Combinaison d’échantillons probabilistes indépendants
Section 1. Introduction

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Le fait d’utiliser toute l’information disponible pour produire de meilleures estimations est une idée très séduisante, mais on sait rarement comment procéder exactement pour obtenir les meilleurs résultats. Une littérature abondante traite de ce qu’on appelle maintenant la méta-analyse, qui se fonde sur l’idée de la combinaison des résultats de plusieurs études. Cochran et Carroll (1953) et Cochran (1954) ont publié deux des premiers articles portant sur la combinaison d’estimations provenant d’expériences différentes. Koricheva, Gurevitch et Mengersen (2013) et Schmidt et Hunter (2014) ont rédigé deux ouvrages présentant un traitement plus actuel et plus complet de la méta-analyse. Dans le présent article, nous n’étudierons pas la combinaison de résultats d’expériences classiques, mais plutôt de résultats provenant d’échantillons probabilistes multiples. Nous présentons tous les éléments de plan requis, comme les probabilités d’inclusion du premier et du second ordre, pour une combinaison générale de multiples échantillons indépendants provenant de différents plans d’échantillonnage. Nous présentons également de nouveaux estimateurs de la variance d’estimateurs distincts basés sur le plan des échantillons combinés. Les estimateurs de la variance proposés peuvent être considérés comme des estimateurs de la variance groupés généraux utilisant toute l’information disponible. En particulier, on peut utiliser ces estimateurs de la variance groupés dans une combinaison linéaire d’estimateurs distincts pour réduire l’erreur quadratique moyenne (EQM) par rapport à l’utilisation d’estimateurs de la variance distincts et donc indépendants.

Nous posons une restriction, à savoir que nous traitons uniquement une combinaison d’échantillons probabilistes indépendants provenant d’une même population au même moment ou, si ce n’est pas le cas, en supposant que la variation de la variable cible n’est pas significative. De plus, nous supposons que chaque plan d’échantillonnage est suffisamment connu pour que les probabilités d’inclusion du premier et du second ordre soient connues pour toutes les unités. En général, nous devons également être en mesure d’identifier de façon unique chaque unité afin de détecter si une même unité est sélectionnée dans plus d’un échantillon, ou plusieurs fois dans le même échantillon. Quelques-unes de ces hypothèses pourraient être très restrictives, car elles ne se vérifient pas nécessairement dans certaines circonstances pratiques.

Soit $U\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}N\right\}$ l’ensemble d’étiquettes de $N$ unités dans la population. Notre objectif consiste à estimer le total d’une variable cible $y,$ qui prend comme valeur $y_i$ pour l’unité $i\in U.$ Nous cherchons ainsi à estimer $Y\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N{y}_i}.$ Nous supposons que nous avons accès à $k$ échantillons probabilistes indépendants $S^{\left(l\right)}\text{},$ $l\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots ,k,$ de $U,$ où les échantillons peuvent provenir de différents plans d’échantillonnage. Sous ces hypothèses, nous examinons différentes possibilités d’estimation du total de la population en utilisant tous les renseignements disponibles. Dans certains cas, il faut savoir quelles sont les unités incluses dans plusieurs échantillons différents. De nos jours, on le sait plus facilement dans les enquêtes relatives à la surveillance environnementale et aux ressources naturelles, en raison de l’utilisation répandue de systèmes de positionnement par satellite précis (Næsset et Gjevestad, 2008). Dans les études environnementales, on peut souvent considérer les unités comme des emplacements ayant des coordonnées données, mais la situation est différente dans les sondages menés auprès, par exemple, de personnes pouvant être anonymes ou non identifiables. De plus, des programmes de surveillance du paysage et des forêts sont réalisés dans plusieurs pays (Tomppo, Gschwantner, Lawrence et McRoberts, 2009; Ståhl, Allard, Esseen, Glimskår, Ringvall, Svensson, Sundquist, Christensen, Gallegos Torell, Högström, Lagerqvist, Marklund, Nilsson et Inghe, 2011; Fridman, Holm, Nilsson, Nilsson, Ringvall et Ståhl, 2014) et ils doivent parfois être complétés par des programmes spéciaux d’échantillonnage pour que des cibles d’exactitude données soient atteintes pour certaines régions ou années (Christensen et Ringvall, 2013).

Dans la section 2, nous rappelons d’abord la théorie de la combinaison linéaire optimale d’estimateurs indépendants distincts. Ensuite, à la section 3, nous présentons la théorie de combinaison d’échantillons indépendants. Comme une unité peut être incluse dans plus d’un échantillon ou plusieurs fois dans le même échantillon, nous devons décider s’il faut dénombrer une ou plusieurs inclusions. Si l’on compte une seule inclusion, le plan est un plan sans remise, alors que si l’on choisit plusieurs inclusions, on obtient une forme de plan avec remise. Dans la section 4, nous présentons deux exemples comparant différentes possibilités d’estimation. Enfin, à la section 5, nous concluons l’article par une discussion.

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