Estimation du niveau et de la variation du chômage au moyen de modèles de séries chronologiques structurels
Section 5. Résultats

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Les résultats obtenus avec les représentations de séries chronologiques espace-état et multiniveaux des MSCS sont décrits aux sous-sections 5.1 et 5.2, respectivement. Premièrement, on définit deux mesures des divergences pour évaluer et comparer les différents modèles. La première mesure est le biais relatif moyen (BRM), qui résume les différences entre les estimations du modèle et les estimations directes moyennes sur la période, en pourcentage de ces dernières. Pour un modèle donné $M,$ le ${\text{BRM}}_i$ est défini comme étant

$${\text{BRM}}_i=\frac{{\displaystyle {\sum }_t\left({\widehat{\theta }}_{it}^M-{\tilde{\overline{Y}}}_{it.}\right)}}{{\displaystyle {\sum }_t{\tilde{\overline{Y}}}_{it.}}}\times 100\%,(5.1)$$

où ${\tilde{\overline{Y}}}_{it\mathrm{.}}$ sont les estimations directes par province et par mois incorporant l’ajustement du biais de renouvellement par le quotient mentionné à la fin de la section 3. Cette mesure de référence montre pour chaque province dans quelle mesure les estimations fondées sur un modèle s’écartent des estimations directes. Les divergences ne devraient pas être trop grandes, car on peut s’attendre à ce que les estimations directes moyennes sur la période soient proches du véritable niveau moyen du chômage. La deuxième mesure de la divergence est la réduction relative des erreurs-types (RRET); elle mesure les pourcentages de réduction des erreurs-types estimées entre les estimations fondées sur un modèle et les estimations directes, à savoir

$${\text{RRET}}_i=100\%\times \frac{1}{m_T}{\displaystyle \sum _t\left(\text{et}\left({\tilde{\overline{Y}}}_{it.}\right)-\text{et}\left({\widehat{\theta }}_{it}^M\right)\right)/\text{et}\left({\tilde{\overline{Y}}}_{it.}\right),}(5.2)$$

pour un modèle donné $M.$ Ici, les erreurs-types estimées pour les estimations directes découlent d’une approximation de la variance pour ${\tilde{\overline{Y}}}_{it\mathrm{.}},$ alors que les erreurs-types fondées sur un modèle sont des écarts-types a posteriori ou découlent du filtre/lisseur de Kalman. Les écarts-types a posteriori, les erreurs-types obtenues au moyen du filtre de Kalman et les erreurs-types des estimateurs directs proviennent de différents cadres et sont formellement exprimées comme non comparables. On les utilise dans (5.2) pour quantifier la réduction par rapport à l’estimateur direct seulement, mais non comme critères de sélection du modèle.

5.1  Résultats des modèles espace-état

Dix modèles espace-état différents sont comparés. Quatre modèles de tendance différents sont distingués. La première composante de tendance est un modèle de tendance lisse sans corrélation entre les domaines (4.3), abrégée T1. Le deuxième modèle de tendance, T2, est un modèle de tendance lisse (4.3) avec matrice de corrélation complète pour les perturbations de la pente (4.9). La troisième composante de tendance, le T3, est un modèle de tendance lisse commun à toutes les provinces, avec 11 modèles de tendance d’échelle locale pour l’écart des domaines par rapport à cette tendance globale ((4.10) en combinaison avec (4.11)). Le quatrième modèle de tendance, le T4, est un modèle de tendance lisse commun à toutes les provinces, avec 11 modèles de tendance lisse pour l’écart des domaines par rapport à cette tendance globale ((4.10) en combinaison avec (4.3)). Dans T3 et T4, la province de Groningen est considérée comme égale à la tendance globale. La composante du biais de renouvellement (4.4) peut être propre au domaine (ce qui est indiqué par la lettre « R » dans le nom du modèle) ou choisie comme étant égale pour tous les domaines (pas de « R » dans le nom du modèle). Une autre façon de simplifier consiste à supposer que le biais de renouvellement pour les vagues 2, 3, 4 et 5 est égal, mais propre au domaine (ce qui est indiqué par « R2 »). De même, la composante saisonnière peut être choisie comme étant propre au domaine (ce qui est indiqué par « S ») ou égale pour tous les domaines. Tous les modèles partagent la même composante pour l’erreur d’enquête, c’est-à-dire un modèle AR(1) avec des coefficients d’autocorrélation variables dans le temps pour les vagues 2 à 5 afin que soit modélisée l’autocorrélation dans les erreurs d’enquête. Les modèles espace-état suivants sont comparés :

