Nouvel estimateur de la variance de l’estimateur par le ratio avec corrections de petit échantillon
Section 3. Une étude par simulation

3.1 Configuration et principaux résultats

Dans cette section, nous appliquons les résultats qui précèdent à 11 populations. Les populations 1 à 5 viennent de Cochran (1977, pages 152, 182, 203 et 325), les populations 6 et 7 de Sukhatme (1954, pages 183 et 184), la population 8 de Kish (1995, page 42) et les populations 9 à 11 de Koop (1968). Les tailles de ces populations varient de 10 à 49. Les coefficients de corrélation entre $y$ et $x$ varient de 0,32 à 0,98 et les coefficients de variation de $x,$ de 0,14 à 1,19. Pour plus de détails, voir le tableau 3.1.

Nous avons considéré des échantillons aléatoires simples sans remise de tailles $n = 4, 6, \dots, 14$ prélevés sur ces populations (en excluant les cas où $n \geq N) .$ Pour chaque population, nous avons simulé tous les $(\begin{matrix} N \\ n \end{matrix})$ échantillons possibles de taille $n$ en autant qu’il n’y en ait pas plus de un million. Quand $(\begin{matrix} N \\ n \end{matrix}) > 10^{6},$ nous nous sommes bornés à prélever un million d’échantillons aléatoires de taille $n$ sur la population. Avec ces échantillons simulés, nous avons calculé (un estimé précis de) l’erreur quadratique moyenne vraie de ${\hat{\bar{Y}}}_{R}$ pour une population et une taille d’échantillon donnée devant servir d’étalon.

Pour chaque échantillon, nous avons calculé l’estimateur de variance standard pour ${\hat{\bar{Y}}}_{R},$ disons $\hat{var} ({\hat{\bar{Y}}}_{R}),$ en nous fondant sur (1.2) avec remplacement de $S_{e}^{2}$ par $s_{\hat{e}}^{2} .$ Cet estimateur est aussi l’estimateur standard de l’erreur quadratique moyenne de ${\hat{\bar{Y}}}_{R},$ disons ${\hat{EQM}}_{0} ({\hat{\bar{Y}}}_{R}),$ avec une erreur de l’ordre $1 / n^{2} .$ Nous avons en outre calculé les nouveaux estimateurs ${\hat{EQM}}_{1} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ et ${\hat{EQM}}_{2} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ pour l’erreur quadratique moyenne de ${\hat{\bar{Y}}}_{R}$ à partir de (2.11) et (2.14). Nous prévoyons que ces estimateurs seront plus exacts que l’estimateur standard, leur erreur étant de l’ordre $1 / n^{3} .$

Tableau 3.1
Principales caractéristiques des 11 populations de l’étude par simulation
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Principales caractéristiques des 11 populations de l’étude par simulation Source et $N$ , $\bar{Y}$ , $\bar{X}$ , $R$ , $S_{e}^{2}$ , $C_{x}$ , $ρ_{x y}$ , $ρ_{x e}$ et $ρ_{g e}$ (figurant comme en-tête de colonne).
	Source	$N$	$\bar{Y}$	$\bar{X}$	$R$	$S_{e}^{2}$	$C_{x}$	$ρ_{x y}$	$ρ_{x e}$	$ρ_{g e}$
1	Cochran, page 152	49	128	103	1,24	621	1,01	0,98	-0,34	0,02
2	Cochran, page 182	34	2,91	8,37	0,35	5,72	1,03	0,72	-0,24	0,56
3	Cochran, page 182	34	2,59	4,92	0,53	4,81	1,02	0,73	-0,14	0,38
4	Cochran, page 203	10	54,3	56,9	0,95	6,71	0,17	0,97	0,38	-0,01
5	Cochran, page 325	10	101	58,8	1,72	150	0,14	0,65	-0,29	-0,29
6	Sukhatme, pages 183 et 184	34	201	218	0,92	3 304	0,77	0,93	-0,23	0,93
7	Sukhatme, pages 183 et 184	34	218	765	0,29	8 735	0,62	0,83	0,05	0,44
8	Kish, page 42	20	12,8	21,8	0,59	17,8	1,19	0,97	0,23	0,75
9	Koop, population 1	20	4,40	6,30	0,70	0,41	0,67	0,98	-0,06	0,50
10	Koop, population 2	20	4,50	51,2	0,09	4,87	0,44	0,42	-0,50	-0,85
11	Koop, population 3	20	15,6	30,0	0,52	36,3	0,40	0,32	-0,88	0,11

