Imputation multiple de valeurs manquantes dans des données des ménages contenant des zéros structurels
Section 2. Examen du modèle MDPDM

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Hu et coll. (2018) présentent le modèle MDPDM en précisant notamment en quoi il peut préserver les associations entre variables et prendre en compte les zéros structurels. Ici, nous résumons le même modèle sans entrer dans le détail des raisons de son adoption et en nous contentant de renvoyer le lecteur à Hu et coll. (2018) pour un complément d’information. Nous commençons par la notation nécessaire à la compréhension du modèle et de l’échantillonneur de Gibbs avec données complètes. Notre exposé suit de près celui de Hu et coll. (2018).

2.1  Notation et spécification du modèle

Posons que les données visent $n$ ménages. Chaque ménage $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n$ contient $n_i$ particuliers et, par conséquent, il y a ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}{n}_i\mathrm{<mo>=</mo>}N$ individus dans les données. Soit $X_{ik}\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{d}_k\right\}$ la valeur de la variable catégorique $k$ pour le ménage $i.$ On la suppose identique pour tous les $n_i$ membres du ménage $i,$ où $k\mathrm{<mo>=</mo>}p+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}p+q.$ Soit $X_{ijk}\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{d}_k\right\}$ la valeur de la variable catégorique $k$ pour le membre $j$ du ménage $i,$ où $j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{n}_i$ et $k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}p.$ Soit $X_i=\left(X_{i\left(p+1\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_{i\left(p+q\right)}\mathrm{,}{X}_{i11}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_{i{n}_{i}p}\right)$ l’ensemble des variables au niveau des ménages et au niveau des particuliers pour les $n_i$ membres du ménage $i.$

Soit $\mathcal{H}$ le jeu de toutes les tailles de ménage possibles dans la population. Pour tout $h\in \mathcal{H},$ soit ${\mathcal{C}}_h$ représentant le jeu de toutes les combinaisons de variables au double niveau des particuliers et des ménages pour les ménages de taille $h,$ avec les combinaisons impossibles; en d’autres termes, ${\mathcal{C}}_h\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\prod }_{k\mathrm{<mo>=</mo>}p+1}^{p+q}}\left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{d}_k\right\}{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^h}{\displaystyle {\prod }_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^p}\left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{d}_k\right\}.$ Soit ${\mathcal{S}}_h\subset {\mathcal{C}}_h$ représentant le jeu des combinaisons impossibles, c’est-à-dire des zéros structurels, pour les ménages de taille $h.$ Sont comprises les combinaisons de variables dans tout particulier (une personne âgée de trois ans ne peut être un conjoint, par exemple) ou entre les particuliers d’un même ménage (quelqu’un ne peut être plus âgé que ses parents biologiques, par exemple). Soit $\mathcal{C}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\cup }_{h\in \mathcal{H}}}{\mathcal{C}}_h$ et $\mathcal{S}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\cup }_{h\in \mathcal{H}}}{\mathcal{S}}_h.$

Bien que le modèle MDPDM que nous employons limite le support de $X_i$ à $\mathcal{C}-\mathcal{S},$ il est bon de comprendre le modèle sans restrictions au départ quant au support de $X_i.$ Chaque ménage $i$ appartient à une des classes $F$ représentant les types latents de ménages. Pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n,$ soit $G_i\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}F\right\}$ indiquant la classe de ménages pour le ménage $i.$ Soit ${\pi }_g\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(G_i\mathrm{<mo>=</mo>}g\right)$ la probabilité que le ménage $i$ appartienne à la classe $g.$ Dans toute classe, toutes les variables au niveau des ménages suivent des distributions multinomiales indépendantes. Pour tout $k\in \left\{p+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}p+q\right\}$ et tout $c\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{d}_k\right\},$ soit ${\lambda }_{gc}^{\left(k\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(X_{ik}\mathrm{<mo>=</mo>}c|G_i\mathrm{<mo>=</mo>}g\right)$ pour toute classe $g,$ où ${\lambda }_{gc}^{\left(k\right)}$ est de la même valeur pour tout ménage de la classe $g.$ Soit $\pi \mathrm{<mo>=</mo>}\left\{{\pi }_1\mathrm{,}\dots ,{\pi }_F\right\},$ et $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\left\{{\lambda }_{gc}^{\left(k\right)}\mathrm{<mo>:</mo>}c\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{d}_k\mathrm{<mo>;</mo>}k\mathrm{<mo>=</mo>}p+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}p+q\mathrm{<mo>;</mo>}g\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}F\right\}.$

