Estimation polynomiale locale pour une moyenne de petit domaine sous échantillonnage informatif
Section 3. Estimateur polynomial local

3.1 Estimation d’une moyenne de petit domaine

Le but est d’estimer la moyenne ${\bar{Y}}_{i}$ du petit domaine $U_{i}$ pour $i = 1, \dots, M .$ Si nous divisons la population $U_{i}$ en unités observées dans l’échantillon $s_{i}$ de taille $n_{i}$ et en unités inobservées dans la partie non échantillonnée ${\bar{s}}_{i} = U_{i} / s_{i}$ de taille $N_{i} - n_{i},$ nous pouvons formuler ${\bar{Y}}_{i}$ comme

${\bar{Y}}_{i} = \frac{1}{N_{i}} (\sum_{j \in s_{i}} y_{i j} + \sum_{j \in {\bar{s}}_{i}} y_{i j}) . (3.1)$

Comme nous ignorons les valeurs $y$ des unités inobservées dans les ensembles ${\bar{s}}_{i}$ pour $i = 1, \dots, M,$ nous devons les estimer. Si nous désignons par ${\hat{y}}_{i j}$ l’estimateur de $y_{i j}$ pour ces unités, l’estimateur résultant de la moyenne ${\bar{Y}}_{i}$ est

${\hat{\bar{Y}}}_{i} = \frac{1}{N_{i}} (\sum_{j \in s_{i}} y_{i j} + \sum_{j \in {\bar{s}}_{i}} {\hat{y}}_{i j}) . (3.2)$

Nous obtenons les estimateurs ${\hat{y}}_{i j}$ de $y_{i j}$ pour $j \in {\bar{s}}_{i}$ en nous fondant sur un modèle augmenté comprenant une fonction lisse inconnue des probabilités de sélection $p_{j | i},$ ce que nous désignons par $m_{0} (p_{j | i}) .$ Le modèle d’échantillon semi-paramétrique augmenté que nous proposons est donné par

$y_{i j} = {\tilde{x}}_{i j}^{T} β_{1} + m_{0} (p_{j | i}) + v_{1 i} + e_{1 i j}, j = 1, \dots, n_{i}; i = 1, \dots, M, (3.3)$

où $v_{1 i} \overset{iid}{\sim} N (0, σ_{1 v}^{2})$ et est indépendant de $e_{1 i j} \overset{iid}{\sim} N (0, σ_{1 e}^{2}) .$ Le vecteur ${\tilde{x}}_{i j} = {(x_{i j 1}, \dots, x_{i j p})}^{T}$ dans le modèle (3.3) représente les covariables $x_{i j}$ sans une constante (l’ordonnée à l’origine en l’occurrence) et $β_{1} = {(β_{11}, \dots, β_{1 p})}^{T},$ un vecteur d’effets fixes. Le modèle (3.3) est semi-paramétrique, car la variable réponse $y_{i j}$ dépend linéairement du vecteur de variables auxiliaires, ${\tilde{x}}_{i j},$ et la probabilité de sélection $p_{j | i}$ s’ajoute non paramétriquement par la fonction lisse $m_{0} (\cdot) .$

Nous posons que le modèle en (3.3) est d’une structure des covariances semblable à celle du modèle en (1.2); les effets de petit domaine $v_{1 i}$ et les erreurs aléatoires $e_{1 i j}$ sont i.i.d., à distribution normale et indépendants les uns des autres. Toutefois, le modèle semi-paramétrique (3.3) est plus souple que le modèle paramétrique (1.2), puisque la fonction $m_{0} (p_{j | i})$ n’a pas à être d’une forme particulière. Il y a un inconvénient à ce paramétrage. Comme le modèle en (3.3) n’est pas un modèle mixte linéaire, la théorie générale EBLUP à la section 2 ne peut directement servir à dégager des estimateurs de $m_{0} (p_{j | i}),$ $β_{1}$ et $v_{1 i} .$ Nous proposons donc de procéder à l’estimation en (3.3) en combinant la théorie EBLUP des modèles mixtes linéaires et la technique d’estimation polynomiale locale (Fan et Gijbels, 1996).

