Estimation polynomiale locale pour une moyenne de petit domaine sous échantillonnage informatif
Section 2. Méthodes existantes

• Précédent
• Suivant

Posons que le modèle de population (1.1) vaut pour l’échantillon. Soit ${\overline{X}}_i$ la moyenne de domaine des valeurs $x_{ij}$ de population. L’estimateur EBLUP de ${\mu }_i={\overline{X}}_i^T\beta +v_i$ est alors donné par

$${\widehat{\mu }}_i^{\text{EBLUP}}={\overline{X}}_i^T\widehat{\beta }+{\widehat{v}}_i={\widehat{\gamma }}_i{\overline{y}}_i+{\left({\overline{X}}_i-{\widehat{\gamma }}_i{\overline{x}}_i\right)}^T\widehat{\beta },(2.1)$$

où ${\widehat{\gamma }}_i={\widehat{\sigma }}_v^2/\left({\widehat{\sigma }}_v^2+{\widehat{\sigma }}_e^2/n_i\right),$ ${\overline{y}}_i={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{n_i}{y}_{ij}}/n_i,$ ${\overline{x}}_i={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{n_i}{x}_{ij}}/n_i$ sont les moyennes d’échantillon non pondérées de la variable réponse $y$ et des covariables $x,$ et où ${\widehat{v}}_i={\widehat{\gamma }}_i\left({\overline{y}}_i-{\overline{x}}_i^T\widehat{\beta }\right).$ L’estimateur du vecteur de régression $\beta$ en (1.1) est

$$\widehat{\beta }={\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^M{\displaystyle \sum _{j=1}^{n_i}{x}_{ij}{\left(x_{ij}-{\widehat{\gamma }}_i{\overline{x}}_i\right)}^T}}\right\}}^{-1}\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^M{\displaystyle \sum _{j=1}^{n_i}\left(x_{ij}-{\widehat{\gamma }}_i{\overline{x}}_i\right)}}{y}_{ij}\right\}.(2.2)$$

Nous obtenons les composantes estimées de la variance $\left({\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right)$ par la méthode d’Henderson qui consiste en un ajustement de constantes (HFC) ou en un calcul de maximum de vraisemblance avec contrainte (MVC) (voir Battese et coll., 1988, et Rao et Molina, 2015, chapitre 7). L’estimateur EBLUP de la moyenne de domaine ${\overline{Y}}_i$ peut s’écrire sous la forme ${\widehat{\mu }}_i^{\text{EBLUP}}$ comme

$${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}=\frac{1}{N_i}\left[\left(N_i-n_i\right){\widehat{\mu }}_i^{\text{EBLUP}}+n_i\left\{{\overline{y}}_i+{\left({\overline{X}}_i-{\overline{x}}_i\right)}^T\widehat{\beta }\right\}\right].(2.3)$$

À noter que ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}\approx {\widehat{\mu }}_i^{\text{EBLUP}}$ si le taux d’échantillonnage $n_i/N_i$ est suffisamment petit. L’estimateur EBLUP ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{EBLUP}}$ s’accorde avec le plan dans le cas d’un échantillonnage aléatoire simple (EAS) ou avec stratification (EASS) avec répartition proportionnelle à l’intérieur du petit domaine $U_i$ et donc en équiprobabilité des $p_{j|i}.$

Pfeffermann et Sverchkov (2007) ont étudié l’estimation de moyenne de petit domaine dans un échantillonnage informatif en posant le modèle suivant pour les données d’échantillon :

$$y_{ij}=x_{ij}^T\alpha +u_i+h_{ij};j=1,\dots ,n_i;i=1,\dots ,M,(2.4)$$

où $u_i\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_u^2\right)$ et $h_{ij}|j\in s_i\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}N\left(0,{\sigma }_h^2\right).$ Ils ont supposé que le poids des unités selon le plan $w_{j|i}={\pi }_{j|i}^{-1}$ est aléatoire avec une espérance conditionnelle

$$\begin{array}{ll}{E}_{si}\left(w_{j|i}|x_{ij},y_{ij},v_i\right)\hfill & =E_{si}\left(w_{j|i}|x_{ij},y_{ij}\right)\hfill \\ \hfill & =k_i\exp \left(x_{ij}^{T}a+d{y}_{ij}\right),(2.5)\hfill \end{array}$$

où $a$ et $d$ sont des constantes fixes inconnues et où

$$k_i=\frac{N_i}{n_i}\left\{{\displaystyle \sum _{j=1}^{N_i}\exp \left(-x_{ij}^{T}a-d{y}_{ij}\right)/N_i}\right\}.$$

