Nouvel estimateur de la variance de l’estimateur par le ratio avec corrections de petit échantillon
Section 2. Nouvel estimateur de variance

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Nous posons $\widehat{R}-R={\overline{e}}_s/{\overline{x}}_s,$ où ${\overline{e}}_s$ est la moyenne d’échantillon de $e_i$ et, dans un développement en série de Taylor du deuxième ordre

$$\frac{1}{{\overline{x}}_s}=\frac{1}{\overline{X}}-\frac{1}{{\overline{X}}^2}\left({\overline{x}}_s-\overline{X}\right)+\frac{1}{{\overline{X}}^3}{\left({\overline{x}}_s-\overline{X}\right)}^2+O_p\left(\frac{1}{n^{1,5}}\right),$$

nous voyons que le développement en série de Taylor du troisième ordre de $\widehat{R}-R$ est

$$\widehat{R}-R=\frac{{\overline{e}}_s}{\overline{X}}-\frac{1}{{\overline{X}}^2}\left({\overline{x}}_s-\overline{X}\right){\overline{e}}_s+\frac{1}{{\overline{X}}^3}{\left({\overline{x}}_s-\overline{X}\right)}^2{\overline{e}}_s+O_p\left(\frac{1}{n^2}\right).(2.1)$$

Par ${\widehat{\overline{Y}}}_R=\overline{X}\widehat{R},$ nous obtenons donc

$$\begin{array}{ll}\text{var}\left({\widehat{\overline{Y}}}_R\right)\hfill & =\text{var}\left({\overline{e}}_s\right)+\frac{1}{{\overline{X}}^2}\text{var}\left\{\left({\overline{x}}_s-\overline{X}\right){\overline{e}}_s\right\}-\frac{2}{\overline{X}}\text{cov}\left\{{\overline{e}}_s, \left({\overline{x}}_s-\overline{X}\right){\overline{e}}_s\right\}\hfill \\ \hfill & +\frac{2}{{\overline{X}}^2}\text{cov}\left\{{\overline{e}}_s,{\left({\overline{x}}_s-\overline{X}\right)}^2{\overline{e}}_s\right\}+O\left(\frac{1}{n^3}\right).(2.2)\hfill \end{array}$$

En (2.2), nous avons omis une variance et une covariance, parce que les cinquième et sixième moments sous-jacents sont de l’ordre $1/n^3\text{};$ voir David et Sukhatme (1974). Il est possible d’évaluer toutes les (co)variances en (2.2) en utilisant les résultats suivants sur les moments-produits de quatre moyennes arbitraires d’échantillon, disons ${\overline{x}}_{sa},{\overline{x}}_{sb},{\overline{x}}_{sc}$ et ${\overline{x}}_{sd},$

$$E\left({\overline{x}}_{sa}{\overline{x}}_{sb}{\overline{x}}_{sc}\right)=\left(1-f\right)\left(1-2f\right)S_{abc}/n^2+O\left(n^{-3}\right)(2.3)$$

$$E\left({\overline{x}}_{sa}{\overline{x}}_{sb}{\overline{x}}_{sc}{\overline{x}}_{sd}\right)=\gamma \left(S_{ab}{S}_{cd}+S_{ac}{S}_{bd}+S_{ad}{S}_{bc}\right)+O\left(n^{-3}\right)(2.4)$$

$$\text{cov}\left({\overline{x}}_{sa}{\overline{x}}_{sb},{\overline{x}}_{sc}{\overline{x}}_{sd}\right)=\gamma \left(S_{ac}{S}_{bd}+S_{ad}{S}_{bc}\right)+O\left(n^{-3}\right)(2.5)$$

$$E\left({\overline{x}}_{sa}^2{\overline{x}}_{sb}^2\right)=\gamma \left(S_{aa}{S}_{bb}+2S_{ab}^2\right)+O\left(n^{-3}\right),(2.6)$$

où $\gamma ={\left(1-f\right)}^2/n^2\text{},$ $S_{ab}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{x}_{ia}{x}_{ib}}/\left(N-1\right)$ et $S_{abc}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{x}_{ia}{x}_{ib}{x}_{ic}}/\left(N-1\right).$ Nous supposons par commodité et sans perte de généralité que les moyennes de population sont nulles, c’est-à-dire que ${\overline{X}}_a={\overline{X}}_b={\overline{X}}_c={\overline{X}}_d=0.$ Les formules (2.3) et (2.4) découlent des théorèmes 1 et 2 de Nath (1968) et les formules (2.5) et (2.6), de (2.4). Il s’ensuit de (2.2) à (2.6) que :