Pour tous les modèles, les estimations par le MV pour les hyperparamètres du biais de renouvellement et les effets saisonniers tendent à zéro, ce qui implique que ces composantes sont invariantes dans le temps. De plus, les estimations par le MV des composantes de la variance du bruit blanc des paramètres du domaine de la population tendent à zéro. C’est pourquoi cette composante est supprimée du modèle (4.2). Les estimations par le MV des composantes de la variance des erreurs d’enquête de la première vague varient entre 0,93 et 1,90. Pour les vagues de suivi, les estimations par le MV varient entre 0,86 et 1,80. Les variances des estimations directes sont regroupées dans les domaines (3.2), ce qui pourrait introduire un biais, par exemple la sous-estimation de la variance dans les domaines où les taux de chômage sont élevés. Il est nécessaire d’échelonner les variances des erreurs d’enquête avec les estimations par le MV ${\sigma }_{{\nu }_{ip}}^2$ pour corriger ce biais. Les estimations par le MV des hyperparamètres pour les composantes de tendance se trouvent dans Boonstra et van den Brakel (2016).

Les modèles sont comparés par des fonctions de log-vraisemblance. Pour tenir compte des différences de complexité des modèles, on utilise des critères d’information d’Akaike (AIC) et des critères d’information bayésiens (BIC), voir Durbin et Koopman (2012), section 7.4. Les résultats sont synthétisés dans le tableau 5.1. Des modèles parcimonieux dans lesquels les effets saisonniers ou le biais de renouvellement sont égaux dans tous les domaines sont privilégiés par les critères AIC et BIC. Notons toutefois que les log-vraisemblances ne sont pas entièrement comparables entre modèles. Pour obtenir des vraisemblances comparables, on ignore les 24 premiers mois de la série dans le calcul de la vraisemblance pour tous les modèles. Néanmoins, certaines vraisemblances sont étranges. Par exemple, la vraisemblance de T2SR est plus petite que la vraisemblance de T2S, bien que T2SR comprenne plus de paramètres de modèle. Cela résulte probablement de la combinaison de modèles de séries chronologiques grands et complexes avec des séries chronologiques relativement courtes, ce qui donne lieu à des fonctions de vraisemblance plates. De ce point de vue également, les modèles parcimonieux évitant les surajustements sont toujours favorables, ce qui est conforme aux résultats des valeurs AIC et BIC du tableau 5.1.

La modélisation des corrélations entre les perturbations de pente de la tendance améliore considérablement le modèle. Le modèle T1SR, par exemple, est emboîté dans le modèle T2SR et un test du rapport de vraisemblance favorise clairement ce dernier. Pour le modèle T2SR, il s’ensuit qu’on peut modéliser la dynamique des tendances de ces 12 domaines au moyen de seulement 2 tendances communes sous-jacentes, puisque le rang de la matrice de covariance $12\times 12$ est égal à 2. Par conséquent, la matrice de covariance complète pour les perturbations de la pente des 12 domaines est en fait modélisée avec 23 hyperparamètres au lieu de 78. Cela montre que les corrélations entre les perturbations de pente sont très fortes. En effet, les corrélations varient entre 1,00 et 0,98. Voir Boonstra et van den Brakel (2016) pour les estimations par le MV de la matrice de covariance complète.

Le tableau 5.2 présente le BRM, défini par (5.1). Les modèles qui supposent que le biais de renouvellement est égal dans tous les domaines, c’est-à-dire T2S et T3, ont des biais relatifs importants pour certains des domaines. On constate des biais élevés dans les domaines où le chômage est élevé (par exemple, Groningue) ou faible (par exemple, Utrecht) comparativement à la moyenne nationale. Un compromis possible entre la parcimonie et le biais consiste à supposer que le biais de renouvellement est égal pour les quatre vagues de suivi, mais toujours propre au domaine (T3R2). Pour ce modèle, le biais est faible, sauf dans la province de Gelderland.

