Un plan de sondage assisté par un modèle est le minimax pour la prédiction fondée sur un modèle
Section 1. Introduction

• Précédent
• Suivant

L’inférence fondée sur un modèle pour des totaux de population finie repose sur un modèle hypothétique et ne fait généralement pas référence au plan d’échantillonnage. L’échantillonnage probabiliste, où toute unité $i$ a une probabilité de sélection connue ${\pi }_i\mathrm{<mo>></mo>}0,$ n’est pas strictement nécessaire, mais il est tout de même souvent utilisé, parce qu’il « supprime le biais conscient et inconscient » (Valliant, Dever et Kreuter, 2013, page 310) et qu’il garantit le caractère non informatif de l’échantillonnage, qui est requis pour la plupart des procédures fondées sur un modèle (Chambers et Clark, 2012, page 12). Särndal, Swensson et Wretman (1992, page 534) font remarquer que « les partisans de l’inférence fondée sur un modèle préconisent la sélection aléatoire de l’échantillon comme mesure de protection contre le biais de sélection, mais les probabilités de randomisation ne jouent aucun rôle dans l’inférence ». Voir aussi Lohr (2010, page 263), Chambers et Clark (2012, page 92) et Scott, Brewer et Ho (1978), qui proposent des plans de sondage probabiliste pour les prévisions fondées sur un modèle. Pour un examen des approches fondées sur un modèle, voir aussi Valliant, Dorman et Royall (2000).

L’inférence assistée par un modèle (par exemple, Särndal et coll., 1992) est une autre méthode, dans laquelle les estimateurs sont sans biais par rapport au plan (du moins asymptotiquement), c’est-à-dire sans biais sur un échantillonnage probabiliste répété de toute population fixe. Sous cette contrainte, ils minimisent la variance anticipée (VA), qui est la variance sur les réalisations répétées de la population à partir d’un modèle et sur un échantillonnage probabiliste répété. Dans les modèles avec erreurs indépendantes, la VA la plus basse parmi ces estimateurs (pour tout plan de sondage probabiliste donné) est la borne inférieure de Godambe et Joshi (BIGJ) (Godambe et Joshi, 1965). La borne inférieure est atteinte asymptotiquement pour les modèles linéaires par l’estimateur par la régression généralisée, qui est bien connu.

Les plans assistés par un modèle sont des plans de sondage probabiliste qui visent à réduire au minimum la VA de l’estimateur par la régression généralisée (ou, d’une manière équivalente, à minimiser la BIGJ). Ces plans de sondage optimaux pour la VA ont été calculés pour l’inférence assistée par un modèle. En particulier, le plan de sondage qui réduit au minimum la BIGJ pour une taille d’échantillon attendue fixe pour les modèles avec indépendance a une probabilité proportionnelle à la racine carrée de la variance d’erreur du modèle de chaque unité $\left({\sigma }_i\right)$ (par exemple, Särndal et coll., 1992). Cela est ce qu’on appellera un plan PP $\sigma .$ Le plan PPC $\sigma$ est une généralisation qui permet des coûts unitaires inégaux (Steel et Clark, 2014). Il n’y a pas de résultats analogues sur l’échantillonnage probabiliste optimal pour une prédiction fondée sur un modèle, sauf dans des conditions fortes, une lacune que le présent article comble partiellement. Isaki et Fuller (1982) ont proposé une stratégie estimation-plan, qui consiste à utiliser le plan PP $\sigma$ pour la prédiction fondée sur un modèle. Ils ont montré que ce plan est optimal quand les probabilités de sélection et leurs carrés se trouvent dans l’espace des colonnes de la matrice des covariables. Cette condition a un prix, comme le montrera la simulation réalisée dans l’article.

Des échantillons non probabilistes optimaux ont été dérivés pour les meilleurs prédicteurs linéaires sans biais (BLUP) fondés sur un modèle sous des modèles linéaires. Cela tend à donner des plans quelque peu extrêmes, où l’on choisit les unités ayant les valeurs les plus grandes, ou les valeurs les plus grandes et les plus petites, parmi les variables auxiliaires (par exemple, Royall, 1970). Des plans équilibrés robustes fondés sur un modèle ont été élaborés. Dans ces plans, un ou plusieurs moments d’échantillonnage des variables auxiliaires sont égaux aux moments de population correspondants (Royall et Herson, 1973), tandis que les « plans suréquilibrés » respectent une contrainte différente en matière de moments d’échantillonnage (Scott et coll., 1978). Un autre modèle équilibré a été proposé par Kott (1986). Ces modèles sont robustes pour les familles de solutions polynomiales autres qu’un modèle linéaire de travail. Il ne s’agit pas de plans probabilistes, bien que certains aient proposé des plans probabilistes pour respecter approximativement les contraintes d’équilibre (Valliant et coll., 2000, section 3.4). Des plans probabilistes équilibrés exactement ont également été proposés (Tillé, 2006). Le choix d’une stratégie d’équilibrage ou de suréquilibrage dépend de l’ensemble de solutions polynomiales qui est postulé. Dans une autre approche non probabiliste, Welsh et Wiens (2013) trouvent l’échantillon qui réduit au minimum la variance maximale fondée sur un modèle dans le voisinage d’un modèle de travail.