L’estimateur de ${\overline{Y}}_i$ de Pfeffermann et Sverchkov (2007) protège contre l’échantillonnage informatif dans l’éventualité que cette hypothèse se vérifie. L’estimateur est donné par

$${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{PS}}=\frac{1}{N_i}\left[\left(N_i-n_i\right){\widehat{\mu }}_{iu}^{\text{EBLUP}}+n_i\left\{{\overline{y}}_i+{\left({\overline{X}}_i-{\overline{x}}_i\right)}^T\widehat{\alpha }\right\}+\left(N_i-n_i\right)\widehat{d}{\widehat{\sigma }}_h^2\right],(2.6)$$

où ${\widehat{\mu }}_{iu}^{\text{EBLUP}}={\overline{X}}_i^T\widehat{\alpha }+{\widehat{u}}_i$ est l’estimateur EBLUP de ${\mu }_{iu}={\overline{X}}_i^T\alpha +u_i$ dans le modèle d’échantillon en (2.4) et où $\widehat{d}$ est un estimateur de $d$ dans le modèle en (2.5) pour les poids $w_{j|i}.$ Le dernier terme en (2.6) corrige tout biais dû à l’échantillonnage informatif en (2.5). Pfeffermann et Sverchkov (2007) ont obtenu l’estimateur $\widehat{d}$ de $d$ en (2.5) par une régression des poids d’échantillonnage $w_{j|i}$ sur $k_i\exp \left(x_{ij}^{T}a+d{y}_{ij}\right).$ Nous pouvons estimer les coefficients $k_i,$ $a$ et $d$ par ajustement du modèle (2.5) à l’aide de la procédure NLIN en SAS ou de la fonction nls en Splus. Les calculs sont itératifs et les valeurs initiales de $a$ et $d$ s’obtiennent par une régression de $\log \left(w_{j|i}\right)$ sur $x_{ij}$ et $y_{ij}.$ Les valeurs initiales pour ${\widehat{k}}_i,$ $i=1,\dots ,M$ se prennent comme $k_i=N_i/n_i.$

Nous obtenons l’estimateur de Verret et coll. (2015) lorsque nous appliquons la théorie EBLUP au modèle en (1.2). Soit $x_{ij}^{\text{aug}}={\left(x_{ij}^T,g\left(p_{j|i}\right)\right)}^T$ le vecteur $x_{ij}$ augmenté de la variable $g\left(p_{j|i}\right)$ et soit ${\overline{G}}_i$ la moyenne de domaine des valeurs de population $g\left(p_{j|i}\right)$ et ${\mu }_{0i}={\overline{X}}_i^T{\beta }_0+{\overline{G}}_i{\delta }_0+v_{0i}.$ L’estimateur EBLUP de ${\mu }_{0i}$ est donné par

$${\widehat{\mu }}_{0i}^{\text{EBLUP}}={\overline{X}}_i^T{\widehat{\beta }}_0+{\overline{G}}_i{\widehat{\delta }}_0+{\widehat{v}}_{0i}={\widehat{\gamma }}_{0i}{\overline{y}}_i+{\left({\overline{X}}_i-{\widehat{\gamma }}_{0i}{\overline{x}}_i\right)}^T{\widehat{\beta }}_0+\left({\overline{G}}_i-{\widehat{\gamma }}_{0i}{\overline{g}}_i\right){\widehat{\delta }}_0,(2.7)$$

où ${\widehat{\gamma }}_{0i}={\widehat{\sigma }}_{0v}^2/\left({\widehat{\sigma }}_{0v}^2+{\widehat{\sigma }}_{0e}^2/n_i\right),$ ${\overline{g}}_i={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{n_i}g\left(p_{j|i}\right)/n_i}$ et ${\widehat{v}}_{0i}={\widehat{\gamma }}_{0i}\left({\overline{y}}_i-{\overline{x}}_i^T{\widehat{\beta }}_0-{\overline{g}}_i{\widehat{\delta }}_0\right).$ Nous estimons les paramètres $\left({\beta }_0,{\delta }_0\right)$ par

$${\left({\widehat{\beta }}_0^T,{\widehat{\delta }}_0\right)}^T={\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^M{\displaystyle \sum _{j=1}^{n_i}{x}_{ij}^{\text{aug}}{\left(x_{ij}^{\text{aug}}-{\widehat{\gamma }}_{0i}{\overline{x}}_i^{\text{aug}}\right)}^T}}\right\}}^{-1}\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^M{\displaystyle \sum _{j=1}^{n_i}\left(x_{ij}^{\text{aug}}-{\widehat{\gamma }}_{0i}{\overline{x}}_i^{\text{aug}}\right)}}{y}_{ij}\right\},(2.8)$$

avec ${\overline{x}}_i^{\text{aug}}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{n_i}{x}_{ij}^{\text{aug}}}/n_i={\left({\overline{x}}_i^T,{\overline{g}}_i\right)}^T.$ Nous estimons les paramètres de modèle $\left({\widehat{\sigma }}_{0v}^2,{\widehat{\sigma }}_{0e}^2\right)$ par la méthode HFC ou MVC. L’estimateur de la moyenne de domaine ${\overline{Y}}_i,$ qui est désigné par ${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH}},$ peut s’écrire sous la forme ${\widehat{\mu }}_{0i}^{\text{EBLUP}}$ comme

$${\widehat{\overline{Y}}}_i^{\text{VRH}}=\frac{1}{N_i}\left[\left(N_i-n_i\right){\widehat{\mu }}_{0i}^{\text{EBLUP}}+n_i\left\{{\overline{y}}_i+{\left({\overline{X}}_i-{\overline{x}}_i\right)}^T{\widehat{\beta }}_0+{\left({\overline{G}}_i-{\overline{g}}_i\right)}^T{\widehat{\delta }}_0\right\}\right].(2.9)$$

• Précédent
• Page principale de l'article
• Suivant