Dans chaque classe de ménages, chaque particulier appartient à une des classes latentes $S$ au niveau des particuliers. Pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n$ et $j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{n}_i,$ soit $M_{ij}$ représentant la classe latente au niveau des particuliers pour le membre $j$ du ménage $i.$ Soit ${\omega }_{gm}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(M_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}m|G_i\mathrm{<mo>=</mo>}g\right)$ la probabilité que le membre $j$ du ménage $i$ appartienne au niveau des particuliers à la classe $m$ emboîtée au niveau des ménages au sein de la classe $g.$ Dans toute classe au niveau des particuliers, toutes les variables de ce niveau suivent des distributions multinomiales indépendantes. Pour tout $k\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}p\right\}$ et tout $c\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{d}_k\right\},$ soit ${\varphi }_{gmc}^{\left(k\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(X_{ijk}\mathrm{<mo>=</mo>}c|\left(G_i\mathrm{,}{M}_{ij}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(g\mathrm{,}m\right)\right)$ pour la paire de classes $\left(g\mathrm{,}m\right),$ où ${\varphi }_{gmc}^{\left(k\right)}$ est de la même valeur pour tout particulier dans la paire de classes $\left(g\mathrm{,}m\right).$ Soit $\omega \mathrm{<mo>=</mo>}\left\{{\omega }_{gm}\mathrm{<mo>:</mo>}g\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}F\mathrm{<mo>;</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}S\right\},$ et $\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}\{{\varphi }_{gmc}^{\left(k\right)}\mathrm{<mo>:</mo>}c\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{d}_k\mathrm{<mo>;</mo>}k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{<mo>;</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}S\mathrm{<mo>;</mo>}$ $g\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}F\}.$

Pour les besoins de l’échantillonneur de Gibbs à la section 2.2, il est bon de distinguer les valeurs de $X_i$ qui respectent toutes les contraintes de zéros structurels de celles qui ne les respectent pas. Soit l’exposant $«1»$ indiquant qu’une variable aléatoire a un support seulement dans $\mathcal{C}-\mathcal{S}.$ Ainsi, $X_i^1$ représente les données d’un ménage dont les valeurs sont en restriction seulement dans $\mathcal{C}-\mathcal{S}$ (il ne s’agit pas d’un ménage impossible); $X_i$ représente les données d’un ménage avec des valeurs dans $\mathcal{C}.$ Soit ${\mathcal{X}}^1$ les données observées de $n$ ménages, c’est-à-dire une réalisation de $\left(X_1^1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_n^1\right).$ Le noyau du MDPDM, $\mathrm{Pr}\left({\mathcal{X}}^1|\theta \right),$ est

$$L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{X}}^1\mathrm{<mo>|</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>\; <mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}{\displaystyle \sum _{h\in \mathcal{H}}}1\left\{n_i=h\right\}1\left\{X_i^1\notin {\mathcal{S}}_h\right\}\left[{\displaystyle \sum _{g\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^F}{\pi }_g{\displaystyle \prod _{k\mathrm{<mo>=</mo>}p+1}^{p+q}}{\lambda }_{g{X}_{ik}^1}^{\left(k\right)}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^h}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^S}{\omega }_{gm}{\displaystyle \prod _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^p}{\varphi }_{gm{X}_{ijk}^1}^{\left(k\right)}\right]\mathrm{,}(2.1)$$

où $\theta$ comprend tous les paramètres et $1\left\{\mathrm{.}\right\}$ correspond à l’unité lorsque la condition entre accolades $\left\{\right\}$ est vraie et à zéro dans les autres cas.