Pour une comparaison d’exactitude de ces trois estimateurs, nous avons évalué leur biais relatif par rapport à la valeur étalon pour l’erreur quadratique moyenne vraie de ${\hat{\bar{Y}}}_{R} :$

${BR}_{k} = \frac{E {{\hat{EQM}}_{k} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})} - EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{R})}{EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{R})} \times 100 %, k \in {0, 1, 2} .$

L’erreur quadratique moyenne $EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ se compose du ${biais}^{2} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ et de la variance $var ({\hat{\bar{Y}}}_{R}) .$ Pour toutes les populations de notre étude, nous avons constaté que, malgré les petites tailles d’échantillon, le biais de ${\hat{\bar{Y}}}_{R}$ comme estimateur de $\bar{Y}$ était plus ou moins négligeable. En fait, le biais relatif le plus grand de ${\hat{\bar{Y}}}_{R}$ se présentait toujours pour $n = 4$ et variait entre -4 % et +4 %. En d’autres termes, les erreurs quadratiques moyennes vraies et estimées dans cette étude étaient dominées par leurs composantes de variance.

Le tableau 3.2 en présente les résultats. On peut voir d’abord que l’estimateur standard ${\hat{EQM}}_{0} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ se trouve ordinairement à sous-estimer l’erreur quadratique moyenne vraie. Le biais négatif de cet estimateur peut être très grand (jusqu’à dépasser -60 % dans le cas de la population 8). Ensuite, il est frappant que, pour les trois populations (9 à 11) de l’étude de Koop, ${\hat{EQM}}_{2} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ estime toujours l’EQM vraie de ${\hat{\bar{Y}}}_{R}$ avec un biais relatif de moins de 5 %. Dans le cas des autres populations, le biais relatif est toujours de moins de 7 % sauf pour les populations 1, 6 et 8 avec $n = 4$ et $n = 6.$ Pour $n \geq 10,$ ${\hat{EQM}}_{2} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ est toujours plus exact que ${\hat{EQM}}_{0} ({\hat{\bar{Y}}}_{R}),$ et, en réalité, cette constatation vaut pour la plupart des cas avec $n < 10.$ Pour $n \geq 8,$ ${\hat{EQM}}_{2} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ donne presque toujours un meilleur résultat que ${\hat{EQM}}_{1} ({\hat{\bar{Y}}}_{R}),$ d’où l’utilité d’une correction en fonction du biais dans $s_{\hat{e}}^{2}$ . On peut également voir au tableau 3.2 que, en règle générale, ${\hat{EQM}}_{2} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ est bien moins entaché d’un biais négatif que ${\hat{EQM}}_{0} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ , alors que ${\hat{EQM}}_{1} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ accuse un biais positif.

