Combinaison d’échantillons probabilistes indépendants
Section 4. Exemples de simulations

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Nous présentons ici deux exemples de la méthode de simulation de Monte-Carlo. Dans le premier exemple, nous combinons deux échantillons tirés d’une loi de Poisson en utilisant des probabilités d’inclusion approximativement proportionnelles à la variable cible. Dans le deuxième exemple, nous combinons un échantillon aléatoire simple non stratifié à un échantillon aléatoire simple stratifié.

4.1  Combinaison de deux échantillons tirés d’une loi de Poisson

Nous produisons une population de taille $N\mathrm{<mo>=</mo>\; 200},$ avec une variable auxiliaire $X_i\sim N\left(\mu =\mathrm{20,}{\sigma }^2=16\right).$ La variable cible est produite comme étant $\left(Y_i|X_i\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_i+{ϵ}_i,$ où ${ϵ}_i\sim N\left(\mathrm{0,}{\left(x_i/20\right)}^2\right).$ Les deux ensembles de probabilités d’inclusion sont produits ${\pi }_i^{\left(1\right)}\propto {\pi }_i^{\left(2\right)}\propto x_i,$ où ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N{\pi }_i^{\left(1\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_1}$ et ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N{\pi }_i^{\left(2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_2}.$ Soit les tailles d’échantillon espérées $n_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 15}$ et $n_2\mathrm{<mo>=</mo>\; 25.}$ Par souci de simplicité, les deux plans seront des plans de Poisson (où les unités sont sélectionnées indépendamment). Cela nous permet de calculer exactement les variances pour les estimateurs distincts (et par conséquent la combinaison linéaire optimale) et pour les échantillons combinés à comptage unique et multiple. Pour ce qui est des stratégies à combinaison linéaire utilisant des variances estimées, nous avons réalisé une simulation de Monte-Carlo avec 1 000 000 de sélections d’échantillons répétées. Les variances réelles pour les deux estimateurs de HT distincts, les estimateurs à comptage simple et comptage multiple pour les échantillons combinés, et la combinaison linéaire optimale des estimateurs distincts sont présentés dans le tableau 4.1. Les résultats de la simulation pour les différentes combinaisons linéaires avec les variances des estimations sont également présentés dans le tableau 4.1.

L’utilisation d’estimateurs de variance combinés (groupés) a réduit à la fois le biais et la variance pour une combinaison linéaire par rapport à l’utilisation d’estimateurs de variance distincts. Dans cet exemple, la combinaison linéaire avec l’estimation de la variance groupée donne des résultats à la performance très proche de celle des résultats de la combinaison linéaire optimale. Le biais négatif avec les estimateurs de variance distincts est principalement attribuable à une corrélation positive entre l’estimateur du total et l’estimateur de la variance correspondant dans le plan de Poisson. Pour ce scénario, on a obtenu le meilleur résultat par la combinaison des échantillons avec un comptage unique.

4.2  Combiner un échantillonnage aléatoire simple non stratifié à un échantillonnage aléatoire simple stratifié

Ici, nous avons produit une population de taille $N\mathrm{<mo>=</mo>}\text{1}0\text{00,}$ avec deux strates de taille $N_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 600}$ et $N_2\mathrm{<mo>=</mo>\; 400.}$ La variable cible $y_i,$ $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots ,N,$ a été produite comme suit. Dans la strate 1, il y a 500 $y_i$ égaux à zéro et 100 autres $y_i$ ont été tirés de $N\left({\mu }_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 10,}{\sigma }^2\mathrm{<mo>=</mo>\; 4}\right).$ Dans la strate 2, il y a 300 $y_i$ égaux à zéro et les 100 autres $y_i$ ont été tirés de $N\left({\mu }_2\mathrm{<mo>=</mo>\; 15,}{\sigma }^2\mathrm{<mo>=</mo>\; 4}\right)$ Le premier échantillon est un échantillonnage aléatoire simple non stratifié de taille $n\mathrm{<mo>=</mo>\; 50}$ et le deuxième échantillon est un échantillonnage aléatoire simple stratifié où les tailles d’échantillons de la strate sont $n_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 30}$ et $n_2\mathrm{<mo>=</mo>\; 20}$ Les variances des estimateurs de HT distincts et des échantillons combinés avec comptage simple et multiple ont été calculés exactement. On a réalisé une simulation de Monte-Carlo avec 10 000 répétitions pour évaluer la performance d’un estimateur en combinaison linéaire avec des variances estimées. Les résultats sont présentés au tableau 4.2. On réduit le biais par l’utilisation d’une combinaison linéaire avec des estimateurs de variance groupés par rapport à l’utilisation d’estimateurs de variance distincts. De plus, pour ce scénario, on a obtenu le meilleur résultat par la combinaison des échantillons avec un comptage unique.

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