Nouvel estimateur de la variance de l’estimateur par le ratio avec corrections de petit échantillon
Section 1. Introduction

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Considérons une population de $N$ unités distinctes avec les valeurs $\left(x_i,y_i\right)$ $\left(i=1,\dots ,N\right)$ des variables $x$ et $y$ $\left(x_i>0\right).$ Notons les moyennes correspondantes de population par $\overline{X}$ et $\overline{Y}$ dans $\overline{X}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{x}_i}/N$ et $\overline{Y}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{y}_i}/N.$ Définissons $R$ comme $R=\overline{Y}/\overline{X}.$ Posons qu’un échantillon aléatoire simple de taille $n$ est prélevé sur cette population. Si $\overline{X}$ est connu, $\overline{Y}$ peut être estimé par l’estimateur par le ratio

$${\widehat{\overline{Y}}}_R=\widehat{R}\overline{X},(1.1)$$

où $\widehat{R}={\overline{y}}_s/{\overline{x}}_s$ avec ${\overline{y}}_s={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{y}_i}/n$ et ${\overline{x}}_s={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{x}_i}/n;$ voir Cochran (1977, page 151). Pour un $n$ grand, l’approximation bien connue de la variance de ${\widehat{\overline{Y}}}_R$ est

$$\text{var}\left({\widehat{\overline{Y}}}_R\right)\approx \frac{1-f}{n}{S}_e^2,(1.2)$$

où $f=n/N,$ $S_e^2={\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{e}_i^2}/\left(N-1\right)$ et $e_i=y_i-R{x}_i$ $\left(i=1,\dots ,N\right);$ à noter que $\overline{E}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{e}_i}/N=0.$ Quand $n$ est petit, l’erreur d’approximation de (1.2) peut être considérable; voir Koop (1968). Qui plus est, l’erreur peut s’accroître quand, dans la pratique, $S_e^2$ en (1.2) est remplacé par son estimateur standard $s_{\widehat{e}}^2=\frac{1}{n-1}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\widehat{e}}_i^2},$ où ${\widehat{e}}_i=y_i-\widehat{R}{x}_i$ $\left(i=1,\dots ,n\right);$ voir Cochran (1977, page 163). Comme le dit Koop (1968), la cause de l’écart par rapport à la variance vraie réside dans l’absence de prise en compte de termes en $1/n^2$ et $1/n^3,$ et peut-être aussi de termes des ordres supérieurs.

Nous avons trois buts principaux dans cet exposé, à savoir (i) améliorer l’approximation (1.2) pour les petites valeurs de $n$ par un développement en série de Taylor du deuxième ordre de $1/{\overline{x}}_s\text{};$ (ii) dériver un nouvel estimateur de $S_e^2$ qui est moins biaisé que $s_{\widehat{e}}^2;$ (iii) dégager un nouvel estimateur de variance pour l’estimateur par le ratio. Bien qu’une approximation distributionnelle normale puisse se révéler imprécise aux tailles d’échantillon dont il est question ici, un estimateur de variance de plus grande exactitude comme celui qui est envisagé nous aide à mieux juger de la précision de l’estimateur par le ratio au regard de celle d’autres estimateurs. Dans le cas de petits échantillons de petites strates par exemple, l’estimé par le ratio combiné pour $\overline{Y}$ est à recommander sûrement plutôt que l’estimé par le ratio séparé quand les ratios $(R_h,$ disons) sont constants de strate en strate; voir Cochran (1977, page 167).

Notre propos se résume ainsi. À l’aide de certains résultats de Nath (1968), nous dérivons à la section 2 une nouvelle formule d’approximation de la variance de $\widehat{R}$ avec une erreur de l’ordre $1/n^3\text{}.$ De plus, nous dégageons une nouvelle formule d’approximation pour le biais de la variance résiduelle d’échantillonnage $s_{\widehat{e}}^2$ de l’ordre $1/n.$ Enfin, nous proposons deux nouveaux estimateurs de l’erreur quadratique moyenne (EQM) de ${\widehat{\overline{Y}}}_R.$ À la section 3, nous faisons une étude de simulation permettant de comparer l’estimateur de variance standard aux nouveaux estimateurs proposés à la section 2. À la section 4, nous résumons nos principales conclusions.

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