Tableau 3.2
Biais relatif ${BR}_{k}$ pour les trois estimateurs de $EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatif ${BR}_{k}$ pour les trois estimateurs de $EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ . Les données sont présentées selon population (titres de rangée) et estimateur, $n = 4$ , $n = 6$ , $n = 8$ , $n = 10$ , $n = 12$ et $n = 14$ (figurant comme en-tête de colonne).
population	estimateur	$n = 4$	$n = 6$	$n = 8$	$n = 10$	$n = 12$	$n = 14$
1	${\hat{EQM}}_{0}$	-48,2 %	-35,6 %	-27,1 %	-21,6 %	-17,2 %	-14,2 %
	${\hat{EQM}}_{1}$	27,4 %	15,8 %	10,9 %	7,7 %	6,3 %	5,1 %
	${\hat{EQM}}_{2}$	-30,9 %	-11,7 %	-5,6 %	-3,5 %	-2,1 %	-1,4 %
2	${\hat{EQM}}_{0}$	-34,9 %	-27,7 %	-22,3 %	-18,7 %	-16,1 %	-13,6 %
	${\hat{EQM}}_{1}$	32,6 %	10,1 %	3,3 %	0,5 %	-0,9 %	-0,9 %
	${\hat{EQM}}_{2}$	2,8 %	3,4 %	1,7 %	0,4 %	-0,5 %	-0,5 %
3	${\hat{EQM}}_{0}$	-37,2 %	-28,4 %	-22,4 %	-17,9 %	-14,4 %	-11,6 %
	${\hat{EQM}}_{1}$	26,1 %	7,7 %	2,6 %	1,0 %	0,6 %	0,7 %
	${\hat{EQM}}_{2}$	-2,8 %	-0,6 %	-1,3 %	-1,3 %	-1,1 %	-0,6 %
4	${\hat{EQM}}_{0}$	-1,0 %	-0,4 %	-0,1 %	Cette cellule est vide	Cette cellule est vide	Cette cellule est vide
	${\hat{EQM}}_{1}$	1,4 %	0,5 %	0,2 %	Cette cellule est vide	Cette cellule est vide	Cette cellule est vide
	${\hat{EQM}}_{2}$	0,7 %	0,3 %	0,1 %	Cette cellule est vide	Cette cellule est vide	Cette cellule est vide
5	${\hat{EQM}}_{0}$	0,4 %	0,7 %	0,8 %	Cette cellule est vide	Cette cellule est vide	Cette cellule est vide
	${\hat{EQM}}_{1}$	2,0 %	1,0 %	0,5 %	Cette cellule est vide	Cette cellule est vide	Cette cellule est vide
	${\hat{EQM}}_{2}$	0,8 %	0,4 %	0,2 %	Cette cellule est vide	Cette cellule est vide	Cette cellule est vide
6	${\hat{EQM}}_{0}$	-19,2 %	-17,3 %	-15,8 %	-14,7 %	-14,1 %	-13,5 %
	${\hat{EQM}}_{1}$	21,1 %	0,8 %	-5,4 %	-7,4 %	-7,9 %	-7,8 %
	${\hat{EQM}}_{2}$	20,6 %	10,2 %	4,9 %	2,3 %	0,7 %	-0,3 %
7	${\hat{EQM}}_{0}$	-17,8 %	-12,0 %	-8,7 %	-6,7 %	-5,3 %	-4,3 %
	${\hat{EQM}}_{1}$	4,9 %	0,3 %	-0,1 %	0,0 %	0,0 %	0,0 %
	${\hat{EQM}}_{2}$	0,0 %	-0,6 %	-0,5 %	-0,3 %	-0,3 %	-0,2 %
8	${\hat{EQM}}_{0}$	-62,3 %	-45,8 %	-34,9 %	-28,0 %	-23,4 %	-20,3 %
	${\hat{EQM}}_{1}$	-11,1 %	-8,2 %	-6,5 %	-5,7 %	-5,3 %	-4,8 %
	${\hat{EQM}}_{2}$	-34,4 %	-13,3 %	-6,4 %	-4,0 %	-3,3 %	-3,2 %
9	${\hat{EQM}}_{0}$	-20,1 %	-13,2 %	-9,7 %	-7,6 %	-6,2 %	-5,2 %
	${\hat{EQM}}_{1}$	7,4 %	1,0 %	-0,5 %	-0,8 %	-0,8 %	-0,7 %
	${\hat{EQM}}_{2}$	0,4 %	0,1 %	-0,2 %	-0,3 %	-0,4 %	-0,4 %
10	${\hat{EQM}}_{0}$	-8,9 %	-2,0 %	0,9 %	2,5 %	3,5 %	4,2 %
	${\hat{EQM}}_{1}$	21,1 %	15,4 %	10,9 %	7,7 %	5,4 %	3,7 %
	${\hat{EQM}}_{2}$	0,9 %	2,1 %	2,0 %	1,7 %	1,4 %	1,1 %
11	${\hat{EQM}}_{0}$	-17,5 %	-10,1 %	-6,5 %	-4,4 %	-3,0 %	-2,1 %
	${\hat{EQM}}_{1}$	3,4 %	3,0 %	2,3 %	1,7 %	1,2 %	0,8 %
	${\hat{EQM}}_{2}$	-4,3 %	-1,2 %	-0,3 %	0,0 %	0,0 %	0,1 %
moyenne	${\hat{EQM}}_{0}$	-24,2 %	-17,4 %	-13,3 %	-13,0 %	-10,7 %	-8,9 %
	${\hat{EQM}}_{1}$	12,4 %	4,3 %	1,7 %	0,5 %	-0,1 %	-0,4 %
	${\hat{EQM}}_{2}$	-4,2 %	-1,0 %	-0,5 %	-0,6 %	-0,6 %	-0,6 %

