 2^nd Ed., New York : Springer.

Tillé, Y. (2006). Sampling Algorithms: New York : Springer.

Verret, F., Rao, J.N.K. et Hidiroglou, M.A. (2015). Estimation sur petits domaines fondée sur un modèle sous échantillonnage informatif. Techniques d’enquête, 41, 2, 353-368. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/fr/pub/12-001-x/2015002/article/14248-fra.pdf.

Wu, H., et Zhang, J.T. (2002). Local polynomial mixed-effects models for longitudinal data. Journal of the American Statistical Association, 97, 459, 883-897.

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