Combinaison d’échantillons probabilistes indépendants
Section 3. Combiner des échantillons

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Nous calculons ici les éléments du plan (par exemple probabilités d’inclusion du premier et du second ordre) pour l’échantillon combiné. Il existe toutefois différentes façons de combiner des échantillons. Nous devons par exemple choisir entre un comptage multiple ou un comptage unique pour le plan combiné. Quand on combine des échantillons indépendants provenant de la même population, nous devons connaître les probabilités d’inclusion de toutes les unités des échantillons, pour tous les plans. Les probabilités d’inclusion du second ordre sont nécessaires pour l’estimation de la variance. Dans certains cas, il nous faut aussi des identificateurs uniques (étiquettes) pour les unités de façon afin qu’elles puissent être appariées, par exemple, quand on utilise un comptage unique ou quand au moins un plan distinct a des probabilités inégales. Bankier (1986) a examiné la méthode du comptage unique pour le cas particulier de la combinaison de deux échantillons aléatoires simples stratifiés sélectionnés indépendamment et tirés de la même base de sondage. Roberts et Binder (2009) et O’Muircheartaigh et Pedlow (2002) ont discuté des différentes possibilités pour combiner des échantillons indépendants tirés d’une même base de sondage, mais pas avec des plans d’échantillonnage généraux.

Un problème quelque peu semblable est l’estimation fondée sur des échantillons provenant de bases multiples chevauchantes, voir par exemple les articles de synthèse de Lohr (2009, 2011) et les articles qu’il cite. Bien que le fait d’avoir la même base de sondage puisse être considéré comme un cas particulier de bases multiples, nous n’avons pas trouvé de calculs des éléments du plan (en particulier des probabilités d’inclusion du second ordre et l’ordre deux du nombre espéré d’inclusions) pour la combinaison des plans d’échantillonnage généraux. Pour le cas des plans de sondage probabiliste généraux, nous présentons ci-dessous en détail deux façons principales de combiner les échantillons probabilistes et de calculer les caractéristiques de plan correspondantes nécessaires pour l’estimation sans biais et l’estimation de la variance sans biais.

3.1  Combinaison à comptage unique

Ici, nous combinons d’abord deux échantillons indépendants $S^{\left(1\right)}$ et $S^{\left(2\right)}$ tirés de la même population, et nous étudions l’union des deux échantillons dans notre échantillon combiné. Ainsi, l’inclusion d’une unité n’est comptée qu’une seule fois, même si l’unité est incluse dans plus d’un échantillon. Les probabilités d’inclusion du premier ordre sont :

$${\pi }_i^{\left(1,2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i^{\left(1\right)}+{\pi }_i^{\left(2\right)}-{\pi }_i^{\left(1\right)}{\pi }_i^{\left(2\right)}\mathrm{,}(3.1)$$

où ${\pi }_i^{\left(1,2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(i\in S^{\left(1\right)}\cup S^{\left(2\right)}\right)$ et ${\pi }_i^{\left(l\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(i\in S^{\left(l\right)}\right)$ pour $l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}2.$ Soit $I_i^{\left(1\right)},$ $I_i^{\left(2\right)}$ et $I_i^{\left(1,2\right)}$ l’indicateur d’inclusion de l’unité $i$ dans $S^{\left(1\right)},$ $S^{\left(2\right)}$ et $S^{\left(1\right)}\cup S^{\left(2\right)}$ respectivement. Le plan qui en résulte n’est plus un plan à taille fixe (bien que les plans distincts soient de taille fixe). La taille espérée de l’union $S^{\left(1\right)}\cup S^{\left(2\right)}$ est donnée par $E\left(n^{\left(1,2\right)}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N{\pi }_i^{\left(1,2\right)}},$ où $n^{\left(1,2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N{I}_i^{\left(1,2\right)}}$ désigne la taille aléatoire de l’union. Si nous voulons savoir dans quelle mesure les échantillons se chevaucheront en moyenne, la taille espérée du chevauchement est donnée par la somme ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N{\pi }_i^{\left(1\right)}{\pi }_i^{\left(2\right)}}.$

