Imputation multiple de valeurs manquantes dans des données des ménages contenant des zéros structurels
Section 6. Analyse

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L’étude empirique fait voir que le MDPDM peut permettre une imputation de grande qualité de données catégoriques emboîtées dans les ménages. Autant que nous sachions, nous avons là le premier moteur d’imputation paramétrique applicable à des données catégoriques multivariées emboîtées. L’étude fait également voir que les organismes ne devraient pas s’attendre avec des tailles d’échantillon modestes à ce que le MDPDM préserve toutes les caractéristiques de la distribution conjointe. Bien sûr, tel est le cas pour tout moteur d’imputation. Dans le cas du MDPDM, la possibilité existe pour les organismes d’améliorer la précision des quantités visées en recodant les données servant à l’ajustement du modèle. Par exemple, on peut établir au niveau des ménages une nouvelle variable égale à un quand la race est homogène et à zéro autrement et remplacer la variable de la race individuelle par une nouvelle variable de niveau 1 si la race est la même que celle du chef du ménage, 2 si la race est blanche et diffère de la race du chef du ménage et 3 si la race est noire et diffère de la race du chef du ménage, et ainsi de suite. On estimerait le modèle MDPDM avec la même variable de la race au niveau des ménages et la nouvelle variable correspondante au niveau des particuliers. Le MDPDM pourrait ainsi estimer avec précision les proportions d’une même race, puisqu’il s’agirait là seulement d’une autre variable au niveau des ménages comme la propriété du logement. On ajouterait aussi au calcul des zéros structurels pour la race. Un thème possible pour de futures recherches serait l’évaluation de l’équilibre à trouver entre la fidélité et les coûts en calcul de tels recodages.

Le MDPDM peut être vorace en calcul même avec les mesures d’accélération que nous avons présentées. La voracité de l’algorithme tient aux étapes d’échantillonnage de rejet. Heureusement, ces étapes peuvent facilement s’accomplir dans un traitement informatique en parallèle. Nous pourrions commander, par exemple, à chaque processeur de produire une fraction des cas impossibles de la section 2.2. Nous pourrions aussi étaler sur un grand nombre de processeurs les étapes de rejet pour l’imputation. Ces mesures devraient réduire la durée du calcul par un facteur correspondant en gros au nombre de processeurs disponibles.

L’étude empirique a porté sur les ménages jusqu’à la taille de quatre membres. Nous avons exécuté le modèle dans un temps raisonnable (en quelques heures sur un portable standard) avec des ménages jusqu’à la taille de sept membres. Les résultats de précision sont semblables qualitativement. À mesure qu’augmente la taille des ménages, le modèle peut produire des centaines, voire des milliers de fois de plus de ménages impossibles que de ménages possibles, ce qui ralentit l’algorithme. Dans ce cas, la méthode de plafonnement-pondération est essentielle au caractère pratique des applications.

Remerciements

Cette étude a reçu des subventions de la National Science Foundation (NSF SES 1131897) et de l’Alfred P. Sloan Foundation (G-2-15-20166003).

Annexe

Voici une annexe où nous démontrons que l’étape S9' d’échantillonnage de rejet à la section 3 produit des échantillons à partir de la bonne distribution postérieure. Nous y présentons aussi l’échantillonneur modifié de Gibbs pour la méthode de plafonnement-pondération, ainsi qu’une liste des règles de zéros structurels servant à l’ajustement du modèle MDPDM. Nous livrons enfin les résultats empiriques des mesures d’accélération mentionnées dans notre étude avec des données synthétiques, ainsi que des résultats supplémentaires dans le traitement des données manquantes par le MDPDM selon un scénario de valeurs manquantes entièrement au hasard.

