Un plan de sondage assisté par un modèle est le minimax pour la prédiction fondée sur un modèle
Section 2. Borne supérieure pour la VA du meilleur prédicteur linéaire sans biais (BLUP)

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Soit $U\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}N\right\}$ la population finie. Pour l’unité $i\in U,$ la variable d’intérêt est $y_i$ et le vecteur $p$ des variables auxiliaires est $x_i.$ L’échantillon (de taille $n)$ est $s$ et l’ensemble sans échantillonnage est $r\mathrm{<mo>=</mo>}U-s.$ Les variables auxiliaires sont observées pour tous les $i\in U$ tandis que $y_i$ est observé pour $i\in s.$ L’objectif est de prédire $t_y\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{y}_i.$ Les probabilités de sélection sont ${\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}P\left[i\in s|x_1\mathrm{,}\dots ,x_N\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_N\right]\mathrm{<mo>=</mo>}P\left[i\in s|x_1\mathrm{,}\dots ,x_N\right]\mathrm{<mo>></mo>}0.$ On suppose qu’elles sont une fonction des valeurs de population de $x_i.$ Soit $t_x\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{x}_i$ et $t_{xr}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in r}}{x}_i.$

La matrice $n$ par $p$ des valeurs d’échantillon de $x,$ qui a les lignes $x_i^T,$ est notée $X_s.$ La matrice $N-n$ par $p$ des valeurs sans échantillonnage de $x$ est $X_r.$ Le vecteur des valeurs d’échantillon de $y$ est $y_s.$

On suppose le modèle linéaire suivant $M:$

$$E_M\left[y_i\right]\mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }^T{x}_i(2.1)$$

$${\text{var}}_M\left[y_i\right]\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_i^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }^2{v}_i(2.2)$$

$${\text{cov}}_M\left[y_i\mathrm{,}{y}_j\right]\mathrm{<mo>=</mo>}0(2.3)$$

pour $i\mathrm{,}j\in U$ avec $i\ne j.$ Les indices $M$ dans $E_M,$ ${\text{var}}_M$ et ${\text{cov}}_M$ indiquent des distributions sur des réalisations répétées des valeurs de population à partir du modèle. On suppose généralement que les $v_i$ sont connus, c’est-à-dire que les variances d’erreur sont connues à une constante de proportionnalité près. Par exemple, dans les enquêtes-entreprises, $v_i$ peut être une mesure de la taille de l’entreprise ou de la racine carrée de celle-ci. Les paramètres inconnus sont $\beta$ et ${\sigma }^2.$ Les valeurs de $x_i$ sont considérées comme étant fixes.

Le meilleur prédicteur linéaire sans biais (BLUP) (noté ${\widehat{t}}_y)$ pour une généralisation du modèle $M$ est donné au chapitre 2 de Valliant et coll. (2000). Sa variance de prédiction fondée sur un modèle est

$${\text{var}}_M\left({\widehat{t}}_y-t_y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_{xr}^T{\left({\displaystyle \sum _{i\in s}}{\sigma }_i^{-2}{x}_i{x}_i^T\right)}^{-1}{t}_{xr}+{\displaystyle \sum _{i\in r}}{\sigma }_i^2\mathrm{.}(2.4)$$

(On peut l’obtenir comme cas particulier du résultat 2.2.2 de la page 29 de Valliant et coll., 2000.)

La variance attendue est définie comme étant $\text{VA}\left({\widehat{t}}_y-t_y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_M{E}_p{\left({\widehat{t}}_y-t_y\right)}^2$ (Isaki et Fuller, 1982). Comme ${\widehat{t}}_y$ est sans biais par rapport au modèle, sa VA est égale à

$$\text{VA}\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_p{\text{var}}_M\left({\widehat{t}}_y-t_y\right)\mathrm{.}$$