Les probabilités d’inclusion du second ordre ${\pi }_{ij}^{\left(1,2\right)}$ pour l’union $S^{\left(1\right)}\cup S^{\left(2\right)}$ peuvent s’exprimer en termes des probabilités d’inclusion du premier et du second ordre des deux plans respectifs. Soit $B\mathrm{<mo>=</mo>}\left(i\in S^{\left(1\right)}\cup S^{\left(2\right)}\mathrm{,}j\in S^{\left(1\right)}\cup S^{\left(2\right)}\right),$ alors ${\pi }_{ij}^{\left(1,2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(B\right).$ En conditionnant sur les résultats pour $i$ et $j$ dans $S^{\left(1\right)},$ on obtient les quatre cas suivants

où ${\pi }_{ij}^{\left(l\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(i\in S^{\left(l\right)}\mathrm{,}j\in S^{\left(l\right)}\right)$ pour $l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}2.$ Les événements $A_m,$ $m\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}4,$ sont disjoints et ${\displaystyle {\sum }_{m\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^4}\mathrm{Pr}\left(A_m\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$ Par conséquent, on a par la formule des probabilités totales ${\pi }_{ij}^{\left(1,2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(B\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{m\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^4}\mathrm{Pr}\left(B|A_m\right)\mathrm{Pr}\left(A_m\right).$ Cela donne

$${\pi }_{ij}^{\left(1,2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{ij}^{\left(1\right)}+{\pi }_j^{\left(2\right)}\left({\pi }_i^{\left(1\right)}-{\pi }_{ij}^{\left(1\right)}\right)+{\pi }_i^{\left(2\right)}\left({\pi }_j^{\left(1\right)}-{\pi }_{ij}^{\left(1\right)}\right)+{\pi }_{ij}^{\left(2\right)}\left(1-{\pi }_i^{\left(1\right)}-{\pi }_j^{\left(1\right)}+{\pi }_{ij}^{\left(1\right)}\right)\mathrm{.}(3.2)$$

On peut généraliser les équations (3.1) et (3.2) pour obtenir de façon récursive les probabilités d’inclusion du premier et du second ordre de l’union d’un nombre arbitraire $k$ d’échantillons indépendants. Après avoir calculé les probabilités de l’union des deux premiers échantillons, nous pouvons combiner le résultat avec les probabilités du troisième plan en utilisant les mêmes formules, et ainsi de suite. À titre d’exemple, soit ${\pi }_i^{\left(1,\dots ,l\right)}$ la probabilité d’inclusion du premier ordre de l’unité $i$ dans l’union des premiers échantillons $l.$ On a alors

$${\pi }_i^{\left(1,\dots ,l+1\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i^{\left(1,\dots ,l\right)}+{\pi }_i^{\left(l+1\right)}-{\pi }_i^{\left(1,\dots ,l\right)}{\pi }_i^{\left(l+1\right)}\mathrm{,}$$

comme probabilité d’inclusion du premier ordre de l’unité $i$ dans l’union des $l+1$ premiers échantillons. De même, pour les probabilités d’inclusion du second ordre, nous obtenons la formule récursive

$$\begin{array}{ll}{\pi }_{ij}^{\left(1,\dots ,l+1\right)}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{ij}^{\left(1,\dots ,l\right)}+{\pi }_j^{\left(l+1\right)}\left({\pi }_i^{\left(1,\dots ,l\right)}-{\pi }_{ij}^{\left(1,\dots ,l\right)}\right)+{\pi }_i^{\left(l+1\right)}\left({\pi }_j^{\left(1,\dots ,l\right)}-{\pi }_{ij}^{\left(1,\dots ,l\right)}\right)\hfill \\ \hfill & +{\pi }_{ij}^{\left(l+1\right)}\left(1-{\pi }_i^{\left(1,\dots ,l\right)}-{\pi }_j^{\left(1,\dots ,l\right)}+{\pi }_{ij}^{\left(1,\dots ,l\right)}\right)\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Désormais, pour la combinaison de $k$ échantillons indépendants, nous utilisons la notation simplifiée ${\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i^{\left(1,\dots ,k\right)},$ ${\pi }_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{ij}^{\left(1,\dots ,k\right)}$ et $I_i\mathrm{<mo>=</mo>}{I}_i^{\left(1,\dots ,k\right)}.$ Étant donné que les échantillons individuels sont suceptibles de se chevaucher, le plan qui en résulte n’est pas de taille fixe. L’estimateur combiné sans biais à comptage unique, sous forme d’estimateur de Horvitz-Thompson, est donné par

$${\widehat{Y}}_{\text{CS}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in S}}\frac{y_i}{{\pi }_i}\mathrm{.}$$