Nous estimons (3.3) en trois étapes. D’abord, nous obtenons des estimations de $m_{0} (p_{j | i}),$ ${\hat{m}}_{0} (p_{j | i}), j = 1, \dots, N_{i}, i = 1, \dots, M,$ pour toutes les unités de la population. Ces estimations sont d’un caractère local, car elles reposent sur la technique d’estimation polynomiale locale. En deuxième lieu, nous prenons les estimations ${\hat{m}}_{0} (p_{j | i}), j \in s_{i},$ des unités observées pour obtenir des estimateurs globaux de $β_{1}$ et $v_{1 i}, i = 1, \dots, M .$ Nous désignons ces estimateurs par ${\hat{β}}_{glo, 1}$ et ${\hat{v}}_{glo, 1 i}, i = 1, \dots, M .$ En troisième étape, nous utilisons les estimateurs locaux ${\hat{m}}_{0} (p_{j | i})$ pour les unités inobservées en première étape et les estimateurs globaux ${\hat{β}}_{glo, 1}$ et ${\hat{v}}_{glo, 1 i}$ en deuxième étape afin d’estimer $y_{i j}$ pour $j \in {\bar{s}}_{i}$ et $i = 1, \dots, M .$ Les estimateurs de $y_{i j}$ ainsi obtenus, qui sont désignés par ${\hat{y}}_{i j},$ sont

${\hat{y}}_{i j} = {\tilde{x}}_{i j}^{T} {\hat{β}}_{glo, 1} + {\hat{m}}_{0} (p_{j | i}) + {\hat{v}}_{glo, 1 i}, j \in {\bar{s}}_{i} . (3.4)$

Nous intégrons les ${\hat{y}}_{i j}$ à l’équation (3.2) pour dégager l’estimateur de la moyenne de petit domaine ${\hat{\bar{Y}}}_{i} .$

Il s’agit maintenant de décrire la première étape plus en détail. À la suite de Ruppert et Matteson (2015), nous estimons les valeurs de la fonction inconnue $m_{0} (p_{l | k})$ pour toutes les unités $l \in U_{k}$ et les petits domaines $k,$ avec $k = 1, \dots, M,$ en procédant par régression polynomiale locale. Cette régression repose sur le principe selon lequel une fonction lisse peut être approximée localement par un polynôme de faible degré. Nous approximons $m_{0} (p_{j | i})$ dans le modèle en (3.3) par un polynôme de $q^{e}$ degré, disons $m_{1} (p_{j | i}),$ par un développement en séries de Taylor autour de $p_{l | k} .$ L’approximation est donnée par

$m_{1} (p_{j | i}) = m_{0} (p_{l | k}) + \sum_{a = 1}^{q} \frac{1}{a!} m_{0} {(p_{l | k})}^{(a)} {(p_{j | i} - p_{l | k})}^{a}, j \in s_{i}; i = 1, \dots, M, (3.5)$

où $m_{0} {(p_{l | k})}^{(a)}$ est la $a^{e}$ dérivée de $m_{0} (p_{j | i})$ en évaluation à $p_{l | k} .$ La fonction $m_{1} (p_{j | i})$ dépend de $l \in U_{k},$ mais nous écartons cette dépendance pour simplifier la notation.

Pour chaque point $p_{l | k},$ $l \in U_{k}; k = 1, \dots, M,$ dans le modèle en (3.3), nous remplaçons $m_{0} (p_{j | i})$ par son approximation $m_{1} (p_{j | i})$ en (3.5). Le modèle résultant est donné par

$y_{i j} = {\tilde{x}}_{i j}^{T} β_{1} + m_{0} (p_{l | k}) + \sum_{a = 1}^{q} \frac{1}{a!} m_{0} {(p_{l | k})}^{(a)} {(p_{j | i} - p_{l | k})}^{a} + v_{1 i} + e_{1 i j}, j \in s_{i}; i = 1, \dots, M . (3.6)$

Le modèle (3.6) est un modèle à approximation locale pour (3.3) qui dépend du point $l \in U_{k}$ de la population. Nous désignerons par $β_{1}$ et $v_{1 i}$ les estimations de ${\hat{β}}_{loc, 1}$ et ${\hat{v}}_{loc, 1 i}$ en (3.6). Il convient de noter que (3.6) permet l’estimation de $m_{0} (p_{l | k}),$ la valeur de la fonction lisse $m_{0} (\cdot)$ en un point $p_{l | k} .$ Nous formulons (3.6) sous la forme