$$\begin{array}{ll}\text{var}\left({\widehat{\overline{Y}}}_R\right)\hfill & =\frac{1-f}{n}{S}_e^2+{\left(\frac{1-f}{n\overline{X}}\right)}^2\left(S_x^2{S}_e^2+S_{xe}^2\right)-\frac{2}{n^2\overline{X}}\left(1-f\right)\left(1-2f\right)S_{xee}\hfill \\ \hfill & +2{\left(\frac{1-f}{n\overline{X}}\right)}^2\left(S_x^2{S}_e^2+2S_{xe}^2\right)+O\left(n^{-3}\right)\hfill \\ \hfill & =\frac{1-f}{n}{S}_e^2\left\{1+3\left(\frac{1-f}{n{\overline{X}}^2}\right)S_x^2\right\}+5{\left(\frac{1-f}{n\overline{X}}\right)}^2{S}_{xe}^2-2\frac{\left(1-f\right)\left(1-2f\right)}{n^2\overline{X}}{S}_{xee}+O\left(n^{-3}\right),(2.7)\hfill \end{array}$$

où

$$\begin{array}{ll}{S}_x^2\hfill & =\frac{1}{N-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^N}{\left(x_i-\overline{X}\right)}^2\text{},S_{xe}=\frac{1}{N-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^N}\left(x_i-\overline{X}\right)e_i\hfill \\ S_{xee}\hfill & =S_{ge}=\frac{1}{N-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{e}_i^2\left(x_i-\overline{X}\right)},g_i=\left(x_i-\overline{X}\right)e_i.\hfill \end{array}$$

Des formules semblables en cumulants sont dégagées par Tin (1965) à l’aide de certains résultats de Kendall et Stuart (1958). Malheureusement, les nombreux cumulants dans les formules de Tin ne nous éclairent guère sur la structure de $\text{var}\text{(}{\widehat{\overline{Y}}}_R\text{)}$ et, par conséquent, les corrections de petit échantillon pour l’estimateur de variance nous imposent des calculs quelque peu fastidieux. En revanche, on peut voir par (2.7) que, pour un $n$ suffisamment grand, l’approximation (1.2) mène à une sous-estimation à moins que $S_{xee}(=S_{ge})$ ne soit très positif. Ajoutons que Tin parle de trois autres estimateurs par le ratio, mais sans tenir compte des corrections de petit échantillon dans l’estimation des diverses variances.

Il s’ensuit de (2.1) et (2.3) que

$$\text{biais}\left({\widehat{\overline{Y}}}_R\right)=-\frac{1-f}{n\overline{X}}{S}_{xe}+O\left(\frac{1}{n^2}\right);(2.8)$$

voir aussi Cochran (1977, page 161). Par $S_{xee}=S_{ge},$ on voit ensuite, à partir de (2.7) et (2.8), que l’erreur quadratique moyenne de ${\widehat{\overline{Y}}}_R$ est

$$\text{EQM}\left({\widehat{\overline{Y}}}_R\right)=\frac{1-f}{n}{S}_e^2\left\{1+3\left(\frac{1-f}{n{\overline{X}}^2}\right)S_x^2\right\}+6{\left(\frac{1-f}{n\overline{X}}\right)}^2{S}_{xe}^2-2\frac{\left(1-f\right)\left(1-2f\right)}{n^2\overline{X}}{S}_{ge}+O\left(n^{-3}\right).(2.9)$$

Si le coefficient de variation $C_x\left(\equiv S_x/\overline{X}\right)$ est connu, il est bon d’écrire (2.9) sous la forme suivante :

$$\text{EQM}\left({\widehat{\overline{Y}}}_R\right)=\frac{1-f}{n}{S}_e^2\left\{1+3\left(\frac{1-f}{n}\right)C_x^2\left(1+2{\rho }_{xe}^2\right)-2\frac{\left(1-2f\right)}{n}{C}_x{\rho }_{ge}{S}_g/\left(S_x{S}_e\right)\right\},(2.10)$$

où ${\rho }_{xe}=S_{xe}/S_x{S}_e\text{},$ ${\rho }_{ge}=S_{ge}/S_g{S}_e$ et $S_g^2=\frac{1}{N-1}{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N\left(g_i-\overline{G}\right)}}^2.$ Dans la pratique, nous pouvons estimer $\text{EQM}\text{(}{\widehat{\overline{Y}}}_R\text{)}$ en (2.10) par