A.1 Preuve que l’étape S9' d’échantillonnage de rejet à la section 3 tire des échantillons de la bonne distribution postérieure

Les valeurs $X_{ik}^1$ et $X_{ijk}^1$ produites par l’échantillonneur de rejet à l’étape S9' viennent de distributions postérieures intégrales, d’où la validité de l’échantillonneur de Gibbs. La preuve découle des propriétés de l’échantillonnage de rejet (ou d’un simple mode acceptation-rejet). La distribution visée est la distribution conditionnelle intégrale pour $X_i^{\text{mis}}\text{}.$ Elle peut être ainsi reformulée :

$$p\left(X_i^{\text{mis}}\right)=\frac{1\left\{X_i^1\notin {\mathcal{S}}_h\right\}}{\mathrm{Pr}\left(X_i\notin {\mathcal{S}}_h|\theta \right)}g\left(X_i^{\text{mis}}\right)$$

où

$$g\left(X_i^{\text{mis}}\right)={\pi }_{G_i^1}{\displaystyle \prod _{k|a_{ik}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{p+q}}{\lambda }_{G_i^1{X}_{ik}^1}^{\left(k\right)}\left({\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{n_i}}{\omega }_{G_i^1{M}_{ij}^1}{\displaystyle \prod _{k|b_{ijk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^p}{\varphi }_{G_i^1{M}_{ij}^1{X}_{ijk}^1}^{\left(k\right)}\right)\mathrm{.}$$

Dans notre plan d’échantillonnage de rejet, nous employons $g\left(X_i^{\text{mis}}\right)$ comme proposition pour $p\left(X_i^{\text{mis}}\right).$ Pour bien montrer que les tirages viennent vraiment de $p\left(X_i^{\text{mis}}\right),$ nous devons vérifier que $w\left(X_i^{\text{mis}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}p\left(X_i^{\text{mis}}\right)/g\left(X_i^{\text{mis}}\right)\mathrm{<mo><</mo>}M,$ où $\mathrm{1\; <mo><</mo>}M\mathrm{<mo><</mo>}\infty ,$ et que nous acceptons chaque échantillon avec la probabilité $w\left(X_i^{\text{mis}}\right)/M\text{}.$ Dans notre cas,

1. $w\left(X_i^{\text{mis}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}p\left(X_i^{\text{mis}}\right)/g\left(X_i^{\text{mis}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}1\left\{X_i^1\notin {\mathcal{S}}_h\right\}/\mathrm{Pr}\left(X_i\notin {\mathcal{S}}_h|\theta \right)\le 1/\mathrm{Pr}\left(X_i\notin {\mathcal{S}}_h|\theta \right),$ et $\mathrm{0\; <mo><</mo>}\mathrm{Pr}\left(X_i\notin {\mathcal{S}}_h|\theta \right)\mathrm{<mo><</mo>\; 1}\Rightarrow \mathrm{1\; <mo><</mo>}1/\mathrm{Pr}\left(X_i\notin {\mathcal{S}}_h|\theta \right)\mathrm{<mo><</mo>}\infty$ nécessairement.
2. En prélevant jusqu’à obtention d’un échantillon valide satisfaisant à la relation $X_i^1\notin {\mathcal{S}}_h,$ nous échantillonnons en réalité avec la probabilité $w\left(X_i^{\text{mis}}\right)/M\mathrm{<mo>=</mo>}1\left\{X_i^1\notin {\mathcal{S}}_h\right\}.$

A.2 Échantillonneur modifié de Gibbs pour la méthode de plafonnement-pondération

L’échantillonneur modifié de Gibbs pour la méthode de plafonnement-pondération remplace de la manière suivante les étapes S1, S3, S4, S5 et S6 dans le corps du texte.

$$u_g|-\sim \text{bêta}\left(1+U_g\text{}\mathrm{,}\alpha +{\displaystyle \sum _{f\mathrm{<mo>=</mo>}g+1}^F}{U}_f\right)\mathrm{,}{\pi }_g\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_g{\displaystyle \prod _{f\mathrm{<mo><</mo>}g}}\left(1-u_f\right)$$

$$U_g\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}1\left(G_i^1\mathrm{<mo>=</mo>}g\right)+{\displaystyle \sum _{h\in \mathcal{H}}}\frac{1}{{\psi }_h}{\displaystyle \sum _{i|n_i^0\mathrm{<mo>=</mo>}h}}1\left(G_i^0\mathrm{<mo>=</mo>}g\right)$$

$$v_{gm}|-\sim \text{bêta}\left(1+V_{gm}\mathrm{,}\beta +{\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>}m+1}^S}{V}_{gs}\right)\mathrm{,}{\omega }_{gm}\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_{gm}{\displaystyle \prod _{s\mathrm{<mo><</mo>}m}}\left(1-v_{gs}\right)$$