3.2 Examen de deux résultats en particulier

Si on revient au tableau 3.1, on peut noter que, pour les deux populations 1 et 8 présentant les plus grandes erreurs négatives relatives pour ${\hat{EQM}}_{2} ({\hat{\bar{Y}}}_{R}),$ il existe à la fois une corrélation forte $ρ_{x y}$ et une valeur de $C_{x}$ relativement grande si nous comparons ces populations aux autres populations de notre étude $(ρ_{x y} \geq 0,97$ et $C_{x} \geq 1,01) .$ Il est donc intéressant d’examiner de plus près l’effet de ces quantités sur l’exactitude de l’estimation de l’erreur quadratique moyenne.

Supposons d’abord que la transformation suivante est appliquée aux valeurs de $x,$ $e$ et $y$ dans une population donnée :

$x^{'} : = x, e^{'} : = a e, y^{'} : = R x + e^{'},$

avec $a \neq 0.$ Dans cette transformation, le ratio des deux variables ne change pas $(R^{'} = {\bar{Y}}^{'} / {\bar{X}}^{'} = R)$ contrairement à leur coefficient de corrélation $(ρ_{x^{'} y^{'}} \neq ρ_{x y}$ sauf si $a = 1) .$ Il est évident que $C_{x^{'}} = C_{x}$ et $S_{e^{'}}^{2} = a^{2} S_{e}^{2} .$ Si nous employons maintenant les expressions (1.2), (2.8), (2.11) et (2.14), il n’est pas difficile de constater que $E {{\hat{EQM}}_{k} ({\hat{\bar{Y}}}_{R}^{'})} = a^{2} E {{\hat{EQM}}_{k} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})}$ pour tout $k \in {0, 1, 2} .$ On peut aussi voir par (2.1) que l’erreur pour $\hat{R}$ est linéaire dans ${\bar{e}}_{s}$ et il s’ensuit que l’identité $EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{R}^{'}) = a^{2} EQM ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ se vérifie exactement. Ainsi, cette transformation n’a aucun effet sur le biais relatif ${BR}_{k}$ de quelque estimateur de l’erreur quadratique moyenne que ce soit dans cette étude. Il semblerait que le biais n’est pas touché par un changement de la corrélation $ρ_{x y}$ quand les autres caractéristiques de la population sont toujours constantes. C’est aussi dire plus particulièrement que les grandes valeurs de $ρ_{x y}$ dans les populations 1 à 8 n’expliquent pas à elles seules le manque d’exactitude de ${\hat{EQM}}_{2} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ dans ces populations.