Pour tout $h\in \mathcal{H},$ soit $n_{1h}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}1\left\{n_i\mathrm{<mo>=</mo>}h\right\}$ le nombre de ménages de la taille $h$ dans ${\mathcal{X}}^1$ et ${\pi }_{0h}\left(\theta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(X_i\in {\mathcal{S}}_h|\theta \right).$ Comme il est indiqué dans Hu et coll. (2018), la constante de normalisation dans la vraisemblance en (2.1) est ${\displaystyle {\prod }_{h\in \mathcal{H}}}{\left(1-{\pi }_{0h}\left(\theta \right)\right)}^{n_{1h}}\text{}.$ Ainsi, la distribution postérieure est

$$\mathrm{Pr}\left(\theta |{\mathcal{X}}^1\text{}\mathrm{,}T\left(\mathcal{S}\right)\right)\propto \mathrm{Pr}\left({\mathcal{X}}^1|\theta \right)\mathrm{Pr}\left(\theta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\displaystyle {\prod }_{h\in \mathcal{H}}{\left(1-{\pi }_{0h}\left(\theta \right)\right)}^{n_{1h}}}}L\left({\mathcal{X}}^1|\theta \right)\mathrm{Pr}\left(\theta \right)(2.2)$$

où $T\left(\mathcal{S}\right)$ fait voir une densité de probabilité pour MDPDM avec un support limité à $\mathcal{C}-\mathcal{S}.$

La vraisemblance dans (2.1) peut s’écrire comme modèle génératif de la forme

$$\begin{array}{ll}{X}_{ik}|G_i\mathrm{,}\lambda \sim \hfill & \text{Discrète}\left({\lambda }_{G_{i}1}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\lambda }_{G_i{d}_k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\hfill \\ \hfill & \forall i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n\text{et}k\mathrm{<mo>=</mo>}p+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}p+q(2.3)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{X}_{ijk}\mathrm{<mo>|</mo>}{G}_i\mathrm{,}{M}_{ij}\mathrm{,}\varphi \mathrm{,}{n}_i\sim \hfill & \text{Discrète}\left({\varphi }_{G_i{M}_{ij}1}^{\left(k\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\varphi }_{G_i{M}_{ij}{d}_k}^{\left(k\right)}\right)\hfill \\ \hfill & \forall i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{n}_i\text{et}k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}p(2.4)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{G}_i|\pi \sim \hfill & \text{Discrète}\left({\pi }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\pi }_F\right)\hfill \\ \hfill & \forall i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n(2.5)\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}{M}_{ij}|G_i\mathrm{,}\omega \mathrm{,}{n}_i\sim \hfill & \text{Discrète}\left({\omega }_{G_{i}1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\omega }_{G_{i}S}\right)\hfill \\ \hfill & \forall i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n\text{et}j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{n}_i(2.6)\hfill \end{array}$$

où la distribution discrète est la distribution multinomiale avec taille d’échantillon correspondant à l’unité. Nous limitons le support de chaque $X_i$ pour être sûrs que le modèle attribue une probabilité nulle à toutes les combinaisons désirées dans $\mathcal{S}.$ On peut utiliser le modèle dans (2.3) à (2.6) sans limiter le support à $\mathcal{C}-\mathcal{S}.$ On ne tient pas compte alors de tous les zéros structurels. S’il convient peu à la distribution conjointe des données des ménages, un tel modèle se révèle utile dans le cas de l’échantillonneur de Gibbs. Nous prenons le modèle génératif dans (2.3) à (2.6) avec un support intégral dans tous $\mathcal{C}$ en tant que MDPDM non tronqué. En revanche, nous appelons le modèle en (2.1) MDPDM tronqué.