La figure 5.1 compare les tendances lisses et les erreurs-types des modèles T1SR, T2SR et T2S. La figure 5.2 compare l’évolution d’un mois à l’autre de la tendance et les erreurs-types pour ces trois modèles. Les tendances lisses obtenues par le modèle de tendance commun sont légèrement plus souples comparativement à un modèle sans corrélation entre les perturbations de la pente. On le constate manifestement dans la variation d’un mois à l’autre des tendances. La modélisation de la corrélation entre les perturbations de pente réduit clairement l’erreur-type de la tendance et la variation de la tendance d’un mois à l’autre. Le fait de supposer que le biais de renouvellement est égal pour tous les domaines (modèle T2S) a une incidence sur le niveau de la tendance et réduit davantage l’erreur-type, principalement parce que le nombre de variables d’état est réduit. La différence entre la tendance dans T2SR et T2S est une variation de niveau. Cela découle des variations de la tendance d’un mois à l’autre dans les modèles T2SR et T2S, qui sont exactement égales. Selon les critères AIC et BIC, la réduction du nombre de variables d’état quand on suppose un biais de renouvellement égal pour tous les domaines constitue une amélioration du modèle. Cependant, dans cette application, l’intérêt est axé sur le modèle ajusté aux domaines distincts. Le fait de supposer que le biais de renouvellement est égal dans tous les domaines est efficace en moyenne pour les mesures globales d’adéquation de l’ajustement, comme AIC et BIC, mais pas nécessairement pour tous les domaines distincts. Le biais introduit dans les tendances de certains domaines quand on suppose que le biais de renouvellement est égal sur les domaines n’est pas souhaitable.

La figure 5.3 compare les tendances lisses et les erreurs-types des modèles T2SR, T3SR et T4SR. L’évolution de la tendance d’un mois à l’autre et es erreurs-types se trouvent dans Boonstra et van den Brakel (2016). Les tendances obtenues avec une tendance lisse globale plus 11 tendances pour les écarts de domaine par rapport à la tendance globale ressemblent aux tendances obtenues avec le modèle de tendance commun. Dans cette application, la dynamique fondée sur les deux tendances communes du modèle T2SR est raisonnablement bien établie approximativement par les autres tendances des modèles T3SR et T4SR. Il s’agit d’une constatation empirique qui n’est pas nécessairement généralisable à d’autres situations, surtout lorsque plus de facteurs communs sont requis. Toutefois, le modèle de tendance commun comporte les plus petites erreurs-types pour la tendance. De plus, les tendances du modèle avec une échelle locale pour les écarts de domaine par rapport à la tendance globale sont dans certains domaines plus volatiles que les deux autres modèles. Cela est particulièrement évident dans les variations de la tendance d’un mois à l’autre. En général, les modèles de tendance avec niveaux aléatoires se caractérisent par des tendances plus volatiles, voir Durbin et Koopman (2012), chapitre 3. Le modèle de tendance plus souple de T3 produit également une erreur-type plus élevée des variations d’un mois à l’autre.

Le fait de supposer que les effets saisonniers sont égaux pour tous les domaines est une autre façon de réduire le nombre de variables d’état et d’éviter de surajuster les données. Cette hypothèse n’influe pas sur le niveau de la tendance puisque le BRM est petit (voir le tableau 5.2) et produit une amélioration importante du modèle selon les critères AIC et BIC. Particulièrement quand l’intérêt porte sur les estimations de tendance, un biais dans les profils saisonniers est acceptable, et un modèle ayant une tendance fondée sur T2 ou T4, avec une composante saisonnière supposée égale dans tous les domaines pourrait être un bon compromis entre un modèle qui prend suffisamment en compte les différences entre domaines et la parcimonie du modèle pour éviter le surajustement des données.

Le modèle T3 est le modèle le plus parcimonieux qui soit, selon les critères AIC et BIC. En particulier, l’hypothèse d’un biais de renouvellement égal donne des estimations de tendance biaisées dans certains domaines (voir le tableau 5.2). Voir Boonstra et van den Brakel (2016) pour une comparaison de la tendance et de l’évolution d’un mois à l’autre de la tendance des modèles T2R, T3 et T4R. En supposant que les effets saisonniers sont égaux dans tous les domaines, on obtient un profil saisonnier moins prononcé. Voir Boonstra et van den Brakel (2016) pour une comparaison des signaux des modèles T2SR et T2R.

Boonstra et van den Brakel (2016) donne les résultats de la variation d’une année à l’autre des tendances dans les modèles T2R et T3R2. Les estimations de séries chronologiques pour la variation d’une année à l’autre sont très stables et précises et elles améliorent grandement les estimations directes de la variation d’une année à l’autre.

