Un plan de sondage assisté par un modèle est le minimax pour la prédiction fondée sur un modèle
Section 3. Étude par simulations

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On a mené une étude par simulations pour comparer la VA du BLUP et sa borne supérieure dans des situations où $Y$ a une relation non linéaire avec une variable auxiliaire continue $x_1.$ Une deuxième variable auxiliaire, $x_2,$ est binaire et indépendante de $x_1$ et $Y.$ Les probabilités de sélection dépendent de $x_1$ et $x_2$ de différentes manières. Pour chaque scénario, 5 000 populations et échantillons ont été produites, avec une population de 6 000 habitants et des tailles d’échantillon de 500 et 1 500, et avec une taille de population de 100 000 et une taille d’échantillon de 25 000. Tous les programmes sont disponibles au www.github.com/rgcstats/AVLB.

3.1  Simulation de populations

Les valeurs de population de $x_1$ étaient les quantiles $\left\{j/\left(101\right):j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}100\right\}$ d’une distribution lognormale avec une moyenne $-1/32$ et un écart-type de 0,25, avec des fréquences égales de chacune de ces 100 valeurs. Cela signifie que les $x_1$ sont positives et asymétriques à droite avec une moyenne de 1 et un écart de 0,54 à 1,74. On a fait en sorte que les valeurs de $x_1$ soient non stochastiques et discrétisées afin d’accélérer le calcul, de simplifier la génération de modèles lisses (voir ci-dessous) et de faciliter la comparaison des VA avec la BIGJ en la rendant constante d’une simulation à l’autre. Une deuxième variable binaire $x_2$ a pris les valeurs 0 et 1 avec une fréquence égale dans chaque valeur de $x_1,$ de sorte que les deux covariables étaient orthogonales.

Conditionnelles à $x_1$ et $x_2,$ les valeurs de population de $Y$ ont été produites indépendamment comme étant

$$E_M{Y}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\mu \left(x_{1i}\right)+{\epsilon }_i(3.1)$$

où

$${\epsilon }_i\sim N\left(0;\text{0,25}{x}_{1i}\right)\mathrm{.}(3.2)$$

La fonction moyenne $\mu \left(\mathrm{.}\right)$ était une fonction lisse mais non linéaire,

$$\mu \left(x_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}4x_1+\sin \left(x_{1}2\pi /h\right)\mathrm{,}(3.3)$$

consistant en un terme linéaire et un terme sinusoïdal avec une période $h.$ Quand $h$ est grand, $\mu \left(\right)$ est presque linéaire sur la gamme de $x_1$ dans la population, tandis que si $h$ est petit, il y a des cycles fréquents dans la fonction. La figure 3.1 montre la fonction moyenne pour les périodes utilisées dans la simulation (0,5; 1; 2; 5).

3.2  Échantillon simulé

Les probabilités de sélection, ${\pi }_i,$ ont été établies à

$${\pi }_i\propto x_{1i}^b\left(1+c{x}_{2i}\right)(3.4)$$

où $b$ était 0,5; 1 ou 2, soit une dépendance légère, moyenne ou élevée à $x_{1i}.$ Les valeurs de $c$ étaient 0; 0,5 ou 1,5, soit une dépendance nulle, moyenne ou élevée à $x_{2i}.$ (Les autres valeurs de $c$ ont également été utilisées aux fins de la figure 3.2 seulement.)

La deuxième variable auxiliaire, $x_2,$ n’est pas liée à $Y$ mais elle peut avoir une incidence sur les probabilités de sélection. On pourrait s’attendre à ce que le BLUP donne de meilleures résultats que la BIGJ quand les probabilités de sélection dépendent de $x_2,$ étant donné que le BLUP peut être fondé sur un modèle omettant $x_2,$ ce qui pourrait entraîner une variance plus faible. Bien entendu, il est aussi possible que le modèle de travail omette $x_1,$ ce qui entraîne un biais du BLUP, mais cela ne s’est produit dans aucune des simulations. Pour examiner la robustesse de l’omission incorrecte de $x_1,$ il serait intéressant d’examiner des relations plus faibles que celles présentées à la figure 3.1, mais cela dépasse l’objet du présent article.

Les probabilités d’inclusion sont forcées d’obéir à la proportionnalité dans (3.4), mais elles sont tronquées vers le haut à 1 et vers le bas à 1/40 et mises à l’échelle de sorte qu’elles s’ajoutent à la taille d’échantillon requise après troncature. Les échantillons sont sélectionnés par échantillonnage systématique à probabilités inégales avec ordonnancement aléatoire au moyen du progiciel d’échantillonnage de R (Tillé et Matei, 2016).

3.3  Estimation du total de la population de $Y$

Un modèle linéaire dans $x_1$ et des modèles splines dans $x_1$ comprenant entre 1 et 10 nœuds intérieurs sont ajustés à chaque échantillon. (À propos de l’utilisation de splines dans l’estimation d’enquête par sondage assistée par un modèle, voir par exemple Breidt, Claeskens et Opsomer, 2005.) On définit onze autres modèles en incluant également $x_2$ comme covariable additive. On utilise ensuite le modèle ayant le critère d’information bayésien (CIB) le plus bas pour calculer un BLUP de $t_y.$ Cette étape de sélection du modèle devrait accroître la variabilité du prédicteur. Le BLUP fondé sur le modèle linéaire simple de $x_1$ est également calculé. On répète le processus avec des modèles de travail, y compris la spécification de variance correcte ${\text{var}}_M\left(y_i\right)\propto x_{1i}$ et une spécification erronée ${\text{var}}_M\left(y_i\right)\propto x_{1i}^2.$

3.4  Résultats de simulation

Les tableaux 3.1 à 3.4 montrent les ratios des EQM de prédiction de plusieurs estimateurs BLUP par rapport à la BIGJ (deuxième membre de l’équation 2.9) pour différents plans de sondage et choix de $\mu \left(x_1\right).$ Les EQM de prédiction sont les moyennes de toutes les simulations de ${\left({\widehat{t}}_y-t_y\right)}^2$ de sorte qu’elles se rapportent à la fois au modèle et au plan, tout comme les résultats des théroèmes 1 et 2.

