Estimation polynomiale locale pour une moyenne de petit domaine sous échantillonnage informatif
Section 1. Introduction

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On a souvent besoin pour de petites sous-populations (ou domaines) de totaux et de moyennes de population. Lorsque l’inférence repose sur des données d’échantillon par domaine, les estimateurs obtenus des paramètres de petit domaine (ou estimateurs directs) ne sont pas d’une précision suffisante en raison de la petite taille d’échantillon par domaine. Il devient donc nécessaire d’emprunter de la puissance à l’échelle des domaines. On tire de la puissance par des estimateurs indirects (prédicteurs) quand un modèle est exploité pour la population de petits domaines. Ce modèle fait le lien avec les petits domaines apparentés et, par conséquent, un estimateur indirect de petit domaine par modèle se trouve à exploiter toutes les observations de l’échantillon national, tout comme les observations du petit domaine considéré.

Posons que la population d’intérêt, $U$ de taille $N,$ consiste en $M$ domaines non chevauchants avec $N_i$ unités dans le $i^{\text{e}}$ petit domaine $U_i$ $\left(i=1,\dots ,M\right).$ Nous prélevons d’abord un échantillon $s$ de $m$ domaines à l’aide d’un plan de sondage spécifié où les probabilités d’inclusion sont ${\pi }_i=m{p}_i$ $\left(i=1,\dots ,M\right)$ et où $p_i$ désigne la probabilité de sélection du petit domaine $i.$ Nous tirons indépendamment des sous-échantillons $s_i$ de tailles spécifiées $n_i$ de chaque petit domaine $U_i$ en application du plan d’échantillonnage spécifié avec des probabilités de sélection $p_{j|i}$ $\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^{N_i}{p}_{j|i}=1}\right).$ Les probabilités d’inclusion sont ${\pi }_{j|i}=n_i{p}_{j|i}$ et les poids d’échantillonnage, $w_{j|i}={\pi }_{j|i}^{-1}.$ Nous considérons les probabilités de sélection $p_{j|i}$ proportionnelles à une mesure de taille, $c_{ij},$ reliée à la variable réponse $y_{ij};$ en d’autres termes, $p_{j|i}=c_{ij}/{\displaystyle {\sum }_{k=1}^{N_i}{c}_{ik}}.$ Nous posons que tous les petits domaines sont échantillonnés, c’est-à-dire que $m=M.$ La taille résultante est $n={\displaystyle {\sum }_{i=1}^M{n}_i}$ pour l’ensemble de l’échantillon.

Le modèle de régression à erreur emboîtée de base de la population, qui vient de Battese, Harter et Fuller (1988), est donné par

$$y_{ij}=x_{ij}^T\beta +v_i+e_{ij},j=1,\dots ,N_i;i=1,\dots ,M,(1.1)$$

où $y_{ij}$ est la valeur de la variable réponse pour l’unité $j$ dans le petit domaine $i,$ où $x_{i\text{}j}={\left(1,x_{ij1},\dots ,x_{ijp}\right)}^T$ est le vecteur de covariables, où $\beta ={\left({\beta }_0,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_p\right)}^T$ est le vecteur d’effets fixes et où $v_i\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_v^2\right)$ correspond aux effets aléatoires de petit domaine indépendants des erreurs au niveau des unités $e_{ij}\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_e^2\right).$ L’estimation des moyennes de petit domaine, ${\overline{Y}}_i=N_i^{-1}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{N_i}{y}_{ij}},$ est d’un intérêt premier.

Si le plan de sondage n’est pas informatif pour le modèle, c’est-à-dire que le modèle en (1.1) tient pour l’échantillon, il est alors possible d’obtenir des estimateurs efficaces par modèle des moyennes de petit domaine ${\overline{Y}}_i$ par le meilleur prédicteur linéaire sans biais empirique ou EBLUP (voir Rao et Molina, 2015, chapitre 6, pour un excellent compte rendu de cette méthode). Dans ce cas, les modèles d’échantillon et de population coïncident, d’où la possibilité d’appliquer (1.1) aux données d’échantillon pour estimer ${\overline{Y}}_i.$

Si la probabilité de sélection $p_{j|i}$ est liée à $y_{ij}$ même après conditionnement par $x_{ij},$ le plan de sondage est informatif et le modèle en (1.1) ne tient plus pour l’échantillon. La conséquence est que l’estimateur EBLUP, qui est fondé sur (1.1) pour l’échantillon, risque d’être lourdement entaché d’un biais. Il est donc nécessaire de développer des estimateurs pouvant tenir compte de la sélection de l’échantillon et ainsi réduire le biais d’estimation. C’est pourquoi Verret et coll. (2015) ont augmenté le modèle en (1.1) en incluant la variable $g\left(p_{j|i}\right),$ où $g\left(p_{j|i}\right)$ est une fonction spécifiée de la probabilité $p_{j|i}.$ Le modèle de ces auteurs pour l’échantillon est donné par

$$y_{ij}=x_{ij}^T{\beta }_0+g\left(p_{j|i}\right){\delta }_0+v_{0i}+e_{0ij},j=1,\dots ,n_i;i=1,\dots ,M,(1.2)$$