Considérons ensuite la nouvelle transformation suivante :

$x^{″} : = \bar{X} + b (x - \bar{X}), e^{″} : = b e, y^{″} : = \bar{Y} + b (y - \bar{Y}),$

avec $0 < b \leq 1.$ On peut voir dans ce cas que $R^{″} = R,$ $ρ_{x^{″} y^{″}} = ρ_{x y}$ et $C_{x^{″}} = b C_{x} \leq C_{x} .$ Ainsi, une telle transformation peut servir à réduire le coefficient de variation de $x$ dans une population donnée, tout en gardant fixes le ratio et la corrélation de $y$ et $x .$

Nous avons appliqué cette transformation aux populations 1 et 8 pour $n = 4$ avec $b = 1,0; 0,9; \dots, 0,2 .$ Le tableau 3.3 indique le biais relatif résultant de ${\hat{EQM}}_{k} ({\hat{\bar{Y}}}_{R}^{' '})$ pour les populations transformées, ce qui s’obtient quand on simule l’ensemble des $(\begin{matrix} 49 \\ 4 \end{matrix}) = 211 876$ et $(\begin{matrix} 20 \\ 4 \end{matrix}) = 4 845$ échantillons possibles respectivement. On observe que les trois estimateurs de l’erreur quadratique moyenne deviennent moins biaisés avec la réduction du coefficient de variation de $x .$ En particulier, ${\hat{EQM}}_{2} ({\hat{\bar{Y}}}_{R}^{' '})$ devient raisonnablement exact (si on considère que $n = 4)$ une fois que le coefficient de variation de $x$ tombe sous 0,8 pour la population 1 et sous 1 pour la population 8.

Il semble que la valeur de $C_{x} -$ qui est connue dans la pratique $-$ constitue un important facteur pour le biais (négatif) de l’estimateur ${\hat{EQM}}_{2} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ que nous proposons. Si nous supposons que l’ensemble de populations naturelles dans cette étude par simulation est suffisamment varié pour représenter la plupart des populations susceptibles de se présenter dans la pratique, nous pouvons avancer une conclusion et dire que, même pour $n = 4,$ ${\hat{EQM}}_{2} ({\hat{\bar{Y}}}_{R})$ est un estimateur précis de l’erreur quadratique moyenne de l’estimateur par le ratio, et ce, sans grand biais négatif quand $C_{x} < 0,8 .$ Pour $C_{x} \geq 0,8,$ ce ne sera pas nécessairement le cas.

Tableau 3.3
Biais relatif $B R_{k}$ pour les versions transformées des populations 1 et 8 avec $n = 4$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatif $B R_{k}$ pour les versions transformées des populations 1 et 8 avec $n = 4$ . Les données sont présentées selon $b$ , $C_{x^{″}}$ (titres de rangée) et Population 1, Population 8, ${\hat{EQM}}_{0}$ , ${\hat{EQM}}_{1}$ , ${\hat{EQM}}_{2}$ et biais relatif(figurant comme en-tête de colonne).
$b$	Population 1				Population 8
	$C_{x^{″}}$	biais relatif			$C_{x^{″}}$	biais relatif
	$C_{x^{″}}$	${\hat{EQM}}_{0}$	${\hat{EQM}}_{1}$	${\hat{EQM}}_{2}$	$C_{x^{″}}$	${\hat{EQM}}_{0}$	${\hat{EQM}}_{1}$	${\hat{EQM}}_{2}$
1,0	1,01	-48,2 %	27,4 %	-30,9 %	1,19	-62,3 %	-11,1 %	-34,4 %
0,9	0,91	-39,1 %	32,0 %	-16,5 %	1,07	-48,4 %	7,6 %	-12,9 %
0,8	0,81	-31,0 %	31,8 %	-6,2 %	0,95	-38,3 %	14,2 %	-0,7 %
0,7	0,71	-24,0 %	28,5 %	0,3 %	0,83	-30,0 %	15,0 %	5,9 %
0,6	0,61	-17,8 %	23,4 %	3,6 %	0,72	-23,1 %	12,5 %	8,4 %
0,5	0,51	-12,5 %	17,6 %	4,6 %	0,60	-17,2 %	8,6 %	8,0 %
0,4	0,40	-8,2 %	11,9 %	4,1 %	0,48	-12,3 %	4,2 %	6,0 %
0,3	0,30	-4,7 %	6,8 %	2,8 %	0,36	-8,1 %	0,4 %	3,5 %
0,2	0,20	-2,1 %	3,0 %	1,4 %	0,24	-4,7 %	-1,9 %	1,2 %

ISSN : 1712-5685

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Date de modification :: 2019-12-17

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