$${\widehat{\text{EQM}}}_1\left({\widehat{\overline{Y}}}_R\right)=\frac{1-f}{n}{s}_{\widehat{e}}^2\left\{1+3\left(\frac{1-f}{n}\right)C_x^2\left(1+2{\widehat{\rho }}_{x\widehat{e}}^2\right)-2\frac{\left(1-2f\right)}{n}{C}_x{\widehat{\rho }}_{\widehat{g}\widehat{e}}{s}_{\widehat{g}}/\left(s_x{s}_{\widehat{e}}\right)\right\},(2.11)$$

où ${\widehat{\rho }}_{x\widehat{e}}=s_{x\widehat{e}}/s_x{s}_{\widehat{e}}\text{},$ ${\widehat{\rho }}_{\widehat{g}\widehat{e}}=s_{\widehat{g}\widehat{e}}/s_{\widehat{g}}{s}_{\widehat{e}}$ et

$$\begin{array}{ll}{s}_{\widehat{g}}^2\hfill & =\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\left({\widehat{g}}_i-{\overline{\widehat{g}}}_s\right)}^2\left[\text{nota}:{\widehat{g}}_i=\left(x_i-{\overline{x}}_s\right){\widehat{e}}_i\right]\hfill \\ s_{x\widehat{e}}\hfill & =\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}\left(x_i-{\overline{x}}_s\right){\widehat{e}}_i,s_{\widehat{g}\widehat{e}}=s_{x\widehat{e}\widehat{e}}=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}\left(x_i-{\overline{x}}_s\right){\widehat{e}}_i^2.\hfill \end{array}$$

Il reste que l’estimateur en (2.11) ne tient pas compte du biais de $s_{\widehat{e}}^2$ déjà défini.

Pour examiner le biais de $s_{\widehat{e}}^2={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\widehat{e}}_i^2}/\left(n-1\right),$ nous employons de nouveaux symboles

$$\begin{array}{ll}{s}_x^2\hfill & =\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\left(x_i-{\overline{x}}_s\right)}^2\text{},s_e^2=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\left(e_i-{\overline{e}}_s\right)}^2\hfill \\ s_{xe}\hfill & =\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}\left(x_i-{\overline{x}}_s\right)e_i,q_i={\left(x_i-\overline{X}\right)}^2\left(i=1,\dots ,N\right).\hfill \end{array}$$

Nous pouvons maintenant formuler $E\left(s_{\widehat{e}}^2\right)$ ainsi :

$$\begin{array}{ll}E\left(s_{\widehat{e}}^2\right)\hfill & =E\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\left\{y_i-{\overline{y}}_s-R\left(x_i-{\overline{x}}_s\right)-\left(\widehat{R}-R\right)\left(x_i-{\overline{x}}_s\right)\right\}}^2\hfill \\ \hfill & =E\left(s_e^2\right)+E\left\{{\left(\widehat{R}-R\right)}^2{s}_x^2\right\}-2E\left\{\left(\widehat{R}-R\right)s_{xe}\right\}\hfill \\ \hfill & =S_e^2+E\left\{{\left(\widehat{R}-R\right)}^2{\overline{q}}_s\right\}-2E\left\{\left(\widehat{R}-R\right){\overline{g}}_s\right\}+O\left(n^{-2}\right),(2.12)\hfill \end{array}$$

où ${\overline{q}}_s$ et ${\overline{g}}_s$ sont respectivement les moyennes d’échantillon de $q_i$ et $g_i.$ En (2.12), nous avons utilisé

$$s_x^2=\left\{{\overline{q}}_s-{\left({\overline{x}}_s-\overline{X}\right)}^2\right\}\left(1+\frac{1}{n-1}\right),s_{xe}=\left\{{\overline{g}}_s-\left({\overline{x}}_s-\overline{X}\right){\overline{e}}_s\right\}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)$$

et, par conséquent, nous obtenons ce qui suit par (2.1), (2.3) et (2.4) :

$$\begin{array}{ll}E\left\{{\left(\widehat{R}-R\right)}^2\left({\overline{q}}_s-s_x^2\right)\right\}\hfill & =E\left\{{\overline{e}}_s^2{\left({\overline{x}}_s-\overline{X}\right)}^2/{\overline{X}}^2\right\}\left\{1+o\left(1\right)\right\}=O\left(n^{-2}\right)\hfill \\ E\left\{\left(\widehat{R}-R\right)({\overline{g}}_s-s_{xe}\right\}\hfill & =E\left\{{\overline{e}}_s\left({\overline{x}}_s-\overline{X}\right){\overline{e}}_s/\overline{X}\right\}\left\{1+o\left(1\right)\right\}=O\left(n^{-2}\right).\hfill \end{array}$$