Pour les distributions antérieures, nous suivons les recommandations de Hu et coll. (2018). Nous utilisons des distributions uniformes et indépendantes de Dirichlet comme distributions antérieures pour $\lambda$ et $\varphi ,$ et la représentation tronquée en découpe du processus de Dirichlet comme distributions antérieures pour $\pi$ et $\omega$ (Sethuraman, 1994; Dunson et Xing, 2009; Si et Reiter, 2013; Manrique-Vallier et Reiter, 2014) :

$${\lambda }_g^{\left(k\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\lambda }_{g1}^{\left(k\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\lambda }_{g{d}_k}^{\left(k\right)}\right)\sim \text{Dirichlet}\left(\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}1\right)(2.7)$$

$${\varphi }_{gm}^{\left(k\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\varphi }_{gm1}^{\left(k\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\varphi }_{gm{d}_k}^{\left(k\right)}\right)\sim \text{Dirichlet}\left(\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}1\right)(2.8)$$

$${\pi }_g\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_g{\displaystyle \prod _{f\mathrm{<mo><</mo>}g}}\left(1-u_f\right)\text{pour}g\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots ,F(2.9)$$

$$u_g\sim \text{bêta}\left(\mathrm{1,}\alpha \right)\text{pour}g\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}F-\mathrm{1,}{u}_F\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}(2.10)$$

$$\alpha \sim \text{gamma}\left(\text{0,25;}\text{0,25}\right)(2.11)$$

$${\omega }_{gm}\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_{gm}{\displaystyle \prod _{s\mathrm{<mo><</mo>}m}}\left(1-v_{gs}\right)\text{pour}m\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots S(2.12)$$

$$v_{gm}\sim \text{bêta}\left(\mathrm{1,}{\beta }_g\right)\text{pour}m\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}S-\mathrm{1,}{v}_{gS}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}(2.13)$$

$${\beta }_g\sim \text{gamma}\left(\text{0,25;}\text{0,25}\right)\mathrm{.}(2.14)$$

Nous fixons les paramètres des distributions de Dirichlet à $1_{d_k}$ (vecteur $d_k-$ dimensionnel des unités) et à 0,25 les paramètres des distributions gamma en (2.11) et (2.14) pour représenter les spécifications vagues des distributions antérieures. Nous posons également ${\beta }_g\mathrm{<mo>=</mo>}\beta$ pour faciliter le calcul. Voir Hu et coll. (2018) pour mieux connaître les spécifications des distributions antérieures.

D’un point de vue conceptuel, nous pouvons interpréter les classes latentes au niveau des ménages comme des grappes de ménages d’une composition homogène (ménages avec enfants, ménages dont les membres ne sont pas apparentés, etc.). De même, il est possible d’interpréter les classes latentes au niveau des particuliers comme des grappes d’individus aux caractéristiques homogènes (conjoint plus âgé de sexe masculin, jeunes enfants de sexe féminin, etc.). Toutefois, notre propos n’est pas d’interpréter ces classes dans une optique d’imputation, celles-ci servant avant tout à l’induction d’une dépendance entre variables et particuliers dans la distribution conjointe.

Il importe de choisir $F$ et $S$ de sorte qu’ils soient assez grands pour une estimation précise de la distribution conjointe. Il ne s’agit cependant pas de faire $F$ et $S$ si grands qu’ils produisent une abondance de classes vides dans l’estimation du modèle. Créer un grand nombre de classes vides ne peut qu’accroître la durée du calcul sans gain correspondant de précision de l’estimation. Cela peut poser tout particulièrement un problème avec l’échantillonneur de Gibbs dans un MDPDM tronqué, ces classes mettant de la masse de probabilité dans des régions de l’espace où des combinaisons impossibles risquent de se produire, d’où une convergence plus lente de l’échantillonneur de Gibbs.