La variance est

$$V\left({\widehat{Y}}_{\text{CS}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\left({\pi }_{ij}-{\pi }_i{\pi }_j\right)\frac{y_i}{{\pi }_i}\frac{y_j}{{\pi }_j}\mathrm{,}$$

et l’estimateur de la variance sans biais est

$$\widehat{V}\left({\widehat{Y}}_{\text{CS}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\left({\pi }_{ij}-{\pi }_i{\pi }_j\right)\frac{y_i}{{\pi }_i}\frac{y_j}{{\pi }_j}\frac{I_i{I}_j}{{\pi }_{ij}}\mathrm{.}$$

Pour la combinaison d’échantillons indépendants avec des probabilités d’inclusion positives du premier ordre, nous avons toujours ${\pi }_{ij}\mathrm{<mo>></mo>\; 0}$ pour toutes les paires $\left(i\mathrm{,}j\right),$ ce qui est nécessaire pour que l’estimateur de la variance ci-dessus soit sans biais. En ce qui concerne l’EQM, il peut être avantageux de ne pas utiliser l’estimateur à un comptage unique, mais plutôt un estimateur qui tienne compte de la taille de l’échantillon aléatoire. Toutefois, dans ce cas, nous nous limitons à n’utiliser que des estimateurs sans biais.

3.2  Combinaison à comptage multiple

Nous examinons d’abord la manière de combiner deux échantillons indépendants $S^{\left(1\right)}$ et $S^{\left(2\right)}$ sélectionnés dans la même population, où nous permettons que chaque unité puisse être incluse plusieurs fois. Le nombre d’inclusions de l’unité $i$ dans l’échantillon combiné est noté par $S_i^{\left(\mathrm{1,}2\right)},$ et il est égal à la somme du nombre d’inclusions de l’unité $i$ dans les deux échantillons combinés, c’est-à-dire $S_i^{\left(1,2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_i^{\left(1\right)}+S_i^{\left(2\right)},$ où $S_i^{\left(l\right)}$ est le nombre d’inclusions de l’unité $i$ dans l’échantillon $l.$ Le nombre espéré d’inclusions de l’unité $i$ dans la combinaison est donné par

$$E\left(S_i^{\left(1,2\right)}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_i^{\left(1,2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_i^{\left(1\right)}+E_i^{\left(2\right)}\mathrm{,}(3.3)$$

où $E_i^{\left(l\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}E\left(S_i^{\left(l\right)}\right)$ est le nombre espéré d’inclusions de l’unité $i$ dans l’échantillon $S^{\left(l\right)},$ $l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}2.$ La taille de l’échantillon (pouvant être aléatoire) est la somme ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N{S}_i^{\left(1,2\right)}}$ de toutes les inclusions individuelles et la taille espérée de l’échantillon est la somme ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N{E}_i^{\left(1,2\right)}}$ de tous les nombres individuels espérés d’inclusions. On peut montrer que

$$E\left(S_i^{\left(1,2\right)}{S}_j^{\left(1,2\right)}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_{ij}^{\left(1,2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_{ij}^{\left(1\right)}+E_i^{\left(1\right)}{E}_j^{\left(2\right)}+E_i^{\left(2\right)}{E}_j^{\left(1\right)}+E_{ij}^{\left(2\right)}\mathrm{,}(3.4)$$

où $E_{ij}^{\left(l\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}E\left(S_i^{\left(l\right)}{S}_j^{\left(l\right)}\right),$ $l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}2$ sont le nombre espéré d’inclusions du second ordre dans l’échantillon $l.$ De toute évidence, $E_{ij}^{\left(l\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{ij}^{\left(l\right)}$ si le plan pour l’échantillon $l$ est sans remise. Notons que, parce que $S_i^{(\cdot )}$ peut prendre d’autres valeurs que 0 ou 1, $E_{ii}^{(\cdot )}$ est en général non égal à $E_i^{(\cdot )},$ mais ${\pi }_{ii}^{(\cdot )}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i^{(\cdot )}.$ On peut utiliser les équations (3.3) et (3.4) de façon récursive pour obtenir $E_i^{(\cdot )}$ et $E_{ij}^{(\cdot )}$ pour la combinaison d’un nombre arbitraire $k$ d’échantillons indépendants. Nous obtenons alors les formules récursives