$$V_{gm}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}1\left(M_{ij}^1\mathrm{<mo>=</mo>}m\mathrm{,}{G}_i^1\mathrm{<mo>=</mo>}g\right)+{\displaystyle \sum _{h\in \mathcal{H}}}\frac{1}{{\psi }_h}{\displaystyle \sum _{i|n_i^0\mathrm{<mo>=</mo>}h}}1\left(M_{ij}^0\mathrm{<mo>=</mo>}m\mathrm{,}{G}_i^0\mathrm{<mo>=</mo>}g\right)$$

$${\lambda }_g^{\left(k\right)}|-\sim \text{Discrète}\left(1+{\eta }_{g1}^{\left(k\right)}\text{}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}1+{\eta }_{g{d}_k}^{\left(k\right)}\right)$$

$${\eta }_{gc}^{\left(k\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i|G_i^1\mathrm{<mo>=</mo>}g}^n}<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>1\left(X_{ik}^1=c\right)+{\displaystyle \sum _{h\in \mathcal{H}}}\frac{1}{{\psi }_h}{\displaystyle \sum _{i|\begin{array}{c}{n}_i^0\mathrm{<mo>=</mo>}h\mathrm{,}{G}_i^0\mathrm{<mo>=</mo>}g\end{array}}}<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>1\left(X_{ik}^0\mathrm{<mo>=</mo>}c\right)$$

$${\varphi }_{gm}^{\left(k\right)}|-\sim \text{Discrète}\left(1+{\nu }_{gm1}^{\left(k\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}1+{\nu }_{gm{d}_k}^{\left(k\right)}\right)$$

$${\nu }_{gmc}^{\left(k\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i|\begin{array}{c}{G}_i^1\mathrm{<mo>=</mo>}g\mathrm{,}{M}_{ij}^1\mathrm{<mo>=</mo>}m\end{array}}^n}<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>1\left(X_{ijk}^1\mathrm{<mo>=</mo>}c\right)+{\displaystyle \sum _{h\in \mathcal{H}}}\frac{1}{{\psi }_h}{\displaystyle \sum _{i|\begin{array}{c}{n}_i^0\mathrm{<mo>=</mo>}h\mathrm{,}{G}_i^0\mathrm{<mo>=</mo>}g\mathrm{,}{M}_{ij}^0\mathrm{<mo>=</mo>}m\end{array}}}<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>1\left(X_{ijk}^0\mathrm{<mo>=</mo>}c\right)$$

A.3 Liste des zéros structurels

Nous ajustons le modèle MDPDM avec des zéros structurels pour l’âge et les liens entre les particuliers partageant le logement. La liste complète des règles appliquées figure au tableau A.1. Celles-ci sont tirées de l’ACS de 2012 par relevé des combinaisons relatives à la variable des liens ne figurant pas dans la population construite. Il ne faut pas y voir une liste « réelle » des combinaisons impossibles dans les données du recensement.

A.4 Étude empirique des méthodes d’accélération

Nous évaluons le rendement des deux méthodes d’accélération mentionnées dans le corps du texte à l’aide de données synthétiques. Nous prenons les fichiers de microdonnées à grande diffusion de l’ACS de 2012, qui sont téléchargeables du site du Census Bureau http://www2.census.gov/acs2012_1yr/pums/, pour construire une population de 857 018 ménages de taille $\mathcal{H}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{2,}\mathrm{3,}\mathrm{4,}\mathrm{5,}6\right\},$ sur laquelle nous échantillonnons $n\mathrm{<mo>=</mo>}\text{10}\text{000}$ ménages comprenant $N\mathrm{<mo>=</mo>}\text{29}\text{117}$ particuliers. Nous travaillons avec les variables décrites au tableau A.2. Nous évaluons les méthodes par des probabilités qui dépendent des liens au sein du ménage et du chef du ménage.