$y_{i j} = {\tilde{x}}_{i j}^{T} β_{1} + u_{0} + \sum_{a = 1}^{q} u_{a} {(p_{j | i} - p_{l | k})}^{a} + v_{1 i} + e_{1 i j} : j \in s_{i}; i = 1, \dots, M, (3.7)$

où $u_{a} = m_{0} {(p_{l | k})}^{(a)} / a!$ pour $a = 0, \dots, q .$ Le modèle en (3.7) est un modèle mixte linéaire avec paramètres fixes $(β_{1}, u_{0}, \dots, u_{q})$ et effets aléatoires de petit domaine $v_{1 i}, i = 1, \dots, M .$

Soit ${\hat{u}}_{0}$ un estimateur de $u_{0}$ obtenu par ajustement de modèle en (3.7). Un estimateur approximé de $m_{0} (p_{l | k}) = u_{0}$ est donné par ${\hat{m}}_{0} (p_{l | k}) = {\hat{u}}_{0} .$ Comme nous voulons des estimateurs de $m_{0} (p_{l | k})$ pour $l \in U_{k}$ et $k = 1, \dots, M,$ nous utilisons $N = \sum_{i = 1}^{M} N_{i}$ modèles (3.7). Comme l’a fait remarquer un corédacteur, si $N$ est grand, l’estimation des valeurs de $m_{0} (\cdot)$ pour tous les points de la population peut être vorace en calcul.

Il est plus commode de travailler en notation matricielle. C’est pourquoi nous définissons $y_{i} = {(y_{i 1}, \dots, y_{i n_{i}})}^{T} ,$ ${\tilde{X}}_{i} = {({\tilde{x}}_{i 1}^{T}, \dots, {\tilde{x}}_{i n_{i}}^{T})}^{T} ,$ $m_{0, i} = {(m_{0} (p_{1 | i}), \dots, m_{0} (p_{n_{i} | i}))}^{T} ,$ $v_{1} = {(v_{11}, \dots, v_{1 M})}^{T}$ et $e_{1 i} = {(e_{1 i 1}, \dots, e_{1 i n_{i}})}^{T} .$ Le modèle en (3.3) peut s’exprimer sous une forme matricielle par empilement des observations. L’équation résultante est

$y = \tilde{X} β_{1} + m_{0} + Z v_{1} + e_{1}, (3.8)$

où $y = {col}_{1 \leq i \leq M} (y_{i}),$ $\tilde{X} = {col}_{1 \leq i \leq M} ({\tilde{X}}_{i}),$ $m_{0} = {col}_{1 \leq i \leq M} (m_{0, i}),$ $Z = {diag}_{1 \leq i \leq M} {1_{n_{i}}}$ et $e_{1} = {col}_{1 \leq i \leq M} (e_{1 i}) .$

Pour l’unité $l$ du petit domaine $U_{k},$ nous définissons la $n \times (q + 1)$ matrice :

$Q = (\begin{matrix} 1 & (p_{1 | 1} - p_{l | k}) & \dots & {(p_{1 | 1} - p_{l | k})}^{q} \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ 1 & (p_{n_{M} | M} - p_{l | k}) & \dots & {(p_{n_{M} | M} - p_{l | k})}^{q} \end{matrix}),$

où $n = \sum_{i = 1}^{M} n_{i}$ est la taille totale d’échantillon. Soit $u = {(m_{0} (p_{l | k}), m_{0}^{(1)} (p_{l | k}) / 1!, \dots, m_{0}^{(q)} (p_{l | k}) / q!)}^{T}$ représentant le vecteur des dérivées de la fonction $m_{0} (\cdot)$ en évaluation à $p_{l | k} .$ Les termes $Q$ et $u$ dépendent de l’unité $l \in U_{k}$ où la localisation se fait. Nous n’avons pas parlé de la dépendance à l’égard de l’unité $l$ du petit domaine $U_{k}$ pour ne pas alourdir la notation. Nous définissons le vecteur $m_{1}$ obtenu par empilement des $n$ valeurs de la fonction $m_{1} (\cdot)$ en (3.5). Ainsi, $m_{1} = {col}_{1 \leq i \leq M} (m_{1, i})$ avec $m_{1, i} = {(m_{1} (p_{1 | i}), \dots, m_{1} (p_{n_{i} | i}))}^{T} .$ Cela permet d’approximer $m_{0}$ par $m_{0} \approx m_{1} .$ Le vecteur $m_{1}$ est donné par $m_{1} = Q u .$ Il s’ensuit qu’une approximation en (3.8) dans un voisinage de $l \in U_{k}$ est