Le présent article calcule une borne supérieure asymptotique pour la VA du BLUP sous un échantillonnage probabiliste. La VA est la quantité la plus pertinente pour le plan de sondage probabiliste, même dans le cadre fondé sur un modèle, car le calcul de la moyenne sur tous les échantillons possibles convient avant la sélection de l’échantillon. La borne s’applique à tout plan de sondage probabiliste et se situe dans l’espace des ensembles de covariables possibles. Cela est utile pour le plan de sondage en pratique, étant donné qu’on ne décide pas précisément du modèle qui sera utilisé avant la fin de la collecte des données. Par exemple, certaines variables du plan de sondage pourraient ne pas être incluses dans le modèle si les données de l’échantillon donnent à penser qu’elles sont peu pertinentes pour la variable dont le total est estimé, mais on ne peut pas le savoir avec certitude avant la réalisation de l’enquête. On peut aussi utiliser des splines, pour lesquelles le nombre et l’emplacement des nœuds seront déterminés en fonction des données de l’échantillon. Il apparaît que la borne supérieure est la BIGJ. Cela signifie que les plans assistés par un modèle, comme PP $\sigma$ et PPC $\sigma ,$ sont des stratégies minimax pour l’estimation fondée sur un modèle. La borne supérieure est une égalité quand le modèle a une propriété particulière, qui est satisfaite si le modèle est suffisamment riche et comprend toutes les variables du plan de sondage.

D’autres chercheurs se sont penchés sur la relation entre le BLUP et l’estimateur par la régression généralisée assisté par un modèle, y compris des conditions dans lesquelles ces deux estimateurs sont identiques (par exemple, Isaki et Fuller, 1982; Tam, 1988) et des modifications apportées au BLUP de façon à ce qu’il soit équivalent à l’estimateur par la régression généralisée aux dépens de son optimalité selon le modèle (par exemple, Brewer, Hanif et Tam, 1988; Brewer, 1999; Nedyalkova et Tillé, 2008). Les résultats donnés ici sont nouveaux pour plusieurs raisons.

• Les résultats connus ne tiennent pas compte des situations où à la fois l’enquêteur veut utiliser le BLUP parce qu’il est optimal pour le modèle et où le BLUP et les estimateurs par la régression généralisée ne sont pas égaux. On montre ici que quand les deux estimateurs sont égaux, il s’agit, en un sens, du pire cas pour le BLUP.
• On calcule une expression de la VA du BLUP et on montre explicitement qu’elle est inférieure ou égale à la borne supérieure. Intuitivement, le résultat semble raisonnable, car la BIGJ est atteinte par l’estimateur par la régression généralisée convergent par rapport au plan de sondage, tandis que le BLUP n’est pas assujetti à la contrainte de convergence par rapport au plan de sondage. Toutefois, comme il n’est pas du tout évident d’après l’expression de la VA du BLUP que la borne supérieure s’applique, il est utile d’avoir un résultat explicite.
• Selon l’interprétation, la borne supérieure se situe dans l’espace des choix possibles pour les covariables $x$ du modèle. Par conséquent, la borne supérieure est pertinente quand la personne concevant le plan de sondage ne connaît pas le modèle qui sera finalement adopté après la collecte des données.

La section 2 présente les principaux résultats théoriques. La section 3 confirme et illustre le résultat principal dans une étude par simulations avec une variable d’intérêt $Y$ et deux variables auxiliaires : $x_1$ (continue) et $x_2$ (binaire). La valeur espérée de $Y$ conditionnelle à ces variables est définie par un terme linéaire et un terme sinusoïdal en $x_1.$ Elle ne dépend pas de $x_2.$ Les probabilités de sélection sont une fonction de $x_1$ et $x_2.$ Les BLUP sont calculés à partir du modèle ayant le critère d’information bayésien (CIB) le plus bas à partir d’un ensemble comprenant le modèle linéaire simple en $x_1$ et des splines en $x_1$ de différents degrés, avec et sans $x_2.$ Le ratio de l’erreur quadratique moyenne (EQM) de la prédiction de la simulation du BLUP par rapport à la BIGJ est soit inférieur ou égal à 1, soit légèrement supérieur à 1 dans différentes situations. La section 4 est une discussion.

Une grande partie de la littérature comparant les estimateurs et les inférences assistés par un modèle et fondés sur un modèle s’est surtout intéressée au biais causé par des modèles mal spécifiés quand (a) la fonction moyenne est incorrecte ou (b) certaines variables du plan sont exclues de façon inappropriée. Voir par exemple Hansen, Madow et Tepping (1983) et le travail réalisé sur leur étude par simulations par Valliant et coll. (2000, section 3.4). La simulation de la section 3 prend en considération (a) et (b) dans une certaine mesure, mais ce n’est pas l’objet principal de l’article. Ici, l’objectif est de déterminer si un statisticien qui choisit un plan fondé sur un modèle peut utiliser la BIGJ comme borne supérieure pour la VA aux fins du plan de sondage, plutôt que de trancher entre une inférence fondée sur un modèle et une inférence fondée sur le plan. On suppose qu’un modèle suffisamment bon peut être trouvé au moyen des données de l’échantillon. Ce processus serait facilité si le plan minimise la VA maximale sur l’espace de tous les modèles linéaires. Il est recommandé d’utiliser un plan PP $\sigma$ ou PPC $\sigma$ en cas de grande incertitude sur la forme du modèle final.

• Précédent
• Page principale de l'article
• Suivant