Un plan de sondage assisté par un modèle est le minimax pour la prédiction fondée sur un modèle
Section 4. Discussion

• Précédent
• Suivant

La borne inférieure Godambe et Joshi est présentée ici comme une borne supérieure pour les variances anticipées de BLUP dans un modèle correct. Les EQM de simulation des BLUP fondés sur un modèle linéaire ou spline choisi adaptativement sont toujours inférieures à la BIGJ ou juste au-dessus, y compris en cas de spécification erronée des variances. Les EQM sont bien en dessous de la borne si une variable du plan importante ne figure pas dans le modèle.

Le résultat de la borne supérieure dépend de l’absence de biais du BLUP par rapport au modèle. Dans l’étude par simulations, les BLUP fondés sur un modèle incorrectement spécifié avaient des EQM nettement supérieures à la borne. Le choix d’un modèle de travail ayant un CIB minimal dans une classe comprenant des modèles splines a permis d’éviter ce problème.

Une fois que les données sont disponibles, les conditions d’inférence fondée sur un modèle pour l’échantillon sont sélectionnées. L’échantillonnage probabiliste présente néanmoins de nombreux avantages même s’il n’est pas la base de l’inférence (par exemple, Särndal et coll., 1992; Valliant et coll., 2013). À l’étape du plan, la variance anticipée est l’objectif le plus pertinent, parce qu’elle fait la moyenne sur tous les échantillons possibles qui peuvent alors être sélectionnés. La borne supérieure calculée ici est pertinente à l’étape du plan, parce qu’il y a généralement de grandes incertitudes sur la forme du modèle qui sera finalement adopté (il peut y avoir des exceptions quand on dispose de données historiques ou connexes appuyant la spécification d’un modèle ou quand on est prêt à croire que le vrai modèle se trouve dans une classe de modèles polynomiaux ou d’autres modèles spécifiques).

En pratique, il est judicieux d’adopter une stratégie consistant à :

1. établir ${\pi }_i$ de façon à obtenir des valeurs faibles pour la borne supérieure ${\displaystyle {\sum }_{i\in U}}\left({\pi }_i^{-1}-1\right)v_i$ où les variances du modèle sont proportionnelles à $v_i$ (ou à une combinaison pondérée des bornes supérieures pour plusieurs variables d’intérêt), tout en respectant le coût et les considérations pratiques. S’il y a une seule variable d’intérêt et que les coûts unitaires sont proportionnels à $C_i,$ alors ${\pi }_i\propto \sqrt{v_i/C_i}$ est recommandé, car il s’agit d’une stratégie minimax;
2. une fois que l’échantillon est sélectionné et que les données sont disponibles, choisir un modèle de régression fondé sur ces données;
3. estimer les totaux de population au moyen des BLUP sous le modèle sélectionné;
4. cela peut conduire à ce que la condition (2.10) soit respectée ou pas, selon les coûts $C_i$ et les variables auxiliaires sélectionnées dans le modèle final.

Tous les résultats optimaux du plan de sondage, qu’ils soient fondés sur un modèle, fondés sur un plan de sondage ou assistés par un modèle, reposent sur la connaissance des variances résiduelles relatives de l’unité ou de la strate. Cela semble inévitable. Le présent article est utile lorsque la forme du modèle moyen n’est pas connue à l’avance, car il donne une borne supérieure sur l’espace des modèles pour la moyenne. Il ne semble pas y avoir de borne aussi utile sur les modèles de variance possibles, si bien que la forme du modèle de variance doit être estimée ou supposée.

Remerciements

Je tiens à remercier Stephen Haslett de m’avoir encouragé à choisir de mener une recherche méthodologique malgré mes nombreuses autres priorités. Par ailleurs, l’article a considérablement été amélioré par la lecture minutieuse réalisée par deux examinateurs et un rédacteur adjoint.Cette recherche a été entreprise avec l’aide de ressources de la National Computational Infrastructure (NCI Australia), sous l’égide du NCRIS soutenu par le gouvernement australien.