$y = \tilde{X} β_{1} + Q u + Z v_{1} + e_{1} . (3.9)$

Les équations (3.8) et (3.9) sont les équivalents en forme matricielle des équations (3.3) et (3.7) respectivement. La matrice $\tilde{X}$ en (3.9) ne comprend pas le terme constant représentant l’ordonnée à l’origine, puisque ce terme est déjà contenu dans $Q .$ L’équation (3.9) est un modèle mixte linéaire type avec des paramètres fixes $β_{fixe} = {(β_{1}^{T} , u^{T})}^{T}$ et des effets aléatoires de petit domaine $v_{1} .$ Nous employons $V (v_{1}) = G = σ_{1 v}^{2} I_{M},$ $V (e_{1 i}) = R_{i} = σ_{1 e}^{2} I_{n_{i}}$ et $V (e_{1}) = R = {diag}_{1 \leq i \leq M} {R_{i}}$ comme matrices respectives des covariances de $v_{1},$ $e_{1 i}$ et $e_{1} .$ La matrice des covariances de $y_{i}$ est donnée par $V (y_{i}) = V_{i} = σ_{1 v}^{2} J_{n_{i}} + σ_{1 e}^{2} I_{n_{i}} .$ Les matrices $I_{M}$ et $I_{n_{i}}$ sont les matrices identité d’ordre $M$ et $n_{i}$ respectivement, tandis que $J_{n_{i}}$ est la matrice carrée d’ordre $n_{i}$ dont tous les éléments sont égaux à 1. Il s’ensuit que $V (y) = V = {diag}_{1 \leq i \leq M} {V_{i}} .$

Posons que $V$ est connu et que $v_{1}$ et $e_{1}$ sont en distribution normale. Par la théorie EBLUP classique, nous pouvons obtenir des estimateurs de $β_{fixe}$ et $v_{1}$ en minimisant

$Φ = {(y - \tilde{X} β_{1} - Q u - Z v_{1})}^{T} R^{- 1} (y - \tilde{X} β_{1} - Q u - Z v_{1}) + v_{1}^{T} G^{- 1} v_{1} .$

À noter que toutes les observations comprises dans $Φ$ sont en équipondération. Il nous faut toutefois modifier $Φ$ pour nous aligner sur la façon dont se fait l’estimation polynomiale locale. Nous nous reportons à cette fin à l’équation en (3.7) et estimons ses paramètres en associant des poids noyau $K ((p_{j | i} - p_{l | k}) / h) / h$ à chaque unité échantillonnée $j \in s_{i}; i = 1, \dots, M .$ Nous choisissons des valeurs de pondération noyau qui sont plus grandes pour les points d’échantillon proches de $l \in U_{k}$ et plus petites pour les points d’échantillon qui s’en éloignent. Le poids $K (\cdot)$ est une fonction de densité de probabilité et $h$ est une largeur de bande qui tient compte de la taille du voisinage local. Nous expliquons à la section 3.2 comment on peut en arriver à une largeur de bande optimale. Soit $W$ la matrice diagonale $n \times n$ de poids noyau par

$W = \underset{\begin{array}{l} 1 \leq j \leq n_{i} \\ 1 \leq i \leq M \end{array}}{diag} {\frac{1}{h} K (\frac{p_{j | i} - p_{l | k}}{h})} .$

La matrice $W$ dépend de l’unité $l$ du petit domaine $U_{k}$ et de la largeur de bande $h .$ Nous excluons les indices $l \in U_{k}$ et $h$ de la définition de la matrice $W$ pour ne pas alourdir la notation. D’après Wu et Zhang (2002), l’intégration de la pondération noyau dans $Φ$ nous amène à minimiser $Φ_{W},$ où

$Φ_{W} = {(y - \tilde{X} β_{1} - Q u - Z v_{1})}^{T} W^{1 / 2} R^{- 1} W^{1 / 2} (y - \tilde{X} β_{1} - Q u - Z v_{1}) + v_{1}^{T} G^{- 1} v_{1},$

et où $W^{1 / 2}$ est la racine carrée de la matrice $W .$

Estimer les paramètres en (3.9) en minimisant $Φ_{W}$ équivaut à estimer les paramètres donnés par

$W^{1 / 2} y = W^{1 / 2} \tilde{X} β_{1} + W^{1 / 2} Q u + W^{1 / 2} Z v_{1} + e_{1} . (3.10)$