Nous considérons le MDPDM avec deux méthodes et, dans chaque cas, passage des données du chef du ménage au niveau des ménages comme à la section 4.1 dans le corps du texte, de même qu’avec la méthode de plafonnement-pondération à la section 4.2. Pour la première méthode, nous prenons ${\psi }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_5\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_6\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ et, pour la seconde, ${\psi }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_3\mathrm{<mo>=</mo>}1/2$ et ${\psi }_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_5\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_6\mathrm{<mo>=</mo>}1/3.$ Nous comparons ces méthodes au MDPDM présenté dans Hu et coll., 2018. Dans chaque cas, nous créons $L\mathrm{<mo>=</mo>\; 50}$ jeux de données synthétiques, $Z\mathrm{<mo>=</mo>}\left(Z^{\left(1\right)}\text{}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{Z}^{\left(50\right)}\right).$ Nous produisons ces jeux de sorte que le nombre de ménages de taille $h\in \mathcal{H}$ dans chaque $Z^{\left(l\right)}$ corresponde exactement à $n_h$ dans les données observées. Ainsi, $Z$ comprend des données partiellement synthétiques (Little, 1993; Reiter, 2003), bien que chaque $Z_{ijk}$ produit soit une valeur simulée. Nous combinons les estimations en employant la méthode dans Reiter (2003). Pour résumer, soit $q$ l’estimateur ponctuel d’un certain paramètre $Q$ et soit $u$ l’estimateur de variance lié à $q.$ Pour $l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}L,$ soit $q_l$ et $u_l$ les valeurs de $q$ et $u$ dans le jeu de données synthétiques $Z^{\left(l\right)}\text{}.$ Nous utilisons $\overline{q}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}{q}_l/L$ comme estimation ponctuelle de $Q$ et $T\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{u}+b/L$ comme variance estimée de $\overline{q},$ où $b\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}{\left(q_l-\overline{q}\right)}^2/\left(L-1\right)$ et $\overline{u}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^L}{u}_l/L.$ Nous inférons au sujet de $Q$ par $\left(\overline{q}-Q\right)\sim t_v\left(\mathrm{0,}T\right),$ où $t_v$ est une distribution $t$ avec $v\mathrm{<mo>=</mo>}\left(L-1\right){\left(1+L\overline{u}/b\right)}^2$ degrés de liberté.

Pour chaque méthode, nous exécutons 20 000 itérations de l’échantillonneur MCMC en écartant les 10 000 premières comme rodage et en élaguant les échantillons restants à toutes les cinq itérations, ce qui donne 2 000 itérations MCMC après rodage. Nous créons les $L\mathrm{<mo>=</mo>\; 50}$ jeux de données synthétiques par échantillonnage aléatoire à partir de ces 2 000 itérations. Nous posons $F\mathrm{<mo>=</mo>\; 40}$ et $S\mathrm{<mo>=</mo>\; 15}$ pour chaque méthode en fonction des passages initiaux de rodage. Pour un contrôle de convergence, nous avons examiné les tracés temporels de $\alpha ,$ $\beta$ et les moyennes pondérées d’un échantillon aléatoire des probabilités multinomiales en vraisemblance pour le MDPDM. Pour les deux méthodes, le nombre effectif de grappes occupées au niveau des ménages va d’ordinaire de 20 à 33 avec 38 comme maximum et le nombre correspondant de grappes occupées au niveau des particuliers pour toutes les grappes au niveau des ménages va de 5 à 9 avec 12 comme maximum.

Si on exécute l’échantillonneur MCMC dans un portable standard, le passage des données du chef du ménage au niveau des ménages crée à lui seul une accélération d’environ 63 % de l’échantillonneur de rejet par défaut comparativement à 40 % environ pour la seule méthode de plafonnement-pondération.

Le tableau A.3 présente les intervalles de confiance à 95 % pour chacune des méthodes. Somme toute, les trois ont des intervalles de confiance qui se ressemblent, d’où l’impression que les mesures d’accélération ne font guère perdre de précision. Pour la plupart, les intervalles sont relativement assimilables aux intervalles des données initiales sauf pour le pourcentage de couples d’âge homogène. La dernière ligne représente un contrôle rigoureux de la mesure dans laquelle chaque méthode peut établir une probabilité plutôt difficile à estimer exactement. Dans ce cas, la probabilité que le chef du ménage et le conjoint soient du même âge peut être d’une estimation peu facile, car l’âge de chacun peut prendre 96 valeurs. Les trois méthodes s’éloignent donc de l’estimation par les données initiales en pareil cas. Ces résultats semblent indiquer la possibilité d’accélérer nettement l’échantillonneur avec une perte minimale de précision de l’estimation et des intervalles de confiance en conséquence pour les paramètres de population.