Annexe

Démonstration du théorème 1

De (2.4),

$$E_p{\text{var}}_M\left({\widehat{t}}_y-t_y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_p\left\{t_{xr}^T{\left({\displaystyle \sum _{i\in s}}{\sigma }_i^{-2}{x}_i{x}_i^T\right)}^{-1}{t}_{xr}\right\}+{\displaystyle \sum _{i\in U}}\left(1-{\pi }_i\right){\sigma }_i^2\mathrm{.}(\text{A}.1)$$

À partir des définitions de ${\widehat{\overline{U}}}_{\pi }$ et ${\widehat{\overline{V}}}_{\pi }$ et de l’hypothèse (2.6), le premier terme de (A.1) devient

$$\begin{array}{ll}{E}_p\left\{t_{xr}^T{\left({\displaystyle \sum _{i\in s}}{\sigma }_i^{-2}{x}_i{x}_i^T\right)}^{-1}{t}_{xr}\right\}\hfill & =E_p\left\{{\left(N_t\overline{X}-N_t{\widehat{\overline{U}}}_{\pi }\right)}^T{\left(N_t{\widehat{\overline{V}}}_{\pi }\right)}^{-1}\left(N_t\overline{X}-N_t{\widehat{\overline{U}}}_{\pi }\right)\right\}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{N}_t{E}_p\left\{{\left(\overline{X}-{\widehat{\overline{U}}}_{\pi }\right)}^T{\widehat{\overline{V}}}_{\pi }^{-1}\left(\overline{X}-{\widehat{\overline{U}}}_{\pi }\right)\right\}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{N}_t\left\{{\left(\overline{X}-\overline{U}\right)}^T{\overline{V}}^{-1}\left(\overline{X}-\overline{U}\right)+o\left(1\right)\right\}.(\text{A}.2)\hfill \end{array}$$

Le résultat découle immédiatement de (A.1) et (A.2).

Lemme 1 : Soit $a_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{a}_n$ et $b_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{b}_n$ des scalaires où $b_i\mathrm{<mo>></mo>}0$ pour tous les $i.$ On suppose que $x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n$ sont des vecteurs $p.$ Alors

$${\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{a}_i{x}_i\right)}^T{\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{b}_i{x}_i{x}_i^T\right)}^{-1}\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{a}_i{x}_i\right)\le {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{a}_i^2/b_i(\text{A}.3)$$

à condition que l’inverse de la matrice existe. L’égalité dans (A.3) est obtenue si et seulement si

$$a_i{b}_i^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }^T{x}_i(\text{A}.4)$$

pour tous les $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}n$ pour certains vecteurs $p$ $\lambda .$

Démonstration du lemme 1

Soit $b\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}{b}_i.$ Soit $X$ une variable aléatoire discrète prenant les valeurs $a_i/b_i.$ Soit $Y$ une variable aléatoire discrète prenant les valeurs $x_i,$ pour $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}n.$ Soit $P\left[Y\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_i\mathrm{,}X\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_i/b_i\right]\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_i/b$ pour $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}n.$ Écrire $M_1\le M_2$ si $M_1-M_2$ est semi-définie négative pour toutes les matrices $M_1$ et $M_2.$ Selon le théorème 1 de Tripathi (1999), pour tous les vecteurs aléatoires $X$ et $Y,$

$$E\left[X{Y}^T\right]{\left\{E\left[Y{Y}^T\right]\right\}}^{-1}E\left[Y{X}^T\right]\le E\left[X{X}^T\right](\text{A}.5)$$

à condition que l’inverse de la matrice existe. Avec ma définition de $X$ et $Y,$ (A.5) devient

$${\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{b}_i{b}^{-1}{a}_i{b}_i^{-1}{x}_i^T{\left\{{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{b}_i{b}^{-1}{x}_i{x}_i^T\right\}}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{b}_i{b}^{-1}{a}_i{b}_i^{-1}{x}_i\le {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{b}_i{b}^{-1}{a}_i^2{b}_i^{-2}(\text{A}.6)$$

ce qui donne directement (A.3). Tripathi (1999) énonce que l’égalité est nette si

$$X^T{\lambda }_1+Y^T{\lambda }_2\mathrm{<mo>=</mo>}0(\text{A}.7)$$

avec une probabilité de 1 pour certaines valeurs ${\lambda }_1$ de la même dimension que $X$ et ${\lambda }_2$ de la même dimension que $Y.$ Ici, (A.7) devient

$$a_i{b}_i^{-1}{\lambda }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_i^T{\lambda }_2$$

pour tous les $i,$ ce qui équivaut à (A.4).

Démonstration du théorème 2

Soit $a_i\mathrm{<mo>=</mo>}1-{\pi }_i$ et $b_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i{\sigma }_i^{-2}.$ Pour le lemme 1,

$$\begin{array}{ll}\widetilde{\text{VA}}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _U}\left(1-{\pi }_i\right)x_i^T{\left({\displaystyle \sum _U}{\pi }_i{\sigma }_i^{-2}{x}_i{x}_i^T\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _U}\left(1-{\pi }_i\right)x_i^T+{\displaystyle \sum _U}\left(1-{\pi }_i\right){\sigma }_i^2\hfill \\ \hfill & \le {\displaystyle \sum _U}{\left(1-{\pi }_i\right)}^2{\pi }_i^{-1}{\sigma }_i^2+{\displaystyle \sum _U}\left(1-{\pi }_i\right){\sigma }_i^2\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _U}\left(1-{\pi }_i\right){\pi }_i^{-1}{\sigma }_i^2\left(1-{\pi }_i+{\pi }_i\right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _U}\left({\pi }_i^{-1}-1\right){\sigma }_i^2\hfill \end{array}$$