Nous recommandons donc la stratégie de Hu et coll. (2018) au moment de poser $\left(F\text{}\mathrm{,}S\right).$ Les analystes peuvent prendre des valeurs modérées des deux, disons entre 10 et 15, pour les premiers passages de rodage. Après convergence, ils examinent les échantillons postérieurs des classes latentes et vérifient ainsi combien de ces classes sont occupées au niveau des particuliers et au niveau des ménages. Ces contrôles prédictifs postérieurs peuvent démontrer le besoin de disposer de valeurs plus grandes pour $F$ et $S.$ Si le nombre de classes occupées au niveau des ménages atteint $F\text{},$ nous suggérons d’accroître $F\text{}.$ Si le nombre de classes occupées au niveau des particuliers atteint $S,$ nous suggérons d’accroître $F$ d’abord et $S$ ensuite, et ce, peut-être en sus de $F\text{},$ s’il ne peut suffire de relever $F$ seul. Si les contrôles prédictifs postérieurs n’indiquent en rien que des valeurs supérieures de $F$ et $S$ sont nécessaires, les analystes n’ont pas à augmenter le nombre de classes, car on ne peut s’attendre à ce qu’il en résulte une amélioration de la précision de l’estimation. À noter qu’une logique semblable vaut pour d’autres contextes de modèles de mélange (Walker, 2007; Si et Reiter, 2013; Manrique-Vallier et Reiter, 2014; Murray et Reiter, 2016).

2.2  Échantillonneur MCMC pour le MDPDM

Hu et coll. (2018) recourent à une stratégie d’augmentation des données (Manrique-Vallier et Reiter, 2014) pour estimer la distribution postérieure en (2.2). Ils posent que les données observées ${\mathcal{X}}^1\text{},$ qui visent tous les ménages possibles, forment un sous-ensemble d’un échantillon hypothétique $\mathcal{X}$ de $\left(n+n_0\right)$ ménages directement tiré du MDPDM non tronqué. En d’autres termes, $\mathcal{X}$ est produit sur le support $\mathcal{C}$ où toutes les combinaisons sont possibles et où les règles des zéros structurels ne sont pas appliquées, mais nous observons uniquement l’échantillon de $n$ ménages ${\mathcal{X}}^1$ qui respectent ces mêmes règles sans observer l’échantillon de $n_0$ ménages ${\mathcal{X}}^0\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{X}-{\mathcal{X}}^1$ qui ne les respectent pas.

Nous employons la stratégie de Hu et coll. (2018) et augmentons les données. Pour chaque $h\in \mathcal{H},$ nous simulons $\mathcal{X}$ à partir du MDPDM non tronqué et nous arrêtons lorsque le nombre de ménages possibles simulés dans $\mathcal{X}$ correspond directement à $n_{1h}$ pour tout $h\in \mathcal{H}.$ Nous remplaçons par ${\mathcal{X}}^1$ les ménages possibles simulés dans $\mathcal{X}$ et supposons donc que $\mathcal{X}$ contient déjà ${\mathcal{X}}^1,$ d’où le simple besoin de produire la partie ${\mathcal{X}}^0$ de $\mathcal{S}.$ Dans un tirage de $\mathcal{X},$ nous prenons $\theta$ dans la distribution postérieure définie par le MDPDM non tronqué et traitons $\mathcal{X}$ comme données observées. Il est possible d’estimer cette distribution postérieure à l’aide d’un échantillonneur de Gibbs en bloc (Ishwaran et James, 2001; Si et Reiter, 2013).

