Imputation multiple de valeurs manquantes dans des données des ménages contenant des zéros structurels
Section 3. Traitement des données manquantes à l’aide du MDPDM

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Nous modifions l’échantillonneur de Gibbs pour le modèle MDPDM tronqué en vue d’y incorporer les données manquantes. Pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n,$ soit $a_i=\left(a_{i\left(p+1\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{a}_{i\left(p+q\right)}\right)$ un vecteur avec $a_{ik}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ lorsque la variable $k\in \left\{p+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}p+q\right\}$ au niveau des ménages est manquante dans $X_i^1$ et avec $a_{ik}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ dans les autres cas. Pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n$ et $j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{n}_i,$ soit $b_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(b_{ij1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{b}_{ijp}\right)$ un vecteur avec $b_{ijk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ lorsque la variable $k\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}p\right\}$ au niveau des particuliers pour l’individu $j\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{n}_i\right\}$ est manquante dans $X_i^1$ et avec $b_{ijk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ dans les autres cas. Pour chaque ménage $i,$ soit $X_i^1=\left(X_i^{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}{X}_i^{\text{mis}}\right),$ où $X_i^{\text{obs}}$ comprend toutes les valeurs des données correspondant à $a_{ik}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ et $b_{ijk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0},$ et où $X_i^{\text{mis}}$ comprend toutes les valeurs des données correspondant à $a_{ik}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ et $b_{ijk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$ Nous supposons que les données sont manquantes au hasard (Rubin, 1976).

Pour incorporer les valeurs manquantes à l’échantillonneur de Gibbs, nous devons échantillonner la distribution conditionnelle intégrale de chaque variable dans $X_i^{\text{mis}}\text{},$ conditionnellement aux variables pour lesquelles $a_{ik}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ et $b_{ijk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0},$ à chaque itération. Nous ajoutons alors une neuvième étape

• S9. Pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n,$ échantillonner $X_i^{\text{mis}}$ à partir de sa distribution conditionnelle intégrale

$$\mathrm{Pr}\left(X_i^{\text{mis}}|-\right)\propto <mtext>\hspace{0.17em}</mtext>1\left\{X_i^1\notin {\mathcal{S}}_h\right\}\left({\pi }_{G_i^1}{\displaystyle \prod _{k|a_{ik}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{p+q}{\lambda }_{G_i^1{X}_{ik}^1}^{\left(k\right)}}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{n_i}}{\omega }_{G_i^1{M}_{ij}^1}{\displaystyle \prod _{k|b_{ijk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^p}{\varphi }_{G_i^1{M}_{ij}^1{X}_{ijk}^1}^{\left(k\right)}\right).$$

Il est non trivial d’échantillonner à partir de cette distribution conditionnelle en raison de la dépendance entre les variables qu’induisent les règles des zéros structurels dans chaque ${\mathcal{S}}_h.$ À cause de cette dépendance, il est impossible de simplement échantillonner chaque variable indépendamment à l’aide des vraisemblances en (2.3) et (2.4). Si nous pouvions produire le jeu de données complètes pour tous les ménages à entrées manquantes conditionnellement aux valeurs observées, il serait facile de calculer la probabilité dans chaque cas et d’échantillonner à partir de cet ensemble. Malheureusement, un tel traitement est peu pratique lorsque la taille de chaque ${\mathcal{S}}_h$ est grande. Même avec une taille modeste, chaque ménage pourrait présenter différents jeux de données complètes, ce qui nécessiterait un calcul, un stockage et un espace de mémoire importants.

Il reste que la distribution conditionnelle intégrale dans S9 prend une forme semblable à celle du noyau du MDPDM tronqué en (2.1), de sorte qu’on puisse produire les échantillons désirés par un second plan d’échantillonnage de rejet. Pour l’essentiel, il s’agit d’échantillonner à partir d’une version non tronquée de la distribution conditionnelle intégrale $P_{X_i^{\text{mis}}}^{*}={\pi }_{G_i^1}{\displaystyle {\prod }_{k|a_{ik}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{p+q}}{\lambda }_{G_i^1{X}_{ik}^1}^{\left(k\right)}\left({\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{n_i}}{\omega }_{G_i^1{M}_{ij}^1}{\displaystyle {\prod }_{k|b_{ijk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^p}{\varphi }_{G_i^1{M}_{ij}^1{X}_{ijk}^1}^{\left(k\right)}\right),$ jusqu’à l’obtention d’un échantillon valide satisfaisant à la relation $X_i^1\notin {\mathcal{S}}_h;$ voir en annexe la preuve que ce plan d’échantillonnage de rejet crée un échantillonneur valide de Gibbs. À noter aussi que, comme $P_{X_i^{\text{mis}}}^{*}$ lui-même n’est pas tronqué, il est possible de procéder par échantillonnage indépendant de chaque variable en (2.3) et (2.4). Nous remplaçons donc l’étape S9 par S9'.

• S9'. Pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n,$ échantillonner $X_i^{\text{mis}}$ de la manière suivante :

1. Pour chaque variable manquante au niveau des ménages, c’est-à-dire pour chaque variable où $k\in \left\{p+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}p+q\right\}$ avec $a_{ik}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1},$ échantillonner $X_{ik}^1$ par (2.3).
2. Pour chaque variable manquante au niveau des particuliers, c’est-à-dire pour chaque variable où $j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{n}_i$ et $k\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}p\right\}$ avec $b_{ijk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1},$ échantillonner $X_{ijk}^1$ par (2.4).
3. Fixer à $X_i^{\text{mis}*}$ les valeurs échantillonnées au niveau des ménages et au niveau des particuliers.
4. Combiner les $X_i^{\text{mis}*}$ aux $X_i^{\text{obs}}$ observés, c’est-à-dire poser $X_i^{1*}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(X_i^{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}{X}_i^{\text{mis}*}\right).$ Si $X_i^{1*}\notin {\mathcal{S}}_h,$ poser $X_i^{\text{mis}}\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_i^{\text{mis}*}\text{},$ sinon retourner à l’étape (9'a).

Pour amorcer chaque $X_i^{\text{mis}}\text{},$ nous suggérons d’échantillonner à partir de la distribution marginale empirique de chaque variable $k$ en se reportant aux cas disponibles pour chacune et en exigeant que le ménage satisfasse à la relation $X_i^1\notin {\mathcal{S}}_h.$

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