Commentaires à propos de l’article « Inférence statistique avec des échantillons d’enquête non probabiliste »
Section 2. Méthode fondée sur la projection d’information

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Supposons que nous souhaitons estimer le paramètre ${\theta }_0$ défini par $E_N\left\{U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{,}Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\mathrm{<mo>=</mo>}0,$ où $E_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est la valeur attendue par rapport à la distribution empirique de la population $\mathrm{Pr}\left\{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}=N^{-1}$ pour $i=\mathrm{1,}\dots ,N$ et 0 autrement, et $U\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}x\mathrm{,}y\right)$ est une fonction d’estimation donnée. Par exemple, $U\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}x\mathrm{,}y\right)=y-\theta$ correspond à ${\mu }_y=N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{y}_i$ dans l’article. Nous souhaitons obtenir un estimateur de ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\pi }_i^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1},$ ${\pi }_i^A=\mathrm{Pr}\left(R_i=1|x_i\mathrm{,}{y}_i\right)$ et $R_i=1$ si $i\in S_A$ et 0 autrement.

Pour estimer $\left\{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\pi }_i^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo>:</mo>}i\in S_A\right\},$ nous pouvons utiliser la relation dans la fonction du ratio de densité. Tout d’abord, nous considérons un modèle de superpopulation $\xi$ et supposons que $f_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et $f_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ sont les fonctions de densité de $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ si $R=0$ et $R=1,$ respectivement. Ainsi, nous définissons la fonction du ratio de densité comme suit :

$$r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=\frac{f_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{f_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$$

D’après la formule de Bayes, nous avons :

$${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\pi }_i^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}=1+\frac{\mathrm{Pr}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_i=\mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{Pr}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_i=\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}(2.1)$$

Ainsi, il existe un rapport d’un à un entre ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\pi }_i^A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}$ et $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Dans l’hypothèse A1, nous pouvons montrer que $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Dans cette section, nous posons l’hypothèse plus générale de l’existence de $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}={\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots ,b_L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{T}},$ de sorte que

$$R\perp Y|b(x)\mathrm{.}(2.2)$$

Rosenbaum et Rubin (1983) ont défini $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ dans l’équation (2.2) comme un score d’équilibrage.

Pour estimer la fonction du ratio de densité $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ nous minimisons la divergence de Kullback-Leibler

$$Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \int }\log \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_0/f_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{f}_0\text{d}\mu (2.3)$$

relativement à $f_0$ soumis à une certaine contrainte, où $f_0$ et $f_1$ sont absolument continus par rapport à une mesure $\sigma$ -finie $\mu .$ Pour ce qui est de la contrainte, nous pouvons utiliser la suivante :

$$\mathrm{Pr}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_i=\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \int }b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{f}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{d}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{Pr}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_i=\mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \int }b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{d}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_{\xi }\left\{b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\mathrm{,}(2.4)$$

où $E_{\xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est la valeur attendue en ce qui concerne le modèle de superpopulation $\xi .$ Cela signifie qu’à partir de $f_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ nous pouvons trouver $f_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour minimiser (2.3) à l’aide d’une contrainte de calage par rapport à $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Selon le lemme 3.1 de Wang et Kim (2021), la fonction de densité conditionnelle optimisée satisfait à

$$f_0^{*}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=f_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\exp \left\{{\lambda }_1^{\text{T}}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}}{E_1\left[\exp \left\{{\lambda }_1^{\text{T}}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\right]}\mathrm{,}(2.5)$$

où ${\lambda }_1$ est choisi pour satisfaire à la contrainte (2.4). Il convient de souligner que la solution (2.5) est équivalente à

$$\log \left\{r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}={\lambda }_0+{\lambda }_1^{\text{T}}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}(2.6)$$

pour la fonction du ratio de densité $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ où $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0\mathrm{,}{\lambda }_1^{\text{T}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\text{T}},$ et ${\lambda }_0$ est une constante de normalisation satisfaisant à ${\displaystyle \int }r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{f}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{d}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=1.$ Par conséquent, la projection d’information permet de trouver le meilleur modèle pour la fonction du score de propension.

Une fois que nous avons déterminé le modèle, comme en (2.6), nous devons en estimer les paramètres. En raison des contraintes de moment en (2.4), l’équation d’estimation de la version d’échantillon pour $\lambda$ est l’équation de calage obtenue par

$$\frac{n_A}{N}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{R}_i\left[\mathrm{1,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\left[1+\frac{1-n_A}{n_A}\exp \left\{{\lambda }_0+{\lambda }_1^{\text{T}}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}\left[\mathrm{1,}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{i\in S_B}}{d}_i^{B}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{.}(2.7)$$

Ici, comme $E_{\xi }\left\{b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}$ est inconnu, nous utilisons $N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in S_B}}{d}_i^{B}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour l’estimer. Une fois l’estimation des paramètres $\widehat{\lambda }$ obtenue, nous pouvons construire

$${\widehat{\omega }}_i\mathrm{<mo>=</mo>}1+\frac{1-n_A}{n_A}\exp \left\{{\widehat{\lambda }}_0+{\widehat{\lambda }}_1^{\text{T}}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}$$

comme poids de score de propension finaux. On peut estimer le paramètre d’intérêt en résolvant $N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in S_A}}{\widehat{\omega }}_{i}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}0$ pour $\theta .$

Wang et Kim (2021) ont élaboré ce cadre dans un contexte d’échantillonnage non probabiliste où $x_i$ est disponible pour l’ensemble de la population finie. Il est possible d’établir la convergence et la normalité asymptotique en posant l’hypothèse selon laquelle $E\left\{U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo>;</mo>}x\mathrm{,}Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|x\right\}$ se trouve dans l’espace linéaire généré par $\left\{b_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{b}_L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}.$ Au lieu de supposer la disponibilité de $\left\{x_i\mathrm{<mo>:</mo>}i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}N\right\},$ comme dans Wang et Kim (2021), on utilise uniquement un échantillon probabiliste de référence $\left\{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,}{d}_i^B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}i\in S_B\right\}.$ Si l’échantillon probabiliste $S_B$ est un recensement, alors la méthode ci-dessus équivaut à celle considérée par Wang et Kim (2021), à l’exception près que nous considérons un paramètre de population finie ${\theta }_0.$ Dans la section 11.2 de leur ouvrage, Kim et Shao (2021) appliquent la méthode fondée sur la projection d’information, qu’ils appellent la méthode d’entropie maximale, au problème d’intégration des données. Dans l’étude par simulations présentée à l’exemple 11.1 de l’ouvrage, la méthode fondée sur la projection d’information proposée génère de meilleurs résultats que les méthodes de Chen, Li et Wu (2020) et d’Elliott et Valliant (2017).

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