Estimation du niveau et de la variation du chômage au moyen de modèles de séries chronologiques structurels
Section 3. Estimations initiales

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Soit ${\widehat{\overline{Y}}}_{itp}$ l’estimation initiale de $Y_{it}$ fondée sur les données de la vague $p.$ Les estimations initiales utilisées comme données d’entrée des modèles sur petits domaines des séries chronologiques sont des estimations par la régression des données d’enquête (Woodruff, 1966; Battese et coll., 1988; Särndal et coll., 1992).

$${\widehat{\overline{Y}}}_{itp}={\overline{y}}_{itp}+{\widehat{\beta }}_{tp}^{\prime }\left({\overline{X}}_{it}-{\overline{x}}_{itp}\right)\mathrm{,}(3.1)$$

où ${\overline{y}}_{itp},$ ${\overline{x}}_{itp}$ désigne les moyennes d’échantillon, ${\overline{X}}_{it}$ est le vecteur des moyennes de population des covariables $x,$ et ${\widehat{\beta }}_{tp}$ sont les coefficients de régression estimés. Les coefficients sont estimés séparément pour chaque période et chaque vague, mais ils se basent sur les échantillons nationaux combinant des données de toutes les régions. L’estimateur par la régression des données d’enquête est un estimateur approximativement sans biais sous le plan pour les paramètres de population qui, comme l’estimateur GREG, utilise des données auxiliaires pour réduire le biais de non-réponse. Voir Boonstra et van den Brakel (2016) pour de plus amples renseignements sur le modèle choisi de calcul des estimations par la régression des données d’enquête. Bien que les estimations de coefficient par la régression dans (3.1) ne soient pas selon le domaine, l’estimateur par la régression des données d’enquête est un estimateur de domaine direct dans le sens où il est principalement basé sur les données obtenues dans un domaine et un mois en particulier, et qu’il a par conséquent des erreurs-types inacceptablement élevées en raison de la petite taille des échantillons mensuels de domaine.

Les estimations initiales pour les différentes vagues donnent systématiquement lieu à des différences dans les estimations du chômage, généralement appelées biais de renouvellement (BR) (Bailar, 1975). Les estimations initiales du chômage pour les vagues 2 à 5 sont systématiquement plus petites que celles de la première vague. Ce biais de renouvellement peut s’expliquer par plusieurs causes, dont la sélection, le mode et les effets de panel (van den Brakel et Krieg, 2009). Voir Boonstra et van den Brakel (2016) pour plus de détails et des illustrations graphiques.

Les modèles de séries chronologiques nécessitent également des estimations de la variance correspondant aux estimations initiales. Nous utilisons les estimations lissées transversales suivantes des variances par rapport au plan des estimations par la régression des données d’enquête,

$v\left({\widehat{\overline{Y}}}_{itp}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n_{itp}}\frac{1}{\left(n_{tp}-m_A\right)}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{m_A}\left(n_{itp}-1\right){\widehat{\sigma }}_{itp}^2}\equiv {\widehat{\sigma }}_{tp}^2/n_{itp},$    avec    ${\widehat{\sigma }}_{itp}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{\left(n_{itp}-1\right)}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{n_{itp}}{\widehat{e}}_{ijtp}^2}\mathrm{.}(3.2)$

Ici $m_A$ désigne le nombre de domaines, $n_{itp}$ est le nombre de répondants dans le domaine $i,$ la période $t$ et la vague $p,$ $n_{tp}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{m_A}{n}_{itp}},$ et ${\widehat{e}}_{ijtp}$ sont des résidus de l’estimateur par la régression des données d’enquête. Les variances à l’intérieur du domaine ${\widehat{\sigma }}_{itp}^2$ sont regroupées dans les domaines pour obtenir des approximations de variance plus stables. On peut aussi motiver l’utilisation de (3.2) de la façon suivante. Il faut garder à l’esprit que le plan d’échantillonnage est autopondéré. Le calcul des variances à l’intérieur du domaine ${\widehat{\sigma }}_{itp}^2$ tient donc approximativement compte de la stratification, qui est une variable régionale légèrement plus détaillée que la province. L’approximation de la variance tient également compte du calage et de la correction de la non-réponse, puisque les variances à l’intérieur du domaine sont calculées par rapport aux résidus de l’estimateur par la régression des données d’enquête. L’approximation de la variance ne tient pas explicitement compte de la corrélation intra-grappe de personnes au sein des ménages. Toutefois, la corrélation intra-grappe du chômage est faible. De plus, le chômage enregistré est utilisé comme covariable dans l’estimateur par la régression des données d’enquête. Comme cette covariable explique une grande part de la variation du chômage, la corrélation intra-grappe entre résidus est encore plus réduite.