A.5 Étude empirique de l’imputation des données manquantes entièrement au hasard

Nous évaluons aussi le rendement du MDPDM comme méthode d’imputation dans un scénario de données manquantes entièrement au hasard. Nous utilisons les mêmes données qu’à la section 5 dans le corps du texte. Rappelons que les données visent $n\mathrm{<mo>=</mo>}\text{5}\text{000}$ ménages de taille $\mathcal{H}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{2,}\mathrm{3,}4\right\},$ comprenant $N\mathrm{<mo>=</mo>}\text{13}\text{181}$ particuliers. Nous introduisons les valeurs manquantes dans un scénario de données manquantes entièrement au hasard. Nous sélectionnons aléatoirement 80 % des ménages comme cas complets pour toutes les variables. Dans le cas des 20 % de ménages restants, nous mettons la variable « taille du ménage » en observation intégrale et nous mettons en blanc aléatoirement  $–$ et indépendamment  $–$ 50 % de chaque variable restante au niveau des ménages et au niveau des particuliers. Nous employons ces faibles taux pour imiter les taux réels de non-réponse partielle dans les données du recensement.

Comme dans le corps du texte, nous estimons le modèle MDPDM à l’aide de deux méthodes en combinant dans chaque cas l’étape de rejet à la section 4.1 et la méthode de plafonnement-pondération à la section 4.2 dans le texte. Dans la première méthode, nous considérons ${\psi }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_4\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ et, dans la seconde, nous prenons ${\psi }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_3\mathrm{<mo>=</mo>}1/2$ et ${\psi }_4\mathrm{<mo>=</mo>}1/3.$ Dans chaque cas, nous exécutons 10 000 itérations de l’échantillonneur MCMC en écartant les 5 000 premières comme rodage et en élaguant les échantillons restants à toutes les cinq itérations, ce qui donne 1 000 itérations MCMC après rodage. Nous posons $F\mathrm{<mo>=</mo>\; 30}$ et $S\mathrm{<mo>=</mo>\; 15}$ pour chaque méthode en fonction des passages initiaux de rodage. Nous contrôlons la convergence comme dans le corps du texte. Pour les deux méthodes, nous produisons $L\mathrm{<mo>=</mo>\; 50}$ jeux de données complètes, $Z\mathrm{<mo>=</mo>}\left(Z^{\left(1\right)}\text{}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{Z}^{\left(50\right)}\right),$ au moyen de la distribution prédictive postérieure du MDPDM, ce qui nous permet d’estimer les mêmes probabilités que dans le texte.

Les figures A.1 et A.2 présentent les diverses probabilités marginales, bivariées et trivariées estimées $\left({\overline{q}}_{50}\right)$ et tracées par rapport à l’estimation correspondante des données initiales sans valeurs manquantes. La figure A.1 livre les résultats du MDPDM avec l’échantillonneur de rejet et la figure A.2, les mêmes résultats avec la méthode de plafonnement-pondération. Dans les deux cas, le MDPDM réussit à appréhender les caractéristiques importantes de la distribution conjointe des variables, les estimations ponctuelles étant très proches de celles des données avant introduction des valeurs manquantes. Bref, les résultats ressemblent fort aux résultats dans le corps du texte, mais en plus précis.

Le tableau A.4 fait état des intervalles de confiance à 95 % de certaines probabilités concernant les liens au sein du ménage, ainsi que de la valeur de la population entière de 764 580 ménages. Il s’agit des deux intervalles venant des moteurs d’imputation MDPDM et de l’intervalle venant des données avant introduction des valeurs manquantes. Les intervalles sont généralement plus précis que ceux qui figurent dans le corps du texte. Il fallait s’y attendre, puisque nous employons des proportions inférieures de valeurs manquantes dans le scénario des données manquantes entièrement au hasard. Le plus souvent, les intervalles du MDPDM avec les deux méthodes tendent à comprendre la quantité vraie de la population. Là encore, le moteur d’imputation MDPDM engendre un biais par défaut pour les pourcentages de ménages de race homogène. Comme nous le mentionnons dans le texte, c’est là un paramètre difficile à estimer avec précision par imputation, plus particulièrement dans le cas des ménages de plus grande taille.

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