Estimation polynomiale locale pour une moyenne de petit domaine sous échantillonnage informatif
Section 4. Estimation de l’EQM par le bootstrap

Table des matières

L’estimation de l’EQM des estimateurs de petit modèle est un problème épineux même avec des estimateurs EBLUP classiques. La théorie générale EBLUP prévoit une approximation finie de $EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP})$ par voie de linéarisation. Un estimateur peut s’obtenir par cette approximation pour $EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP})$ (voir les détails dans Prasad et Rao, 1990). Verret et coll. (2015) ont procédé par approximation finie pour dégager l’estimateur d’erreur quadratique moyenne pour ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{VRH}$ en (2.9), chose possible parce que l’estimateur ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{VRH}$ est un estimateur EBLUP type sur modèle mixte linéaire assorti de la variable supplémentaire connue $g (p_{j | i}) .$ On n’a besoin d’aucune théorie nouvelle pour estimer l’EQM de ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{VRH} .$ Dans notre cas et compte tenu pour l’estimation locale répétée du modèle en (3.6), il est impossible d’obtenir une approximation finie de l’erreur quadratique moyenne de ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{PL},$ $EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{PL}),$ ni pour son estimateur $eqm ({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{PL}) .$ Nous avons employé deux versions de la méthode bootstrap pour estimer l’EQM des estimateurs de petit domaine dont il a été question jusqu’ici. Pour estimer l’EQM de ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP},$ nous avons opté pour un bootstrap inconditionnel, alors que, pour ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{PL},$ ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{VRH1}$ et ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{VRH2},$ notre bootstrap était conditionnel. Nous allons décrire comment se calcule chaque type de bootstrap.

Décrivons d’abord le bootstrap inconditionnel. C’est là une variante du bootstrap paramétrique de Hall et Maiti (2006) qui a été proposé par González-Manteiga, Lombardia, Molina, Morales et Santamaria (2008). Cette méthode peut servir à l’estimation de l’EQM de ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ avec le modèle en (1.1), parce que les estimations des divers paramètres du modèle (1.1) ne dépendent pas des probabilités de sélection $p_{j | i} : j \in s_{i}; i = 1, \dots, M .$ Nous prédisons les valeurs $y$ en générant $v_{i}^{*} \sim N (0, {\hat{σ}}_{v}^{2})$ et $e_{i j}^{*} \sim N (0, {\hat{σ}}_{e}^{2}),$ où $({\hat{σ}}_{v}^{2}, {\hat{σ}}_{e}^{2})$ sont les estimateurs HFC ou MVC de $(σ_{v}^{2}, σ_{e}^{2}) .$ Par l’estimateur EBLUP $\hat{β}$ de $β,$ nous obtenons les valeurs bootstrap de $y_{i j}$ comme

$y_{i j}^{*} = x_{i j}^{T} \hat{β} + v_{i}^{*} + e_{i j}^{*}, j \in U_{i}; i = 1, \dots, M . (4.1)$

La version bootstrap du paramètre cible ${\bar{Y}}_{i}$ se calcule comme ${\bar{Y}}_{i}^{*} = N_{i}^{- 1} \sum_{j = 1}^{N_{i}} y_{i j}^{*} .$ La version bootstrap de l’estimateur EBLUP ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}$ est donnée par

${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP*} = \frac{1}{N_{i}} (\sum_{j \in s_{i}} y_{i j}^{*} + \sum_{j \in {\bar{s}}_{i}} {\hat{y}}_{i j}^{*}),$

où ${\hat{y}}_{i j}^{*} = x_{i j}^{T} {\hat{β}}^{*} + {\hat{v}}_{i}^{*}$ et où $({\hat{β}}^{*}, {\hat{v}}_{i}^{*})$ sont les estimateurs EBLUP de $(β, v_{i})$ selon $(y_{i j}^{*}, x_{i j}), j \in s_{i},$ pour $i = 1, \dots, M .$ Si nous reprenons $B$ fois cette procédure, l’estimateur bootstrap de $EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP})$ est