À partir de (2.1) et (2.12), nous pouvons voir que

$$\begin{array}{ll}\text{biais}\left(s_{\widehat{e}}^2\right)\hfill & =E\left\{{\left(\widehat{R}-R\right)}^2\left({\overline{q}}_s-\overline{Q}+\overline{Q}\right)\right\}-2E\left\{\left(\widehat{R}-R\right)\left({\overline{g}}_s-\overline{G}+\overline{G}\right)\right\}+O\left(n^{-2}\right)\hfill \\ \hfill & =\frac{1-f}{n{\overline{X}}^2}{S}_e^2\overline{Q}-2E\left[\left\{\frac{{\overline{e}}_s}{\overline{X}}-\frac{1}{{\overline{X}}^2}\left({\overline{x}}_s-\overline{X}\right){\overline{e}}_s\right\}\left({\overline{g}}_s-\overline{G}+\overline{G}\right)\right]+O\left(n^{-2}\right)\hfill \\ \hfill & =\frac{1-f}{n{\overline{X}}^2}{S}_e^2{S}_x^2-2\frac{1-f}{n}\left(\frac{S_{ge}}{\overline{X}}-\frac{S_{xe}^2}{{\overline{X}}^2}\right)+O\left(n^{-2}\right),(2.13)\hfill \end{array}$$

où nous avons employé $\overline{Q}=S_x^2\left(1-N^{-1}\right)$ et $\overline{G}=S_{xe}\left(1-N^{-1}\right).$ À noter qu’il découle de (2.13) que, pour un $n$ suffisamment grand, la quantité $s_{\widehat{e}}^2$ donne lieu à une sous-estimation de $S_e^2$ sauf quand $S_{ge}$ est très positif. Autant que nous sachions, la formule en (2.13) ne figure nulle part ailleurs dans les études spécialisées.

En nous fondant sur (2.13), nous obtenons un nouvel estimateur de $\text{EQM}\text{(}{\widehat{\overline{Y}}}_R\text{)}$ qui prend en compte le biais de $s_{\widehat{e}}^2:$

$${\widehat{\text{EQM}}}_2\left({\widehat{\overline{Y}}}_R\right)=\frac{1-f}{n}{\widehat{S}}_e^2\left\{1+3\left(\frac{1-f}{n}\right)C_x^2\left(1+2{\widehat{\rho }}_{x\widehat{e}}^2\right)-2\frac{\left(1-2f\right)}{n}{C}_x{\widehat{\rho }}_{\widehat{g}\widehat{e}}{s}_{\widehat{g}}/\left(s_x{s}_{\widehat{e}}\right)\right\},(2.14)$$

où ${\widehat{S}}_e^2$ est corrigé en fonction du biais relatif de $s_{\widehat{e}}^2$ qui découle de (2.13). En d’autres termes,

$${\widehat{S}}_e^2=s_{\widehat{e}}^2\left[1-\frac{1-f}{n}{C}_x^2\left(1+2{\widehat{\rho }}_{x\widehat{e}}^2\right)+2\frac{1-f}{n}{C}_x\frac{{\widehat{\rho }}_{\widehat{g}\widehat{e}}{s}_{\widehat{g}}}{s_x{s}_{\widehat{e}}}\right].$$

Il convient de noter que nous avons employé ici $S_{xe}^2/{\overline{X}}^2{S}_e^2={\rho }_{xe}^2{C}_x^2$ et $S_{ge}/\overline{X}{S}_e^2={\rho }_{ge}{S}_g{C}_x/S_e{S}_x.$ Signalons enfin que les autres estimateurs ${\widehat{\rho }}_{x\widehat{e}}^2$ et ${\widehat{\rho }}_{\widehat{g}\widehat{e}}{s}_{\widehat{g}}/\left(s_x{s}_{\widehat{e}}\right)$ en (2.11) sont aussi entachés d’un biais, mais il est moins simple de dégager ce genre de biais. Il est à espérer que leur biais sera modeste si on prend toutes les (co)variances de l’échantillon, dont $s_x^2.$ Précisons que, dans les simulations de la section 3, nous avons constaté que le remplacement de $C_x$ par $s_x/{\overline{x}}_s$ n’améliorait pas les résultats.

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