Le théorème 1 produira une approximation de cette VA. Le cadre asymptotique est basé sur les propriétés asymptotiques fondées sur le plan d’Isaki et Fuller (1982). On suppose une population infinie dénombrable $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots .$ Une séquence de populations finies $U_t$ est définie par $U_t\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{1,}\dots ,N_t\right\}$ où $N_1\mathrm{<mo><</mo>}{N}_2\mathrm{<mo><</mo>}\dots .$ Pour chaque $t,$ un échantillon $s_t$ de taille $n_t$ est sélectionné à partir de $U_t$ par un plan de sondage probabiliste avec des probabilités de sélection ${\pi }_{i\left(t\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}P\left[i\in s_t\right].$ D’après (2.7) d’Isaki et Fuller (1982), on suppose que

$$0\mathrm{<mo><</mo>}{\lambda }_1\mathrm{<mo><</mo>}{\pi }_{i\left(t\right)}\mathrm{<mo><</mo>}{\lambda }_2(2.5)$$

pour certaines constantes ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_2.$ Isaki et Fuller (1982) constatent que les VA des estimateurs du total sont habituellement $O\left(n_t\right)$ (ce qui équivaut à $O\left(N_t\right))$ et que les totaux eux-mêmes sont également $O\left(n_t\right).$ Les moyennes de population seront désignées par ${\overline{X}}_t\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_t^{-1}{\displaystyle {\sum }_{U_t}}{x}_i$ et l’estimateur pondéré de la probabilité inverse de $\overline{X}$ est ${\widehat{\overline{X}}}_{\pi }\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_t^{-1}{\displaystyle {\sum }_{s_t}}{\pi }_{i\left(t\right)}^{-1}{x}_i$ (et de la même façon pour $Y$ et les autres variables).

Deux nouvelles variables sont définies pour chaque unité $i$ par $u_{i\left(t\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}_i$ (un vecteur $p)$ et $v_{i\left(t\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{i\left(t\right)}{\sigma }_i^{-2}{x}_i{x}_i^T$ (une matrice $p$ par $p).$ Leurs moyennes de population sont ${\overline{U}}_t$ et ${\overline{V}}_t$ avec des estimateurs de probabilité inverse ${\widehat{\overline{U}}}_{t\pi }$ et ${\widehat{\overline{V}}}_{t\pi }.$

Théorème 1. Supposons que

$$\underset{t\to \infty }{lim}{E}_p\left\{{\widehat{\overline{U}}}_{t\pi }^T{\widehat{\overline{V}}}_{t\pi }^{-1}{\widehat{\overline{U}}}_{t\pi }-{\overline{U}}_t^T{\overline{V}}_t^{-1}{\overline{U}}_t\right\}\mathrm{<mo>=</mo>}0.(2.6)$$

Alors

$$E_{p}va{r}_M\left({\widehat{t}}_y-t_y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\widetilde{VA}+o\left(n_t\right)\mathrm{.}(2.7)$$

où

$$\widetilde{VA}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _U}\left(1-{\pi }_i\right)x_i^T{\left({\displaystyle \sum _U}{\pi }_i{\sigma }_i^{-2}{x}_i{x}_i^T\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _U}\left(1-{\pi }_i\right)x_i+{\displaystyle \sum _U}\left(1-{\pi }_i\right){\sigma }_i^2.(2.8)$$

Remarques sur le théorème 1.

• L’hypothèse (2.6) rappelle le résultat (3.24) d’Isaki et Fuller (1982), mais elle comporte une différence importante. Dans Isaki et Fuller (1982), les variables d’unités dépendent seulement de $i,$ alors qu’ici $u_{i\left(t\right)}$ et $v_{i\left(t\right)}$ dépendent à la fois de $i$ et de $t,$ car elles ont toutes les deux un facteur ${\pi }_{i\left(t\right)}.$ Cependant, ${\pi }_{i\left(t\right)}$ sont bornés par (2.5), de sorte que la condition est plausible; elle ne le serait pas si ${\pi }_{i\left(t\right)}$ pouvait être arbitrairement proche de zéro.
• Il est clair que l’hypothèse (2.6) est satisfaite si ${\widehat{\overline{U}}}_{t\pi }$ et ${\widehat{\overline{V}}}_{t\pi }$ sont convergents selon la probabilité du plan pour ${\overline{U}}_t$ et ${\overline{V}}_t,$ et si ${\widehat{\overline{V}}}_{t\pi }$ est inversible dans un voisinage de ${\overline{V}}_t.$ Comme l’indiquent Isaki et Fuller (1982) dans un commentaire sur leur condition (3.12), une exigence d’invertibilité de ce genre semble raisonnable « pour toute discussion sur l’estimation par la régression ».