Le tableau 3.1 a évalue le BLUP correspondant au modèle ayant le CIB le plus bas pour une taille d’échantillon de 500 avec des variances correctement spécifiées. Neuf plans de sondage sont présentés; ils correspondent à trois choix pour $b$ (soit une dépendance faible, moyenne, ou élevée des probabilités de sélection à $x_1)$ et $c$ (soit une dépendance nulle, partielle, ou élevée des probabilités de sélection à $x_2).$ La période $h$ de la composante sinusoïdale de $\mu \left(x_1\right)$ est également indiquée (voir l’équation 3.3). Le tableau montre que :

• Le ratio est toujours inférieur ou égal à 1 ou légèrement supérieur à 1, ce qui concorde avec le théorème 2. Son écart va de 0,815 à 1,086.
• Le ratio diminue légèrement quand $h$ augmente. Par conséquent, quand la valeur vraie de $E_M\left(y|x_1\right)$ est presque linéaire, le BLUP fondé sur un modèle a une EQM plus basse par rapport à la BIGJ, alors que pour les modèles davantage non linéaires, le ratio est plus proche de 1.
• Le ratio dépend de $b$ dans une certaine mesure, bien que la tendance dépende des autres paramètres.
• Le ratio diminue considérablement quand $c$ augmente, avec des réductions allant jusqu’à 20 % par rapport à $c\mathrm{<mo>=</mo>}0.$ Cela montre que le BLUP donne des résultats nettement meilleurs que la BIGJ en présence d’une covariable $x_2$ qui est pertinente dans le plan, mais non pertinente pour $Y$ si bien qu’elle peut être omise dans le modèle d’estimation.

Le tableau 3.1b présente les résultats pour un échantillon beaucoup plus grand de 25 000 personnes sur une population de 100 000. On a inclus ces résultats pour voir si les ratios sont inférieurs ou égaux à 1 pour les grandes valeurs $n$ comme le prédit la théorie de la section 2. On a également utilisé un plus grand nombre de simulations pour ce panel (15 000 au lieu de 5 000). Les résultats sont uniquement présentés pour $c\mathrm{<mo>=</mo>}0$ car il s’agissait des plans ayant les ratios les plus élevés dans le tableau 3.1a. Les ratios du tableau 3.1b vont de 0,984 à 1,011. Les valeurs légèrement supérieures à 1 peuvent indiquer que le modèle spline de travail ne saisit pas parfaitement les fonctions sinusoïdales utilisées pour produire les données.

Le tableau 3.2 présente les mêmes situations que le tableau 3.1a, sauf que le BLUP est fondé sur un modèle de variance incorrectement spécifiée avec ${\sigma }_i^2\propto x_i^2$ (le modèle générateur a ${\sigma }_i^2\propto x_i).$ Dans l’ensemble, les ratios de l’EQM du BLUP fondé sur un modèle au CIB le plus bas par rapport à la BIGJ sont légèrement supérieurs à ceux du tableau 3.1 (généralement de moins d’un point de pourcentage). Il reste que le ratio est presque toujours inférieur ou égal à 1, avec une valeur maximale de 1,089.

Le tableau 3.3 est identique au tableau 3.1a, sauf que la taille de l’échantillon est de 1 500 plutôt que de 500. Les ratios sont presque toujours inférieurs à ceux du tableau 3.1a. Le ratio maximal est de 1,030.

Le tableau 3.4 présente les résultats du BLUP fondé sur le modèle linéaire simple contenant seulement $x_1$ avec une variance incorrectement spécifiée. La taille de l’échantillon est de 500. Quand la période est 5, de sorte que le modèle vrai est presque linéaire dans $x_1,$ ce BLUP fonctionne très bien. Les ratios sont alors toujours inférieurs à 1,1 et peuvent être aussi bas que 0,790. Quand la période est 2, il y a une courbure visible dans $E\left(y|x_1\right)$ (comme le montre la figure 3.1), mais le BLUP simple ne donne pas de bons résultats, tous les ratios étant inférieurs à 1,2. Cependant, en cas de périodes égales à 0,5 et 1, les ratios sont nettement supérieurs à 1, avec une valeur maximale de 3,4. Cela montre le biais important du BLUP en cas de spécification erronée du modèle.

La mesure dans laquelle les probabilités de sélection dépendent de $x_2$ est le principal facteur déterminant le ratio de l’EQM par rapport à la BIGJ, comme le montrent les tableaux 3.1 à 3.3. La figure 3.2 montre ce phénomène de façon plus détaillée pour une variance correctement spécifiée. La taille de l’échantillon est 1 500 avec échantillonnage PP $\sigma$ de sorte que ${\pi }_i\propto x_{1i}^{\text{0,5}}.$ Les valeurs de $c$ (0; 0,25; ..., 3) se trouvent sur l’axe des x et les résultats sont présentés pour différentes périodes $h.$ La figure montre que le ratio est légèrement supérieur à 1 pour $c\mathrm{<mo>=</mo>}0$ et diminue de façon lissée avec $c,$ à environ 0,6 quand $c\mathrm{<mo>=</mo>}3.$ Des périodes plus élevées $h$ (qui reflètent une relation plus lisse entre $Y$ et $x_1)$ sont également associées à des ratios plus faibles, mais les différences sont si faibles qu’il est presque impossible de les discerner à la figure 3.2.

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