$$E_i^{\left(1,\dots ,l+1\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_i^{\left(1,\dots ,l\right)}+E_i^{\left(l+1\right)}$$

et

$$E_{ij}^{\left(1,\dots ,l+1\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_{ij}^{\left(1,\dots ,l\right)}+E_i^{\left(1,\dots ,l\right)}{E}_j^{\left(l+1\right)}+E_j^{\left(1,\dots ,l\right)}{E}_i^{\left(l+1\right)}+E_{ij}^{\left(l+1\right)}\mathrm{.}$$

Les résultats précédents et (3.4) découlent du fait que $S_i^{\left(1,\dots ,l+1\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_i^{\left(1,\dots ,l\right)}+S_i^{\left(l+1\right)}$ et que $S_i^{\left(1,\dots ,l\right)}$ et $S_i^{\left(l+1\right)}$ sont indépendants. Nous avons par exemple

$$\begin{array}{ll}{E}_{ij}^{\left(1,\dots ,l+1\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}E\left(S_i^{\left(1,\dots ,l+1\right)}{S}_j^{\left(1,\dots ,l+1\right)}\right)\hfill & =E\left(\left(S_i^{\left(1,\dots ,l\right)}+S_i^{\left(l+1\right)}\right)\left(S_j^{\left(1,\dots ,l\right)}+S_j^{\left(l+1\right)}\right)\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\hfill \\ \hfill & E\left(S_i^{\left(1,\dots ,l\right)}{S}_j^{\left(1,\dots ,l\right)}+S_i^{\left(1,\dots ,l\right)}{S}_j^{\left(l+1\right)}+S_j^{\left(1,\dots ,l\right)}{S}_i^{\left(l+1\right)}+S_i^{\left(l+1\right)}{S}_j^{\left(l+1\right)}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\hfill \\ \hfill & E_{ij}^{\left(1,\dots ,l\right)}+E_i^{\left(1,\dots ,l\right)}{E}_j^{\left(l+1\right)}+E_j^{\left(1,\dots ,l\right)}{E}_i^{\left(l+1\right)}+E_{ij}^{\left(l+1\right)}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Pour la combinaison de $k$ échantillons indépendants, nous utilisons maintenant la notation simplifiée $E_i\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_i^{\left(1,\dots ,k\right)},$ $E_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_{ij}^{\left(1,\dots ,k\right)},$ et $S_i\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_i^{\left(1,\dots ,k\right)}.$ On peut estimer le total $Y$ sans biais avec l’estimateur à comptage multiple, l’estimateur de Hansen-Hurwitz (Hansen et Hurwitz, 1943) en étant un cas particulier. Il est donné par

$${\widehat{Y}}_{\text{CM}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\frac{y_i}{E_i}{S}_i\mathrm{.}$$

Nous obtenons l’estimateur de Hansen-Hurwitz si $E_i\mathrm{<mo>=</mo>}n{p}_i,$ où $n$ est le nombre d’unités tirées et $p_i,$ avec ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N{p}_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}},$ sont les probabilités d’un tirage indépendant unique. La variance de ${\widehat{Y}}_{\text{CM}}$ peut être exprimée comme étant

$$V\left({\widehat{Y}}_{\text{CM}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\left(E_{ij}-E_i{E}_j\right)\frac{y_i}{E_i}\frac{y_j}{E_j}\mathrm{.}$$

Un des estimateurs de la variance est

$$\widehat{V}\left({\widehat{Y}}_{\text{CM}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\left(E_{ij}-E_i{E}_j\right)\frac{y_i}{E_i}\frac{y_j}{E_j}\frac{S_i{S}_j}{E_{ij}}\mathrm{.}$$

Il s’ensuit directement que l’estimateur de la variance ci-dessus est sans biais, car quand on combine des échantillons indépendants avec des probabilités d’inclusion du premier ordre positives, nous avons toujours $E_{ij}\mathrm{<mo>></mo>\; 0}$ pour toutes les paires $\left(i\mathrm{,}j\right).$

3.3  Comparer des estimateurs combinés et distincts

Deux exemples montrent que l’estimateur combiné n’est pas nécessairement aussi bon que le meilleur estimateur distinct.