L’estimation EBLUP pondérée en (3.9) avec la matrice de pondération donnée par $W$ correspond à une estimation EBLUP classique venant du modèle en (3.10). Définissons $y_{w} = W^{1 / 2} y,$ $X_{w} = [W^{1 / 2} \tilde{X}, W^{1 / 2} Q]$ et $Z_{w} = W^{1 / 2} Z .$ L’équation (3.10) peut se reformuler comme

$y_{w} = X_{w} β_{fixe} + Z_{w} v_{1} + e_{1} . (3.11)$

Soit ${\hat{β}}_{loc, fixe} = {({\hat{β}}_{loc, 1}^{T}, {\hat{u}}^{T})}^{T}$ et ${\hat{v}}_{loc, 1} = {({\hat{v}}_{loc, 11}, \dots, {\hat{v}}_{loc, 1 M})}^{T}$ les estimateurs EBLUP des effets fixes et aléatoires en (3.11). Les estimateurs ${\hat{β}}_{loc, fixe}$ et ${\hat{v}}_{loc, 1}$ sont fondés sur les estimateurs locaux des composantes de la variance $(σ_{1 v}^{2}, σ_{1 e}^{2}) .$ Les estimateurs de ces composantes, désignés par $({\hat{σ}}_{loc, 1 v}^{2}, {\hat{σ}}_{loc, 1 e}^{2}),$ s’obtiennent par la méthode HFC ou MVC avec le modèle en (3.11). Comme $u = {(m_{0} (p_{l | k}), m_{0}^{(1)} (p_{l | k}) / 1!, \dots, m_{0}^{(q)} (p_{l | k}) / q!)}^{T},$ un estimateur ${\hat{m}}_{0} (p_{l | k})$ de $m_{0} (p_{l | k})$ est la première composante ${\hat{u}}_{0}$ de $\hat{u} .$

Notons que ${\hat{β}}_{loc, 1},$ ${\hat{m}}_{0} (p_{l | k})$ et ${\hat{v}}_{loc, 1 k}$ pourraient servir à l’obtention d’estimations locales ${\hat{y}}_{loc, k l}$ pour la valeur inconnue $y_{k l},$ où ${\hat{y}}_{loc, k l} = {\tilde{x}}_{k l}^{T} {\hat{β}}_{loc, 1} + {\hat{m}}_{0} (p_{l | k}) + {\hat{v}}_{loc, 1 k}$ pour $l \in {\bar{s}}_{k} .$ Toutefois, un examinateur a signalé que, dans la pratique, ce cadre méthodologique ne serait sans doute pas d’un bon comportement, parce qu’il faut un solide équilibre des petits domaines sur tout l’éventail des probabilités $p_{l | k} .$ Si l’équilibre n’est pas sauvegardé, l’estimation obtenue souffrirait grandement de cette localisation. C’est pourquoi nous avons opté pour une estimation globale de $β_{1}$ et $v_{1} .$

Expliquons maintenant la deuxième étape de notre procédure. Il est possible d’estimer globalement les paramètres $β_{1}$ et $v_{1}$ selon les estimations ${\hat{m}}_{0} (p_{j | i})$ et les données auxiliaires ${\tilde{x}}_{i j}$ liées aux unités de l’échantillon. Pour $j \in s_{i}$ et $i = 1, \dots, M,$ définissons une nouvelle variable, disons $ξ,$ comme

$ξ_{i j} = y_{i j} - {\hat{m}}_{0} (p_{j | i}), j \in s_{i}; i = 1, \dots, M .$

Les $n$ valeurs $ξ_{i j}$ représentent les différences entre les $y_{i j}$ observés et leurs estimateurs locaux ${\hat{m}}_{0} (p_{j | i}) .$ Avec le modèle en (3.3), $ξ$ satisfait le modèle suivant

$ξ_{i j} = {\tilde{x}}_{i j}^{T} β_{glo, 1} + v_{glo, 1 i} + e_{glo, 1 i j}, j \in s_{i}; i = 1, \dots, M, (3.12)$

où $v_{glo, 1 i} \sim N (0, σ_{glo, 1 v}^{2})$ et $e_{glo, 1 i j} \sim N (0, σ_{glo, 1 e}^{2}) .$ La mention glo en indice indique que (3.12) est un modèle global.