${eqm}_{boot} ({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}) = \frac{1}{B} \sum_{b = 1}^{B} {({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP*} (b) - {\bar{Y}}_{i}^{*} (b))}^{2}, (4.2)$

où ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP*} (b)$ et ${\bar{Y}}_{i}^{*} (b)$ sont les valeurs de ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP*}$ et ${\bar{Y}}_{i}^{*}$ pour la $b^{e}$ itération bootstrap. Comme les estimateurs $(\hat{β}, {\hat{σ}}_{v}^{2}, {\hat{σ}}_{e}^{2})$ sont sérieusement entachés d’un biais à cause du plan de sondage informatif, nous prévoyons que ${eqm}_{boot} ({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP})$ sera un estimateur biaisé de $EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{EBLUP}),$ et ce, parce qu’il est fondé sur le modèle de population en (1.1) et que ce modèle ne vaut pas pour l’échantillon.

Passons maintenant à l’estimation de $EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{PL})$ par le bootstrap conditionnel. Rappelons-nous que ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{PL}$ repose sur le modèle augmenté en (3.3). Il est donc naturel d’utiliser ce modèle au moment de juger de la précision de l’estimateur polynomial local. Il est impossible d’employer le bootstrap inconditionnel paramétrique, car il faudrait produire des valeurs bootstrap $(y_{i j}^{*}, p_{j | i}^{*})$ tant pour $y_{i j}$ que pour $p_{j | i},$ d’où l’implication que nous devrions savoir comment les $y_{i j}$ sont liés aux probabilités de sélection $p_{j | i} .$ Comme l’a fait remarquer le corédacteur, la relation entre $y_{i j}$ et $p_{j | i}$ n’est pas précisément connue dans la pratique. Nous avons donc choisi de garder les probabilités de sélection $p_{j | i}$ de l’échantillon initial et de produire des valeurs bootstrap uniquement pour la variable réponse $y_{i j} .$ Le bootstrap ainsi obtenu est conditionnel à $p_{j | i}, j \in U_{i}; i = 1, \dots, M;$ c’est la raison pour laquelle nous parlons ici de bootstrap conditionnel paramétrique. Rao, Sinha et Dumitrescu (2014) s’en sont déjà servis et Chatrchi (2018) l’a fait plus récemment à son tour pour estimer l’EQM d’un modèle mixte spline pénalisé.

Dans notre contexte, nous procédons de la manière suivante pour estimer $EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{PL}) .$ Nous générons $v_{1 i}^{*} \sim N (0, {\hat{σ}}_{glo, 1 v}^{2})$ et $e_{1 i j}^{*} \sim N (0, {\hat{σ}}_{glo, 1 e}^{2})$ et obtenons les réponses bootstrap

$y_{1 i j}^{*} = {\tilde{x}}_{i j}^{T} {\hat{β}}_{glo, 1} + {\hat{m}}_{0} (p_{j | i}) + v_{1 i}^{*} + e_{1 i j}^{*}, j \in U_{i}; i = 1, \dots, M . (4.3)$