Exemple 3 : Supposons que le premier échantillon, $S^{\left(1\right)},$ est de taille fixe avec ${\pi }_i^{\left(1\right)}\propto y_i,$ et que le deuxième est un échantillon aléatoire simple avec ${\pi }_i^{\left(2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}n/N.$ Alors, l’estimateur de Horvitz-Thompson ${\widehat{Y}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in S^{\left(1\right)}}}{y}_i/{\pi }_i^{\left(1\right)},$ a une variance nulle, mais l’estimateur à comptage unique combiné avec ${\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i^{\left(1\right)}+{\pi }_i^{\left(2\right)}-{\pi }_i^{\left(1\right)}{\pi }_i^{\left(2\right)}$  a une variance positive. Par conséquent, l’estimateur combiné est moins performant que le meilleur estimateur distinct.

Exemple 4 : Supposons que le plan du premier échantillon est stratifié de telle sorte qu’il n’y a pas de variation à l’intérieur des strates. Alors, l’estimateur distinct ${\widehat{Y}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in S^{\left(1\right)}}}{y}_i/{\pi }_i^{\left(1\right)}$ a une variance nulle. Si le premier échantillon est combiné à un deuxième échantillon non stratifié, alors le plan d’échantillonnage qui en résulte n’a pas de tailles d’échantillon fixes dans les strates. Par conséquent, l’estimateur combiné a une variance positive.

Ces exemples montrent qu’il faut faire preuve de prudence avant de combiner des plans d’échantillonnage très différents, comme un plan à probabilités inégales avec un plan à probabilités égales, ou un plan de sondage stratifié avec un plan de sondage non stratifié. Il faut se montrer particulièrement prudent si nous voulons estimer le total directement à partir de l’échantillon combiné. Notons toutefois qu’en cas de combinaison d’échantillons de plans relativement semblables, il est probable que l’estimateur combiné soit meilleur que le meilleur des estimateurs distincts.

Nous examinerons ensuite comment utiliser la méthode combinée pour l’estimation des variances distinctes, puis l’estimateur en combinaison linéaire. En fait, comme nous le verrons ultérieurement, l’utilisation de la méthode combinée pour l’estimation de la variance de variances distinctes peut agir comme stabilisateur des poids de la combinaison linéaire quand les poids sont basés sur des variances estimées. On a une sorte d’effet de regroupement pour les estimateurs de variance quand ils sont estimés avec le même ensemble de renseignements.

3.4  Utiliser un échantillon combiné pour l’estimation des variances d’estimateurs distincts

Au lieu d’estimer directement le total $Y$ à partir du plan combiné, on peut utiliser le plan combiné pour estimer les variances des estimateurs distincts, puis continuer avec une combinaison linéaire des estimateurs distincts. Supposons que nous avons accès à $k$ échantillons indépendants et que nous voulons estimer la variance d’un estimateur distinct, dont la variance est une double somme des unités de population. Il y a deux possibilités principales pour l’estimateur de variance : multiplier par

$$\frac{I_i{I}_j}{{\pi }_{ij}}\text{ou}\frac{S_i{S}_j}{E_{ij}}$$

dans la formule de variance pour obtenir un estimateur sans biais de la variance basé sur la combinaison de la totalité des $k$ échantillons $S^{\left(l\right)},$ $l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots ,k.$ Par exemple, en supposant que la variance de ${\widehat{Y}}_1$ est

$$V\left({\widehat{Y}}_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\left({\pi }_{ij}^{\left(1\right)}-{\pi }_i^{\left(1\right)}{\pi }_j^{\left(1\right)}\right)\frac{y_i}{{\pi }_i^{\left(1\right)}}\frac{y_j}{{\pi }_j^{\left(1\right)}}\mathrm{,}$$

nous pouvons utiliser la combinaison de $S^{\left(l\right)},$ $l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots ,k,$ pour estimer $V\left({\widehat{Y}}_1\right)$ par l’estimateur à comptage unique