Le plan de sondage entraîne plusieurs corrélations non nulles dans les estimations initiales pour une même province et différentes périodes et vagues. Ces corrélations sont attribuables au chevauchement partiel des ensembles d’unités d’échantillonnage sur lesquels les estimations se fondent. De telles corrélations existent entre les estimations pour une même province dans les mois $t_1\mathrm{,}{t}_2$ et fondées sur les vagues $p_1\mathrm{,}{p}_2$ chaque fois que $t_2-t_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 3}\left(p_2-p_1\right)\le 12.$ Les covariances entre ${\widehat{\overline{Y}}}_{i{t}_1{p}_1}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_{i{t}_2{p}_2}$ sont estimées comme étant (voir par exemple, Kish (1965))

$$v\left({\widehat{\overline{Y}}}_{i{t}_1{p}_1}\text{}\mathrm{,}{\widehat{\overline{Y}}}_{i{t}_2{p}_2}\right)=\frac{n_{i{t}_1{p}_1{t}_2{p}_2}}{\sqrt{n_{i{t}_1{p}_1}{n}_{i{t}_2{p}_2}}}{\widehat{\rho }}_{t_1{p}_1{t}_2{p}_2}\sqrt{v\left({\widehat{\overline{Y}}}_{i{t}_1{p}_1}\right)v\left({\widehat{\overline{Y}}}_{i{t}_2{p}_2}\right)}\mathrm{,}(3.3)$$

avec

$${\widehat{\rho }}_{t_1{p}_1{t}_2{p}_2}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{\left(n_{t_1{p}_1{t}_2{p}_2}-m_A\right)}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{m_A}}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{n_{i{t}_1{p}_1{t}_2{p}_2}}}{\widehat{e}}_{ij{t}_1{p}_1}{\widehat{e}}_{ij{t}_2{p}_2}\mathrm{,}$$

où $n_{i{t}_1{p}_1{t}_2{p}_2}$ est le nombre d’unités dans le chevauchement, c’est-à-dire le nombre d’observations sur les mêmes unités dans le domaine $i$ entre les combinaisons de période et de vague $\left(t_1\mathrm{,}{p}_1\right)$ et $\left(t_2\mathrm{,}{p}_2\right),$ et $n_{t_1{p}_1{t}_2{p}_2}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{m_A}{n}_{i{t}_1{p}_1{t}_2{p}_2}}.$ Le coefficient d’(auto)corrélation estimé ${\widehat{\rho }}_{t_1{p}_1{t}_2{p}_2}$ est calculé comme étant la corrélation entre les résidus des modèles de régression linéaire qui sous-tendent les estimateurs par la régression des données d’enquête à $\left(t_1\mathrm{,}{p}_1\right)$ et $\left(t_2\mathrm{,}{p}_2\right),$ d’après le chevauchement des deux échantillons pour tous les domaines. De cette façon, ils sont regroupés sur les domaines de la même manière que les variances ${\widehat{\sigma }}_{tp}^2.$ Ensemble, (3.2) et (3.3) estiment (une approximation de) la matrice de covariance fondée sur le plan des estimations initiales par la régression des données d’enquête. Voir Boonstra et van den Brakel (2016) pour de plus de renseignements.

Les estimations de modèle de séries chronologiques pour les chiffres mensuels du chômage provincial seront comparées aux estimations directes. La procédure de calcul des estimations directes mensuelles se fonde sur la méthode utilisée avant 2010 pour calculer les chiffres trimestriels mobiles officiels de la population active. Soit ${\widehat{\overline{Y}}}_{it\mathrm{.}}$ l’estimation directe mensuelle pour les provinces, calculée comme étant la moyenne pondérée sur les estimations par la régression des cinq enquêtes par panel, où les poids sont fondés sur les estimations de la variance. Pour corriger le biais de renouvellement, ces estimations directes sont multipliées par un ratio, disons $f_{it},$ où le numérateur est la moyenne des estimations par la régression des données d’enquête (3.1) pour la première vague sur les trois dernières années, et le dénominateur est la moyenne des estimations directes mensuelles ${\widehat{\overline{Y}}}_{it\mathrm{.}},$ également sur les trois dernières années, soit ${\tilde{\overline{Y}}}_{it\mathrm{.}}\mathrm{<mo>=</mo>}{f}_{it}{\widehat{\overline{Y}}}_{it\mathrm{.}}.$ Voir Boonstra et van den Brakel (2016) pour une information plus détaillée sur le calcul de ${\widehat{\overline{Y}}}_{it\mathrm{.}}$ et ${\tilde{\overline{Y}}}_{it\mathrm{.}}$ y compris une approximation de la variance.

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