Commentaires à propos de l’article « Inférence statistique avec des échantillons d’enquête non probabiliste »
Section 3. Méthode fondée sur le calage uniforme

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Le calage est couramment utilisé pour améliorer la représentativité d’un échantillon non probabiliste, mais les méthodes existantes, y compris la méthode fondée sur la projection d’information mentionnée à la section 2, sont fondées sur le calage d’un ensemble de fonctions prédéfinies. Cependant, en pratique, il est difficile de préciser correctement ces fonctions aux fins du calage. Dans la présente section, nous proposons un cadre général pour le calage uniforme des fonctions dans un espace de Hilbert à noyau reproduisant. Au lieu de considérer une forme paramétrique pour $E_{\xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Y|x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ dans l’équation (3.1), nous supposons seulement que $E_{\xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_i|x_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ où $m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est une fonction lisse satisfaisant à certaines conditions.

Nous considérons tout de même (2.1) selon l’hypothèse A1. Au lieu de supposer un ensemble de fonctions prédéfinies $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ nous proposons d’estimer $\left\{r_i\mathrm{<mo>:</mo>}i\in S_A\right\}$ au moyen de l’optimisation suivante :

$$\widehat{\gamma }=\underset{\gamma \ge 0}{\text{argmin}}\left[\underset{u\in H}{{\displaystyle \sup }}\left\{\frac{S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\Vert u\Vert }_2^2}-{\lambda }_1\frac{{\Vert u\Vert }_H^2}{{\Vert u\Vert }_2^2}\right\}+{\lambda }_2{Q}_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{,}(3.1)$$

où $\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}\left(r_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{r}_N\right),$ $r_i\mathrm{<mo>=</mo>}0$ pour $i\notin S_A,$ $\gamma \ge 0$ est équivalent à $r_i\ge 0$ pour $i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}N,$ $H$ est un espace de Hilbert à noyau reproduisant,

$$S\left(\gamma \mathrm{,}u\right)={\left[N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in S_A}}\left\{1+\left(\frac{N}{n_A}-1\right)r_i\right\}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in S_B}}{d}_i^{B}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^2\mathrm{,}(3.2)$$

${\Vert u\Vert }_2^2={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}_A+n_B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in S_A\cup S_B}}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2,$ ${\Vert u\Vert }_H$ est la norme associée à l’espace de Hilbert à noyau reproduisant, $Q_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est une pénalité générale imposée à $\gamma$ pour éviter un surajustement, et ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_2$ sont deux paramètres de réglage. Voir Wahba (1990) pour une introduction détaillée à l’espace de Hilbert à noyau reproduisant.

L’intuition relative à l’optimisation (3.1) y est brièvement abordée. Premièrement, si $r_i$ se rapproche suffisamment du ratio de densité réel $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ le biais du premier segment dans l’équation (3.1) est négligeable pour l’estimation de $N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour $u\in H.$ De plus, $N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in S_B}}{d}_i^{B}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est sans biais par rapport au plan. Ainsi, $S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ équilibre deux estimateurs pour $N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ et il est faible si $r_i$ équivaut approximativement à $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour $i\in S_A.$ Cependant, $S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ n’est pas invariant par rapport à l’échelle, et nous avons $S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{,}cu\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=c^{2}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour $c\in ℝ.$ Par conséquent, nous utilisons ${\Vert u\Vert }_2^2$ pour en assurer l’invariabilité par rapport à l’échelle. Le segment ${\lambda }_1{\Vert u\Vert }_H^2$ est utilisé pour pénaliser le lissage de la fonction $u$ pour $u\in H.$ En ce qui concerne $Q_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ nous avons différentes options. Par exemple, nous pouvons pénaliser les valeurs extrêmes pour les poids de sondage au moyen de l’équation $Q_A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}={\displaystyle {\sum }_{i\in S_A}}{\left\{1+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N{n}_A^{-1}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{r}_i\right\}}^2.$ Par ailleurs, Wong et Chan (2018) ont étudié un problème semblable en supposant la disponibilité de $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}_i\mathrm{<mo>:</mo>}i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ L’optimisation (3.1) peut être considérée comme un problème « min-max », et si $m\in H,$ les ratios de densité estimés $\left\{{\widehat{r}}_i\mathrm{<mo>:</mo>}i\in S_A\right\}$ peuvent conduire à un estimateur raisonnablement bon

$${\widehat{\mu }}_{uc}=N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in S_A}}\left\{1+\left(\frac{N}{n_A}-1\right){\widehat{r}}_i\right\}{y}_i\mathrm{.}(3.3)$$

Le calage uniforme est une nouvelle méthode d’échantillonnage non probabiliste, qui comporte certaines difficultés techniques en ce qui a trait à (3.1). Par exemple, la façon d’intégrer les propriétés de plan de $S_B$ lors de l’établissement des propriétés théoriques de (3.3) n’a pas été étudiée de façon approfondie. Nous venons d’ailleurs de terminer un document de travail sur ce sujet (Wang, Mao et Kim, 2022). La méthode fondée sur le noyau est vorace en calcul, surtout lorsque la taille des échantillons est grande. Il pourrait être intéressant de proposer un algorithme plus efficace sur le plan du calcul pour résoudre le problème de calage uniforme. Considérer d’autres espaces fonctionnels, comme celui couvert par les B-splines, pourrait être une solution. De plus, il serait intéressant d’étudier la façon d’intégrer plus d’un échantillon probabiliste de référence et de formuler un problème de calage uniforme lorsqu’en présence de différentes covariables dans différents échantillons probabilistes de référence.

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