Nous présenterons maintenant l’échantillonneur MCMC intégral pour l’ajustement du modèle MDPDM tronqué. Soit $G^0$ et $M^0$ des vecteurs des indicateurs d’appartenance aux classes latentes pour les ménages dans ${\mathcal{X}}^0$ et soit $n_{0h}$ le nombre de ménages de taille $h$ dans ${\mathcal{X}}^0$ avec $n_0\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_h}{n}_{0h}.$ Dans chaque distribution conditionnelle intégrale, soit « $–$ » représentant le conditionnement par l’ensemble des autres variables et paramètres du modèle. À chaque itération MCMC, nous procédons ainsi :

• S1. Poser ${\mathcal{X}}^0\mathrm{<mo>=</mo>}{G}^0\mathrm{<mo>=</mo>}{M}^0\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing .$ Pour chaque $h\in \mathcal{H},$ répéter ce qui suit :

1. Poser $t_0\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ et $t_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 0.}$
2. Échantillonner $G_i^0\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}F\right\}\sim \text{Discrète}\left({\pi }_1^{**}\text{}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\pi }_F^{**}\right),$ où ${\pi }_g^{**}\propto {\lambda }_{gh}^{\left(k\right)}{\pi }_g$ et où $k$ est l’indice de « taille du ménage » pour les variables au niveau des ménages.
3. Pour $j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}h,$ échantillonner $M_{ij}^0\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}S\right\}\sim \text{Discrète}\left({\omega }_{G_i^{0}1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\omega }_{G_i^{0}S}\right).$
4. Poser $X_{ik}^0\mathrm{<mo>=</mo>}h,$ où $X_{ik}^0$ correspond à la variable pour la taille du ménage. Échantillonner le reste des valeurs au niveau des ménages et au niveau des particuliers à l’aide des vraisemblances en (2.3) et (2.4). Fixer à $X_i^0$ la valeur simulée du ménage.
5. Si $X_i^0\in {\mathcal{S}}_h,$ poser $t_0\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0+1,$ ${\mathcal{X}}^0\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{X}}^0\cup X_i^0,$ $G^0\mathrm{<mo>=</mo>}{G}^0\cup G_i^0$ et $M^0\mathrm{<mo>=</mo>}{M}^0\cup \left\{M_{i1}^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{M}_{ih}^0\right\},$ sinon poser $t_1\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_1+1.$
6. Si $t_1\mathrm{<mo><</mo>}{n}_{1h},$ retourner à (b), sinon poser $n_{0h}\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0.$

• S2. Pour les observations en ${\mathcal{X}}^1\text{},$

1. Échantillonner $G_i\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}F\right\}\sim \text{Discrète}\left({\pi }_1^{*}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\pi }_F^{*}\right)$ pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n,$ où

$${\pi }_g^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(G_i\mathrm{<mo>=</mo>}g|-\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\pi }_g\left[{\displaystyle {\prod }_{k\mathrm{<mo>=</mo>}p+1}^q{\lambda }_{g{X}_{ik}^1}^{\left(k\right)}}\left({\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{n_i}{\displaystyle {\sum }_{m\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^S{\omega }_{gm}}{\displaystyle {\prod }_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^p{\varphi }_{gm{X}_{ijk}^1}^{\left(k\right)}}}\right)\right]}{{\displaystyle {\sum }_{f\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^F{\pi }_f\left[{\displaystyle {\prod }_{k\mathrm{<mo>=</mo>}p+1}^q{\lambda }_{f{X}_{ik}^1}^{\left(k\right)}\left({\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{n_i}{\displaystyle {\sum }_{m\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^S{\omega }_{gm}}}{\displaystyle {\prod }_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^p{\varphi }_{fm{X}_{ijk}^1}^{\left(k\right)}}\right)}\right]}}$$

2. Échantillonner $M_{ij}\in \left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}S\right\}\sim \text{Discrète}\left({\omega }_{G_i^{1}1}^{*}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\omega }_{G_i^{1}S}^{*}\right)$ pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n$ et $j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{n}_i,$ où

$${\omega }_{G_i^{1}m}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(M_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}m|-\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\omega }_{G_i^{1}m}{\displaystyle {\prod }_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^p{\varphi }_{G_i^{1}m{X}_{ijk}^1}^{\left(k\right)}}}{{\displaystyle {\sum }_{s\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^S{\omega }_{G_i^{1}s}}{\displaystyle {\prod }_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^p{\varphi }_{G_i^{1}s{X}_{ijk}^1}^{\left(k\right)}}}$$