Nous avons estimé les ${\hat{m}}_{0} (p_{j | i})$ par le modèle local en (3.6). Nous avons estimé le triplet $({\hat{β}}_{glo, 1}, {\hat{σ}}_{glo, 1 v}^{2}, {\hat{σ}}_{glo, 1 e}^{2})$ par le modèle global en (3.12) et les données de l’échantillon $(y_{i j}, {\tilde{x}}_{i j}, p_{j | i}), j \in s_{i}; i = 1, \dots, M .$ La moyenne bootstrap de population est ${\bar{Y}}_{1 i}^{*} = N_{i}^{- 1} \sum_{j = 1}^{N_{i}} y_{1 i j}^{*} .$ Soit ${\hat{β}}_{glo, 1}^{*},$ ${\hat{m}}_{0}^{*} (p_{j | i})$ et ${\hat{v}}_{glo, 1 i}^{*}$ les versions bootstrap des estimateurs ${\hat{β}}_{glo, 1},$ ${\hat{m}}_{0} (p_{j | i})$ et ${\hat{v}}_{glo, 1 i}$ selon les données bootstrap $(y_{1 i j}^{*}, {\tilde{x}}_{i j}, p_{j | i}), j \in s_{i}; i = 1, \dots, M,$ et le $h_{opt}$ tiré de l’ensemble de données initial $(y_{i j}, {\tilde{x}}_{i j}, p_{j | i}), j \in s_{i}; i = 1, \dots, M .$ Nous n’avons pas recalculé le $h_{opt}^{*}$ optimal lié à $(y_{1 i j}^{*}, {\tilde{x}}_{i j}, p_{j | i}), j \in s_{i}; i = 1, \dots, M,$ parce que trop de calculs devraient s’ensuivre dans l’étude de Monte Carlo. La procédure bootstrap est donc conditionnelle à $p_{j | i}, j \in U_{i}; i = 1, \dots, M,$ tout comme à $h_{opt}$ tiré de l’échantillon initial. Comme ${\bar{s}}_{i}$ est l’ensemble d’unités non échantillonnées dans le domaine $i,$ les valeurs bootstrap prédites ${\hat{y}}_{1 i j}^{*}$ pour $j \in {\bar{s}}_{i}$ s’obtiennent comme

${\hat{y}}_{1 i j}^{*} = {\tilde{x}}_{i j}^{T} {\hat{β}}_{glo, 1}^{*} + {\hat{m}}_{0}^{*} (p_{j | i}) + {\hat{v}}_{glo, 1 i}^{*} . (4.4)$

L’estimateur résultant de ${\bar{Y}}_{1 i}^{*}$ est

${\hat{\bar{Y}}}_{1 i}^{*} = \frac{1}{N_{i}} (\sum_{j \in s_{i}} y_{1 i j}^{*} + \sum_{j \in {\bar{s}}_{i}} {\hat{y}}_{1 i j}^{*}) .$

Si nous répétons cette procédure $B$ fois, l’estimateur bootstrap conditionnel de l’EQM de l’estimateur polynomial local de ${\bar{Y}}_{i}$ est donné par

${eqm}_{boot} ({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{PL}) = \frac{1}{B} \sum_{b = 1}^{B} {({\hat{\bar{Y}}}_{1 i}^{*} (b) - {\bar{Y}}_{1 i}^{*} (b))}^{2}, (4.5)$

où ${\hat{\bar{Y}}}_{1 i}^{*} (b)$ et ${\bar{Y}}_{1 i}^{*} (b)$ sont les valeurs de ${\hat{\bar{Y}}}_{1 i}^{*}$ et ${\bar{Y}}_{1 i}^{*}$ pour la $b^{e}$ itération bootstrap.

Le bootstrap conditionnel peut aussi servir à l’estimation de l’erreur quadratique moyenne d’un estimateur EBLUP, ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{VRH},$ avec le modèle augmenté (1.2) proposé par Verret et coll. (2015). Nous avons inclus cette procédure dans la simulation de la section 5 pour donner une idée de la façon dont les estimateurs résultants de l’EQM se comparent aux estimateurs obtenus pour ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{PL} .$ Les étapes du calcul de $eqm ({\hat{\bar{Y}}}_{i}^{VRH})$ sont semblables à celles de l’obtention de l’erreur quadratique moyenne de l’estimateur polynomial local ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{PL} .$ Dans ce cas, les valeurs bootstrap des réponses $y_{i j}$ reposent sur le modèle augmenté en (1.2) et les estimateurs $({\hat{β}}_{0}, {\hat{δ}}_{0})$ et $({\hat{σ}}_{0 v}^{2}, {\hat{σ}}_{0 e}^{2})$ obtenus lorsque la théorie EBLUP classique s’utilise avec les données d’échantillon $(y_{i j}, x_{i j}, g (p_{j | i})), j \in s_{i}; i = 1, \dots, M .$

ISSN : 1712-5685

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N° 12-001-X au catalogue

Périodicité : semi-annuel

Ottawa

Date de modification :: 2020-06-30

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