Le tableau 5.3 montre la RRET, définie par (5.2), pour les 10 modèles espace-état. Gardons à l’esprit que la RRET quantifie la réduction par rapport à l’estimateur direct et qu’elle n’est pas un critère de sélection du modèle. Le tableau 5.4 présente les moyennes des erreurs-types du signal, de la tendance et de la croissance (différences de tendance d’un mois à l’autre). La moyenne est calculée pour tous les mois et toutes les provinces. La modélisation de la corrélation entre les tendances explicitement (T2) ou implicitement (T3 ou T4) réduit significativement les erreurs-types pour la tendance et le signal. L’approche de la modélisation de séries chronologiques est particulièrement adaptée à l’estimation des variations d’un mois à l’autre par la composante de la tendance. La précision des variations d’un mois à l’autre dépend toutefois fortement du choix du modèle de tendance. Un modèle de tendance à l’échelle locale (T3) donne des tendances plus volatiles et présente une erreur-type nettement plus grande pour la variation d’un mois à l’autre. Les modèles parcimonieux où l’on suppose que les composantes saisonnières ou le biais de renouvellement sont égaux dans les domaines ont pour résultat d’autres fortes réductions des erreurs-types au prix de l’introduction d’un biais dans la tendance ou les profils saisonniers.

5.2  Résultats des modèles multiniveaux

Les 10 modèles T1SR à T4R, des pages 436-437, ajustés comme modèle espace-état au moyen du filtre de Kalman, ont également été ajustés au moyen d’une approche bayésienne multiniveau à l’aide d’un échantillonneur Gibbs. Voir Boonstra et van den Brakel (2016) pour une description détaillée des matrices du plan d’expérience à effet fixe, des matrices du plan d’expérience à effet aléatoire et des matrices de précision correspondant à ces modèles. L’approche bayésienne tient compte de l’incertitude des hyperparamètres en considérant leurs distributions a posteriori, ce qui implique que les paramètres de variance ne deviennent en fait pas nuls, comme cela se produit fréquemment pour les estimations par le MV dans la méthode espace-état. Cependant, à des fins de comparaison, les effets absents du modèle espace-état en raison d’estimations par le MV nulles ont également été supprimés dans les modèles multiniveaux correspondants. En plus de ces 10 modèles, nous considérons un autre modèle ayant des termes supplémentaires, notamment une composante dynamique de biais de renouvellement et un terme de bruit blanc.

Les différences entre les estimations des modèles espace-état et multiniveaux fondées sur les 10 modèles considérés peuvent s’expliquer par :

• les différentes méthodes d’estimation, MV par rapport à MCMC;
• la modélisation différente des erreurs d’enquête. Dans les modèles multiniveaux, on suppose que la matrice de covariance des erreurs d’enquête est $\Sigma \mathrm{<mo>=</mo>}{\oplus }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{m_A}{\lambda }_i{\Phi }_i$ avec ${\Phi }_i$ la matrice de covariance des variances par rapport au plan estimées pour les estimations initiales de la province $i,$ et les facteurs d’échelle ${\lambda }_i,$ un par province. Dans les modèles espace-état, les erreurs d’enquête sont autorisées à dépendre d’un plus grand nombre de paramètres, bien que, finalement, un modèle AR(1) soit utilisé pour l’estimation de ces dépendances;
• les paramétrisations légèrement différentes des composantes de la tendance. Par exemple, en ce qui concerne la tendance du modèle T3, la province de Groningen se distingue par le modèle espace-état utilisé, car aucune composante d’échelle locale n’est ajoutée pour cette province.

Les estimations et, dans une moindre mesure, les erreurs-types fondées sur les modèles multiniveaux sont très semblables aux résultats obtenus au moyen des modèles espace-état. Nous le montrons seulement pour les signaux lissés du modèle T2R à la figure 5.4, car les différences qualitatives entre les résultats des modèles espace-état et multiniveaux sont assez convergents dans tous les modèles. Boonstra et van den Brakel (2016) présentent d’autres comparaisons des signaux, des tendances et des développements d’un mois à l’autre pour les modèles T2R et T3R2.

Les petites différences entre les estimations de signaux des modèles espace-état et multiniveaux sont attribuables à des tendances légèrement plus souples dans les modèles multiniveaux estimés. On observe des différences plus grandes dans les erreurs-types du signal : les modèles multiniveaux produisent presque toujours des erreurs-types plus grandes pour les provinces au taux de chômage élevé (Flevoland et Zuid-Holland dans la figure), alors que pour les provinces au taux de chômage plus faible (par exemple, Zeeland), les différences sont un peu moins prononcées.