avec une égalité stricte si et seulement si

$${\lambda }^T{x}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_i{b}_i^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\pi }_i^{-1}-1\right){\sigma }_i^2$$

pour certains vecteurs $\lambda .$

Bibliographie

Breidt, F.J., Claeskens, G. et Opsomer, J.D. (2005). Model-assisted estimation for complex surveys using penalised splines. Biometrika, 92(4), 831-846.

Brewer, K.R.W. (1999). Le calage esthétique dans le cas de l’échantillonnage avec probabilités inégales. Techniques d’enquête, 25, 2, 231-239. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/fr/pub/12-001-x/1999002/article/4883-fra.pdf.

Brewer, K.R.W., Hanif, M. et Tam, S.M. (1988). How nearly can model-based prediction and design-based estimation be reconciled? Journal of the American Statistical Association, 83, 128-132.

Chambers, R., et Clark, R. (2012). An Introduction to Model-Based Survey Sampling with Applications. Oxford University Press: Oxford.

Godambe, V.P., et Joshi, V.M. (1965). Admissibility and Bayes estimation in sampling finite populations 1. Annals of Mathematical Statistics, 36, 1707-1722.

Hansen, M.H., Madow, W.G. et Tepping, B.J. (1983). An evaluation of model-dependent and probability-sampling inferences in sample surveys. Journal of the American Statistical Association, 78, 776-793.

Isaki, C.T., et Fuller, W.A. (1982). Survey design under the regression superpopulation model. Journal of the American Statistical Association, 77, 89-96.

Kott, P.S. (1986). When a mean-of-ratios is the best linear unbiased estimator under a model. The American Statistician, 40(3), 202-204.

Lohr, S.L. (2010). Sampling: Design and Analysis. Brooks-Cole: Boston, 2^ndedition.

Nedyalkova, D., et Tillé, Y. (2008). Optimal sampling and estimation strategies under the linear model. Biometrika, 95(3), 521-537.

Nedyalkova, D., et Tillé, Y. (2012). Bias-robustness and efficiency of model-based inference in survey sampling. Statistica Sinica, 22(2), 777-794.

Royall, R.M. (1970). On finite population sampling theory under certain linear regression models. Biometrika, 57(2), 377-387.

Royall, R.M. (1992). Robustesse et optimalité de plan dans des modèles de prédiction pour populations finies. Techniques d’enquête, 18, 2, 193-199. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/fr/pub/12-001-x/1992002/article/14488-fra.pdf.

Royall, R.M., et Herson, J. (1973). Robust estimation in finite populations I. Journal of the American Statistical Association, 68(344), 880-889.

Särndal, C.-E., Swensson, B. et Wretman, J. (1992). Model Assisted Survey Sampling. New York: Springer-Verlag.

Scott, A.J., Brewer, K.R.W. et Ho, E.W.H. (1978). Finite population sampling and robust estimation. Journal of the American Statistical Association, 73(362), 359-361.

Steel, D.G., et Clark, R.G. (2014). Gains possibles lors de l’utilisation de l’information sur les coûts au niveau de l’unité dans un cadre assisté par modèle. Techniques d’enquête, 40, 2, 257-269. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/fr/pub/12-001-x/2014002/article/14110-fra.pdf.

Tam, S.M. (1988). Asymptotically design-unbiased predictors in survey sampling. Biometrika, 75(1), 175-177.

Tillé, Y. (2006). Sampling Algorithms. New York: Springer.

Tillé, Y., et Matei, A. (2016). Sampling: Survey Sampling. R package version 2.8. https://CRAN.R-project.org/package=sampling.

Tripathi, G. (1999). A matrix extension of the Cauchy-Schwarz inequality. Economics Letters, 63(1), 1-3.

Valliant, R., Dever, J.A. et Kreuter, F. (2013). Practical Tools for Designing and Weighting Survey Samples. New York: Springer.

Valliant, R., Dorman, A.H. et Royall, R.M. (2000). Finite Population Sampling and Inference: A Prediction Approach. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Welsh, A.H., et Wiens, D.P. (2013). Robust model-based sampling designs. Statistics and Computing, 23(6), 689-701, novembre. https://doi.org/10.1007/s11222-012-9339-3.

• Précédent
• Page principale de l'article
• Suivant