où $v_{0i}\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_{0v}^2\right)$ et est indépendant de $e_{0ij}\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_{0e}^2\right)$ et où ${\beta }_0={\left({\beta }_{00},{\beta }_{01},\dots ,{\beta }_{0p}\right)}^T.$ Verret et coll. (2015) ont vérifié la justesse de (1.2) après avoir ajusté le modèle aux données d’échantillon $\left(y_{ij},x_{ij},p_{j|i}\right),j=1,\dots ,n_i;i=1,\dots ,M,$ pour divers choix de $g(\cdot )$ qui assurent le meilleur ajustement à ces données. Ils ont avancé les quatre possibilités suivantes pour le choix de $g\left(p_{j|i}\right):$ $p_{j|i},$ $\log \left(p_{j|i}\right),$ $w_{j|i}={\left(n_i{p}_{j|i}\right)}^{-1}$ et $n_i{w}_{j|i}=p_{j|i}^{-1}.$ Comme leur modèle d’échantillon est paramétrique, la théorie EBLUP peut servir à l’estimation des paramètres d’intérêt à l’aide du modèle en (1.2).

Verret et coll. (2015) ont montré par une simulation que l’estimateur EBLUP résultant, désigné par ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH}}$ et obtenu en (1.2), performe bien avec un plan de sondage informatif en réduisant tant le biais que l’erreur quadratique moyenne si on le compare à l’estimateur EBLUP, ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}},$ tiré des données d’échantillon dans le modèle non augmenté (1.1). Dans leur étude de simulation, ils ont comparé leur méthode à celle de Pfeffermann et Sverchkov (2007). Leurs résultats font voir que l’estimateur corrigé pour le biais de Pfeffermann et Sverchkov (2007) performe bien avec un plan d’échantillonnage informatif pour le biais, mais que son EQM est significativement supérieure à l’EQM correspondante de l’estimateur EBLUP sur modèle augmenté.

Dans notre exposé, nous ne formulons aucune hypothèse quant à la forme de la fonction $g\left(p_{j|i}\right).$ Nous intégrons plutôt les $p_{j|i}$ au modèle en (1.1) par une fonction lisse inconnue $m_0\left(p_{j|i}\right).$ Notre fonction lisse $m_0(\cdot )$ n’a pas de forme paramétrique comme celle de Verret et coll. (2015). Nous posons que $m_0(\cdot )$ peut être localement approximée par un polynôme d’ordre $q.$ Pour chaque point $l$ du petit domaine $U_k,$ le polynôme correspondant s’obtient par le développement en séries de Taylor de $m_0\left(p_{j|i}\right)$ dans un voisinage de $p_{l|k}.$ Pour chaque point $\left(l,k\right)$ dans la population, nous remplaçons $m_0\left(p_{j|i}\right)$ par l’approximation paramétrique correspondante et ajustons le modèle résultant comme dans l’ajustement paramétrique. C’est la méthode que nous qualifions de localisation polynomiale paramétrique.

L’approximation locale donne un modèle augmenté qui est semi-paramétrique. Opsomer, Claeskens, Ranalli, Kauermann et Breidt (2008) ont employé de tels modèles dans des estimations de petit domaine. Ces auteurs retiennent une technique par splines pénalisés pour estimer la partie non paramétrique de leurs modèles. Breidt et Opsomer (2000) et Breidt, Opsomer, Johnson et Ranalli (2007) ont utilisé la technique polynomiale locale dans la théorie de l’échantillonnage d’enquête pour élaborer des estimateurs par modèle. De tels estimateurs font appel à des modèles non paramétriques sans effets aléatoires. Autant que nous sachions, on n’a guère étudié jusqu’à présent tout ce qui est estimation de moyenne de petit domaine ${\overline{Y}}_i$ par une technique de localisation polynomiale assortie de modèles semi-paramétriques.

Voici comment nous avons structuré notre propos. À la section 2, nous examinons deux méthodes donnant des estimateurs tenant compte de la sélection de l’échantillon, lesquelles ont été conçues par Pfeffermann et Sverchkov (2007) et Verret et coll. (2015). À la section 3, nous exposons une procédure en trois étapes permettant d’estimer le modèle augmenté semi-paramétrique qui est proposé et la moyenne de petit domaine ${\overline{Y}}_i$ par voie d’approximation polynomiale locale. Nous désignons par ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ l’estimateur ainsi obtenu de moyenne de petit domaine. L’erreur quadratique moyenne (EQM) de ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ est estimée à la section 4 par une méthode bootstrap conditionnelle paramétrique. Nous employons aussi cette méthode pour estimer l’EQM des estimateurs EBLUP sur modèle augmenté (1.2). À la section 5, nous faisons une étude de simulation dans le cadre plan-modèle (ou $pm)$ pour comparer le biais et l’EQM du nouvel estimateur ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PL}}$ à ceux de l’estimateur EBLUP ainsi qu’aux deux estimateurs examinés dans Verret et coll. (2015). Nous étudions également avec quelle efficacité la méthode bootstrap conditionnelle estime l’EQM du polynôme local proposé et des estimateurs EBLUP dans Verret et coll. (2015). Nous évaluons le rendement de ces estimateurs en biais relatif moyen et en intervalle de confiance moyen. Nous livrons nos observations en conclusion à la section 6.

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