La plus grande souplesse des tendances du modèle multiniveau est fort probablement attribuable à l’incertitude relativement grande sur les paramètres de variance pour la tendance, qui est prise en compte dans l’approche bayésienne multiniveau, mais ignorée dans l’approche du MV des modèles espace-état. Les distributions a posteriori pour les paramètres de la variance de la tendance présentent également un léger étalement à droite. Les moyennes a posteriori des écarts-types sont toujours plus grandes que les estimations par le MV des hyperparamètres correspondants des modèles espace-état (comparer le tableau 2 et le tableau 8 dans Boonstra et van den Brakel (2016)). Pour les modèles ayant la tendance T2, c’est-à-dire avec matrice de covariance entièrement paramétrée sur toutes les provinces, les modèles multiniveaux montrent des corrélations positives entre les provinces, tout comme les estimations par le MV du modèle espace-état, mais ces dernières sont nettement plus concentrées près de 1, alors que les moyennes a posteriori des corrélations dans le modèle multiniveau correspondant T2SR se situent toutes entre 0,45 et 0,8.

Le tableau 5.5 contient les valeurs du critère de sélection du modèle à critère d’information de déviance (DIC) (Spiegelhalter, Best, Carlin et van der Linde, 2002), le nombre réel associé de paramètres du modèle $p_{\text{eff}}$ et la moyenne a posteriori de la log-vraisemblance. Le modèle parcimonieux T3 est le modèle le plus favorable selon le critère DIC. Donc, dans ce cas, le critère DIC sélectionne le même modèle que celui sélectionné par les critères AIC et BIC dans les modèles espace-état. Le critère DIC présente l’avantage d’utiliser un nombre réel de paramètres de modèle en fonction de la taille des effets aléatoires, plutôt que seulement le nombre de paramètres de modèle utilisés dans AIC et BIC. Cela dit, les nombres $p_{\text{eff}}$ correspondent aux totaux des nombres d’états et d’hyperparamètres du tableau 5.1 pour les modèles espace-état.

Comme dans les modèles espace-état, le modèle parcimonieux T3 s’accompagne d’un biais moyen plus grand dans le temps pour les provinces de Groningen et Flevoland, qui présentent les taux de chômage les plus élevés. Le modèle T3R2 a des biais moyens nettement plus faibles pour les provinces de Groningen et Flevoland et, comme la valeur de son critère DIC n’est pas beaucoup plus élevée que dans le modèle T3, le modèle T3R2 semble être un bon compromis entre les modèles T3 et T3R, car il est plus parcimonieux que T3R et qu’il respecte mieux les différences provinciales que T3.

Le tableau 5.6 présente les erreurs-types moyennes pour le signal, la tendance et les différences d’un mois à l’autre de la tendance, comparativement à la moyenne des estimations directes. La moyenne est calculée pour tous les mois et toutes les provinces. Encore une fois, les résultats ressemblent à ceux obtenus au moyen des modèles espace-état (voir le tableau 5.4), bien que les erreurs-types des variations d’un mois à l’autre soient plus grandes dans les modèles multiniveaux.

Enfin, un modèle multiniveau fondé sur le modèle T3R2, mais avec des effets aléatoires supplémentaires, a été ajusté aux données. Ce modèle étendu comprend un terme de bruit blanc, un effet saisonnier nominal équilibré (équivalent à la composante saisonnière trigonométrique) et une composante dynamique de biais de renouvellement. On a constaté que ces composantes étaient absentes ou indépendantes du temps dans l’approche espace-état en raison d’estimations d’hyperparamètres par le MV nulles. C’est pourquoi elles n’ont pas été incluses dans les modèles multiniveaux examinés jusqu’à maintenant. De plus, le modèle multiniveau étendu comprend des effets aléatoires saisonniers par province, comme compromis entre des effets saisonniers provinciaux fixes et l’absence totale d’effet d’interaction de ce type. Boonstra et van den Brakel (2016) présentent plus de détails et de chiffres comparant les résultats d’estimation donnés par ce modèle étendu à ceux des modèles multiniveaux T3R2 et T3SR. On a constaté que la plupart des effets aléatoires supplémentaires étaient petits, de sorte que les estimations fondées sur le modèle étendu sont assez proches des estimations fondées sur le modèle T3R2, et que les erreurs-types estimées ne sont que légèrement plus grandes que celles du modèle T3R2. On a trouvé une valeur de DIC de -29 260, soit une valeur bien inférieure à celle du DIC du modèle T3R2. On a constaté que cette amélioration du DIC était presque entièrement causée par la composante dynamique du biais de renouvellement. Apparemment, la modélisation du biais de renouvellement comme dépendant du temps donne un meilleur ajustement. Ce résultat semble concorder avec les variations temporelles des différences entre les estimations par la régression d’enquête de la première vague et des vagues de suivi, présentées dans figure 3 de Boonstra et van den Brakel (2016).

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