Une borne supérieure pour la VA asymptotique sur tous les choix possibles du vecteur auxiliaire $x_i$ sera maintenant calculée. Cela permet une incertitude quant aux variables auxiliaires qui seront finalement incluses dans le modèle, parce qu’en général, cette décision est prise seulement après la collecte des données. Par exemple, l’ensemble complet des variables utilisées dans le plan de sondage pourrait ou non se retrouver dans le modèle, ou les fonctions splines des covariables pourraient être incluses avec des nœuds fondés sur les données de l’échantillon. Le théorème 2 énonce la borne supérieure.

Théorème 2. Soit $\widetilde{VA}$  la VA asymptotique définie par (2.8). Si ${\displaystyle {\sum }_U}{\pi }_i{\sigma }_i^{-2}{x}_i{x}_i^T$  est inversible et ${\pi }_i\mathrm{<mo>></mo>}0$  pour tous les $i\in U,$  alors

$$\widetilde{VA}\le {\displaystyle \sum _U}\left({\pi }_i^{-1}-1\right){\sigma }_i^2(2.9)$$

avec une égalité stricte si et seulement s’il existe un vecteur $p$   $\lambda$  tel que

$$\left({\pi }_i^{-1}-1\right){\sigma }_i^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }^T{x}_i(2.10)$$

pour tous les $i\in U.$

Le deuxième membre de (2.9) est la borne inférieure bien connue de Godambe et Joshi (Godambe et Joshi, 1965) pour la VA des estimateurs sans biais par rapport au plan de sondage. Il s’agit ici d’une borne supérieure sur l’espace de modèle pour les BLUP fondés sur des modèles.

Supposons que le coût total d’exécution de l’enquête est ${\displaystyle {\sum }_s}{C}_i$ plus les coûts fixes, où $C_i$ est le coût associé à l’unité d’enquête $i.$ Le coût prévu est alors de $C_E\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_U}{C}_i{\pi }_i.$ Le plan de sondage qui minimise la borne supérieure dans (2.9) assujetti au coût fixe est le plan PPC $\sigma$ qui a

$${\pi }_i\propto {\sigma }_i/\sqrt{C_i}(2.11)$$

(Steel et Clark, 2014, qui ont généralisé Särndal et coll., 1992, page 452) pour permettre des coûts inégaux. Le théorème 2 signifie que (2.11) est un plan minimax en cas d’incertitude sur la forme du modèle. Notons que seules les probabilités d’inclusion du premier ordre ont une incidence sur la VA et la borne, mais elles ne spécifient pas entièrement le plan. On peut sélectionner les échantillons au moyen de ces probabilités d’inclusion de plusieurs manières (Tillé, 2006), notamment par échantillonnage probabiliste équilibré (Nedyalkova et Tillé, 2012), ce qui améliore la robustesse par rapport à la spécification erronée de modèle.

La condition d’égalité (2.10) équivaut à une condition bien connue pour que le BLUP soit égal à l’estimateur par la régression généralisée (formule 3 de Tam, 1988). Tam (1988) défend l’utilisation de plans de sondage permettant de satisfaire la condition (2.10), comme PP $\sigma$ (à condition que le modèle comprenne une ordonnée à l’origine). En s’appuyant sur un résultat de Royall (1992), Nedyalkova et Tillé (2008) ont montré que PP $\sigma$ est un plan optimal fondé sur un modèle en cas de coûts égaux quand $v_i$ et $\sqrt{v_i}$ sont des fonctions linéaires de $x_i,$ soit une condition dite de variances explicables. Brewer et coll. (1988) ont constaté que la condition (2.10) peut également être satisfaite si le modèle d’estimation comprend une variable instrumentale, qui est une fonction appropriée des probabilités de sélection. Cependant, dans de nombreuses circonstances, la condition (2.10) n’est pas satisfaite, parce que certaines variables auxiliaires sont omises du modèle final, parce que plusieurs variables d’intérêt ont différentes structures de variance (ce qui écarte PP $\sigma ),$ parce que les coûts sont inégaux, ou parce que les variables instrumentales sont évitées en raison de la perte d’efficacité qu’elles impliquent. Le théorème 2 montre que la BIGJ est une borne supérieure dans ces circonstances qui ne sont pas traitées dans les résultats de ces auteurs. Le plan PPC $\sigma$ dans (2.11) est un plan minimax dans ce contexte plus général.

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