$${\widehat{V}}_{\text{CS}}\left({\widehat{Y}}_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\left({\pi }_{ij}^{\left(1\right)}-{\pi }_i^{\left(1\right)}{\pi }_j^{\left(1\right)}\right)\frac{y_i}{{\pi }_i^{\left(1\right)}}\frac{y_j}{{\pi }_j^{\left(1\right)}}\frac{I_i{I}_j}{{\pi }_{ij}}$$

ou l’estimateur à comptage multiple

$${\widehat{V}}_{\text{CM}}\left({\widehat{Y}}_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\left({\pi }_{ij}^{\left(1\right)}-{\pi }_i^{\left(1\right)}{\pi }_j^{\left(1\right)}\right)\frac{y_i}{{\pi }_i^{\left(1\right)}}\frac{y_j}{{\pi }_j^{\left(1\right)}}\frac{S_i{S}_j}{E_{ij}}\mathrm{.}$$

Notons que ${\pi }_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{ij}^{\left(1,\dots ,k\right)},$ $I_i\mathrm{<mo>=</mo>}{I}_i^{\left(1,\dots ,k\right)},$ $E_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_{ij}^{\left(1,\dots ,k\right)}$ et $S_i\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_i^{\left(1,\dots ,k\right)},$ de sorte que les estimateurs de la variance ci-dessus utilisent tous les renseignements disponibles sur la variable cible. Par conséquent, ces estimateurs de la variance peuvent être considérés comme des estimateurs de la variance groupés généraux. Il s’ensuit directement que les deux estimateurs sont sans biais, car tous les plans ont des probabilités d’inclusion du premier ordre positives, ce qui implique que tous les ${\pi }_{ij}$ et tous les $E_{ij}$ sont strictement positifs. De façon intéressante, les estimateurs de la variance ci-dessus sont sans biais bien que le plan distinct 1 ait certaines probabilités d’inclusion du second ordre nulles, ce qui empêche l’estimation de la variance sans biais basée sur le seul échantillon $S^{\left(1\right)}.$

Bien que la production d’un estimateur de la variance sans biais pour tout plan soit une propriété séduisante, on ne peut pas recommander les estimateurs de la variance ci-dessus pour les plans ayant un degré élevé de probabilités d’inclusion du second ordre nulles (comme en cas d’échantillonnage systématique). En effet, les estimateurs peuvent être très instables pour ces plans et produire une proportion élevée d’estimations de la variance négatives.

Comme nous le verrons, si nous souhaitons utiliser un estimateur en combinaison linéaire, il est important que toutes les variances soient estimées de la même manière. Il est alors probable que les rapports, par exemple

$$\frac{{\widehat{V}}_{\text{CS}}\left({\widehat{Y}}_1\right)}{{\widehat{V}}_{\text{CS}}\left({\widehat{Y}}_2\right)}\text{et}\frac{{\widehat{V}}_{\text{CM}}\left({\widehat{Y}}_1\right)}{{\widehat{V}}_{\text{CM}}\left({\widehat{Y}}_2\right)}$$

soient stables (qu’ils aient une petite variance). Les rapports sont plus stables parce que les estimateurs dans le numérateur et le dénominateur se fondent sur les mêmes informations et sont estimés avec les mêmes poids pour toutes les paires $\left(i\mathrm{,}j\right)$ dans tous les estimateurs. Avec les variances estimées, nous obtenons

$${\widehat{\alpha }}_i={\left[{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^k}\frac{\widehat{V}\left({\widehat{Y}}_i\right)}{\widehat{V}\left({\widehat{Y}}_j\right)}\right]}^{-1}\mathrm{,}$$

donc si les rapports des estimateurs de la variance ont une petite variance, alors ${\widehat{\alpha }}_i$ a une petite variance. La pondération dans la combinaison linéaire ${\widehat{Y}}_L^{*}$ se stabilise alors. Comme le montre l’exemple suivant, le rapport des estimateurs de la variance peut même avoir une variance nulle. Par conséquent, il peut parfois donner une pondération optimale y compris quand les variances sont inconnues.