Comme (3.12) représente un modèle mixte linéaire paramétrique, nous pouvons prendre l’estimation EBLUP classique (hors pondération) pour estimer ses paramètres. Soit ${\hat{β}}_{glo, 1}$ et ${\hat{v}}_{glo, 1 i}$ les meilleurs estimateurs linéaires sans biais empiriques de $β_{glo, 1}$ et $v_{glo, 1 i} .$ Soit $({\hat{σ}}_{glo, 1 v}^{2}, {\hat{σ}}_{glo, 1 e}^{2})$ les estimateurs des composantes de la variance $(σ_{glo, 1 v}^{2}, σ_{glo, 1 e}^{2}),$ où la méthode HFC ou MVC peut servir à l’estimation de ces mêmes paramètres. Nous estimons $(β_{1}, v_{1 i}, σ_{1 v}^{2}, σ_{1 e}^{2})$ du modèle en (3.3) par $({\hat{β}}_{glo, 1}, {\hat{v}}_{glo, 1 i}, {\hat{σ}}_{glo, 1 v}^{2}, {\hat{σ}}_{glo, 1 e}^{2})$ et le modèle en (3.12). Les estimateurs globaux ${\hat{β}}_{glo, 1},$ ${\hat{v}}_{glo, 1 i}$ et $({\hat{σ}}_{glo, 1 v}^{2}, {\hat{σ}}_{glo, 1 e}^{2})$ sont exempts de tout biais causé par un plan de sondage informatif, parce que $ξ_{i j}$ n’est plus lié aux $p_{j | i}$ après conditionnement par $x_{i j} .$

En troisième étape, nous estimons les valeurs $y_{i j}$ inobservées pour $j \in {\bar{s}}_{i}$ et $i = 1, \dots, M$ par insertion dans l’équation (3.4); il s’agit i. des estimateurs locaux ${\hat{m}}_{0} (p_{j | i})$ pour $j \in {\bar{s}}_{i}$ en première étape et ii. des estimateurs globaux ${\hat{β}}_{glo, 1}$ et ${\hat{v}}_{glo, 1 i}$ en deuxième étape. Les ${\hat{y}}_{i j}$ dégagés pour $j \in {\bar{s}}_{i}$ sont insérés dans (3.2) pour le calcul de l’estimateur ${\hat{\bar{Y}}}_{i} .$ À noter que ${\hat{\bar{Y}}}_{i}$ demande que ${\tilde{x}}_{i j}$ et $p_{j | i}$ soient connus pour toutes les unités de la population. Un examinateur a fait observer que, dans la pratique, cette hypothèse pourrait venir limiter l’applicabilité de la méthode proposée, ce qui pourrait se résoudre comme problème si les organismes statistiques nationaux donnaient accès aux probabilités de sélection de toutes les unités, de telles valeurs pouvant être nécessaires à des applications comme la nôtre.

3.2 Sélection de largeur de bande

Les polynômes locaux exigent que soient spécifiés le noyau $K (\cdot),$ l’ordre de l’ajustement polynomial $q$ et la largeur de bande $h .$ Fan et Gijbels (1996) indiquent que les valeurs de $q$ supérieures à l’unité n’apportent pas une amélioration significative par rapport à l’ajustement linéaire $(q = 1) .$ Fan et Gijbels (1996) indiquent en outre que le choix de $h$ est bien plus important que le degré du polynôme. Dans ce qui suit, nous emploierons un noyau de densité normale avec $q$ égal à un, puisque cela mène à des résultats satisfaisants dans la plupart des applications.

Nous établissons le $h$ optimal par la méthode de validation croisée (CV). Pour un $h$ donné, calculons l’estimateur de $y_{i j}$ en (3.4) à l’aide de l’échantillon qui reste une fois la $j^{e}$ unité retranchée de $s_{i} .$ Si nous désignons l’estimateur résultant de $y_{i j}$ par ${\tilde{y}}_{i j},$ nous définissons à la suite de Wu et Zhang (2002) le critère CV comme

$CV (h) = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{M} \frac{1}{n_{i}} \sum_{j \in s_{i}} {(y_{i j} - {\tilde{y}}_{i j})}^{2} .$

Le terme $1 / n_{i}$ tient compte du nombre d’observations dans le petit domaine $U_{i} .$ Nous obtenons la largeur de bande optimale $h_{opt}$ en minimisant le $CV (h) .$ Étant donné $h_{opt},$ l’estimateur polynomial local de la moyenne de petit domaine ${\bar{Y}}_{i}$ en (3.2) est désigné par ${\hat{\bar{Y}}}_{i}^{PL} .$

ISSN : 1712-5685

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N° 12-001-X au catalogue

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Date de modification :: 2020-06-30

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