• S3. Poser $u_F\mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$ Échantillonner

$$u_g|-\sim \text{bêta}\left(1+U_g\mathrm{,}\alpha +{\displaystyle \sum _{f\mathrm{<mo>=</mo>}g+1}^F}{U}_f\right)\mathrm{,}{\pi }_g\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_g{\displaystyle \prod _{f\mathrm{<mo><</mo>}g}}\left(1-u_f\right)$$

$$U_g\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}1\left(G_i^1\mathrm{<mo>=</mo>}g\right)+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{n_0}}1\left(G_i^0\mathrm{<mo>=</mo>}g\right)$$

• S4. Poser $v_{gM}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ pour $g\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}F.$ Échantillonner

$$v_{gm}|-\sim \text{bêta}\left(1+V_{gm}\mathrm{,}\beta +{\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>}m+1}^S}{V}_{gs}\right)\mathrm{,}{\omega }_{gm}\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_{gm}{\displaystyle \prod _{s\mathrm{<mo><</mo>}m}}\left(1-v_{gs}\right)$$

$$V_{gm}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}1\left(M_{ij}^1\mathrm{<mo>=</mo>}m\mathrm{,}{G}_i^1\mathrm{<mo>=</mo>}g\right)+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{n_0}}1\left(M_{ij}^0\mathrm{<mo>=</mo>}m\mathrm{,}{G}_i^0\mathrm{<mo>=</mo>}g\right)$$

• S5. Échantillonner

$${\lambda }_g^{\left(k\right)}|-\sim \text{Discrète}\left(1+{\eta }_{g1}^{\left(k\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}1+{\eta }_{g{d}_k}^{\left(k\right)}\right)$$

$${\eta }_{gc}^{\left(k\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i|G_i^1\mathrm{<mo>=</mo>}g}^n}1\left(X_{ik}^1\mathrm{<mo>=</mo>}c\right)+{\displaystyle \sum _{i|G_i^0\mathrm{<mo>=</mo>}g}^{n_0}}1\left(X_{ik}^0\mathrm{<mo>=</mo>}c\right)$$

• S6. Échantillonner

$${\varphi }_{gm}^{\left(k\right)}|-\sim \text{Discrète}\left(1+{\nu }_{gm1}^{\left(k\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}1+{\nu }_{gm{d}_k}^{\left(k\right)}\right)$$

$${\nu }_{gmc}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j|\begin{array}{c}{G}_i^1\mathrm{<mo>=</mo>}g\mathrm{,}{M}_{ij}^1\mathrm{<mo>=</mo>}m\end{array}}^n}1\left(X_{ijk}^1\mathrm{<mo>=</mo>}c\right)+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j|\begin{array}{c}{G}_i^0\mathrm{<mo>=</mo>}g\mathrm{,}{M}_{ij}^0\mathrm{<mo>=</mo>}m\end{array}}^{n_0}}1\left(X_{ijk}^0\mathrm{<mo>=</mo>}c\right)$$

• S7. Échantillonner

$$\alpha |-\sim \text{gamma}\left(a_{\alpha }+F-\mathrm{1,}{b}_{\alpha }-{\displaystyle \sum _{g\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{F-1}}\text{log}\left(1-u_g\right)\right)\mathrm{.}$$

• S8. Échantillonner

$$\beta |-\sim \text{gamma}\left(a_{\beta }+F\times \left(S-1\right)\mathrm{,}{b}_{\beta }-{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{S-1}}{\displaystyle \sum _{g\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^F}\text{log}\left(1-v_{gm}\right)\right)\mathrm{.}$$

Cet échantillonneur de Gibbs est implanté dans le progiciel en R « NestedCategBayesImpute » (Wang, Akande, Hu, Reiter et Barrientos, 2016). Ce logiciel peut servir à produire des versions synthétiques des données initiales, mais encore faut-il que le jeu de données soit complet.

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