Exemple 5 : Supposons que nous voulons combiner des estimations résultant de deux échantillons aléatoires simples de taille différente. Nous pouvons bien entendu le faire de façon optimale sans estimer les variances, mais à titre d’exemple, nous utiliserons la méthode ci-dessus pour estimer les variances distinctes au moyen de l’échantillon combiné. Dans ce cas, l’utilisation des estimateurs ${\widehat{V}}_{\text{CS}}\left({\widehat{Y}}_1\right)$ et ${\widehat{V}}_{\text{CS}}\left({\widehat{Y}}_2\right)$ donne la pondération optimale, de même que ${\widehat{V}}_{\text{CM}}\left({\widehat{Y}}_1\right)$  et ${\widehat{V}}_{\text{CM}}\left({\widehat{Y}}_2\right).$ Ce résultat découle du fait que si les deux plans sont un échantillonnage aléatoire simple, nous avons :

$$\frac{{\widehat{V}}_{\text{CS}}\left({\widehat{Y}}_1\right)}{{\widehat{V}}_{\text{CS}}\left({\widehat{Y}}_2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\widehat{V}}_{\text{CM}}\left({\widehat{Y}}_1\right)}{{\widehat{V}}_{\text{CM}}\left({\widehat{Y}}_2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{V\left({\widehat{Y}}_1\right)}{V\left({\widehat{Y}}_2\right)}\mathrm{,}$$

qui se vérifie simplement. Si on a deux échantillons aléatoires simples, la situation correspond à l’utilisation d’une estimation groupée pour $S^2$  (la variance de la population de $y)$  dans les expressions des estimations de la variance, et cette estimation groupée est ensuite annulée dans le calcul des poids.

On en conclut que cette procédure est aussi susceptible de fournir une pondération plus stable pour les plans qui s’écartent de l’échantillonnage aléatoire simple, dans la mesure où les plans concernés ont une grande entropie (un caractère aléatoire élevé). Le problème du biais de l’estimateur en combinaison linéaire avec des variances estimées sera réduit par rapport à l’utilisation d’estimateurs de la variance distincts et donc indépendants.

Nous pensons que cela peut être une solution de substitution très intéressante, car l’estimateur du total basé sur le plan combiné ne donne pas nécessairement une plus petite variance que le meilleur des estimateurs distincts. Au moyen de cette stratégie, nous pouvons améliorer les estimateurs de la variance distincts, particulièrement pour un plus petit échantillon (si les données sont disponibles pour un plus grand échantillon). Ainsi, la combinaison linéaire résultante avec des variances estimées conjointement peut être une stratégie très avantageuse.

En cas de comptage unique, nous pourrions utiliser un estimateur de la variance de type ratio comme

$${\widehat{V}}_R\left({\widehat{Y}}_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{N^2}{{\gamma }_{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}k}}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\left({\pi }_{ij}^{\left(1\right)}-{\pi }_i^{\left(1\right)}{\pi }_j^{\left(1\right)}\right)\frac{y_i}{{\pi }_i^{\left(1\right)}}\frac{y_j}{{\pi }_j^{\left(1\right)}}\frac{I_i{I}_j}{{\pi }_{ij}}\mathrm{,}$$

où ${\gamma }_{\mathrm{1,}\dots ,k}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}\frac{I_i{I}_j}{{\pi }_{ij}}.$ En cas de comptage multiple, nous pouvons remplacer $I_i{I}_j/{\pi }_{ij}$ par $S_i{S}_j/E_{ij}.$ Cet estimateur par le ratio utilise la taille connue de la population des paires $\left(i\mathrm{,}j\right)\in {\left\{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots ,N\right\}}^2,$ qui est $N^2,$ et divise par la somme des poids d’échantillon des paires. Il faut noter que $E\left({\gamma }_{\mathrm{1,}\dots ,k}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{N}^2.$ Cette correction est utile, car le nombre de paires dans l’estimateur peut être aléatoire (puisque l’union des échantillons peut avoir une taille aléatoire). Cela permet de rééchelonner les poids de l’échantillon (des paires) pour les additionner à $N^2.$ Ceci introduira un certain biais (comme toujours avec les estimateurs par le ratio), mais l’objectif est de réduire la variance de l’estimateur de la variance. Toutefois, cette méthode n’est utile que si nous nous intéressons à la variance distincte, car le terme de correction sera identique pour tous les estimateurs de la variance distincts. Par conséquent, cela ne change pas la pondération d’un estimateur en combinaison linéaire avec des variances estimées.

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