Estimation du niveau et de la variation du chômage au moyen de modèles de séries chronologiques structurels
Section 6. Discussion
On a appliqué un modèle d’estimation sur petits domaines de séries chronologiques à un grand nombre de données d’enquête, comprenant six années de données de l’EPA néerlandaise, afin d’estimer les fractions mensuelles de chômage dans 12 provinces au cours de cette période. Deux méthodes d’estimation différentes pour modèles de séries chronologiques structurels (MSCS) ont été appliquées et comparées. La première est une approche espace-état utilisant un filtre de Kalman, où les hyperparamètres inconnus sont remplacés par leurs estimations par le MV. La deuxième est une approche bayésienne multiniveau de séries chronologiques, utilisant un échantillonneur de Gibbs.
Les modèles de séries chronologiques qui ne tiennent pas compte des corrélations transversales et qui empruntent de l’information uniquement dans le temps montrent déjà une réduction importante des erreurs-types par rapport aux estimations directes. On obtient une petite diminution supplémentaire des erreurs-types en empruntant de l’information dans l’espace par des corrélations transversales dans les modèles de séries chronologiques. La méthode de modèle de séries chronologiques présente un autre grand avantage en matière d’estimation des variations. Le modèle multiniveau permet de calculer facilement les estimations des variations et de leurs erreurs-types, surtout lorsque l’ajustement du modèle prend la forme d’une simulation par MCMC. Dans l’approche espace-état, les estimations des variations découlent directement de la récursion du filtre de Kalman par conservation des variables d’état requises du passé dans le vecteur d’état. L’estimation de la variation souhaitée, y compris son erreur-type, résulte du contraste des variables d’état particulières. La variation des données mensuelles d’un mois à l’autre et d’une année à l’autre est très stable et précise, ce qui est une conséquence de la forte corrélation positive entre les estimations de niveau. La stabilité des estimations des variations dépend toutefois fortement du choix du modèle de tendance. Les modèles à échelle locale donnent des estimations de tendance plus volatiles et, par conséquent, des estimations de la variation plus volatiles et ils présentent naturellement une erreur-type plus élevée que les modèles à tendance lisse.
Dans le présent article, on considère différents modèles de tendances comme étant la corrélation du modèle entre les domaines dans le but d’emprunter de l’information dans le temps et l’espace. La méthode la plus complexe consiste à prescrire une matrice de covariance complète pour les termes de perturbation de la composante de tendance. Une des manières de construire des modèles parcimonieux consiste à tirer profit de la cointégration. Dans le cas d’une forte corrélation entre les domaines, la matrice de covariance sera de rang réduit, ce qui signifie que les tendances des domaines sont fondées sur moins que tendances communes. Dans cette application, il suffit de deux tendances communes pour modéliser la dynamique des 12 provinces, ce qui entraîne une forte réduction du nombre d’hyperparamètres requis pour la modélisation des corrélations transversales entre domaines. Afin de réduire davantage encore le nombre d’états et d’hyperparamètres, on considère d’autres modèles de tendance qui tiennent implicitement compte des corrélations transversales. Dans cette approche, tous les domaines partagent une tendance globale. Chaque domaine a une tendance propre au domaine qui permet de tenir compte de l’écart par rapport à la tendance globale. Cela peut être perçu comme une forme simplifiée de modèle de tendance commun. Dans cette application, l’autre modèle de tendance a pour résultat des estimations comparables pour les tendances et les erreurs-types. Cette méthode pourrait donc être une autre solution pratique et attrayante pour les modèles de tendance communs. Par exemple, si le nombre de domaines est élevé ou que le nombre de facteurs communs est plus élevé, les modèles de tendance proposés sont moins complexes que les modèles de tendance commune globale. Il faudrait entreprendre des recherches plus poussées sur les propriétés statistiques de ces modèles de tendance de substitution pour mieux comprendre les structures de covariance implicites.
On peut observer plusieurs différences entre les modèles multiniveaux de séries chronologiques ajustés dans un cadre bayésien hiérarchique et les modèles espace-état ajustés au moyen du filtre de Kalman dans une approche fréquentiste. Dans le cadre bayésien multiniveau, différents MSCS sont comparés au moyen du critère DIC comme critère de sélection formel du modèle. Étant donné que les modèles espace-état sont ajustés dans un cadre fréquentiste, les MSCS sont comparés au moyen du critère AIC ou BIC. L’un des avantages du critère DIC utilisé dans l’approche bayésienne multiniveau est qu’il utilise le nombre réel de degrés de liberté comme pénalité pour la complexité du modèle. Cela signifie que la pénalité pour un effet aléatoire augmente avec la taille des composantes de la variance de ce facteur aléatoire et varie entre zéro si la composante de la variance est égale à zéro et le nombre de niveaux de ce facteur si la composante de la variance tend à l’infini. En présence d’un critère AIC ou BIC, la pénalité pour une composante aléatoire est toujours égale à 1, quelle que soit la taille de sa composante de variance, et elle ne tient donc pas correctement compte de la complexité du modèle. Il convient de noter que pour les modèles multiniveaux ajustés dans un cadre fréquentiste, le critère AIC dit conditionnel est proposé (Vaida et Blanchard, 2005), dans lequel la pénalité pour la complexité du modèle est également fondée sur les degrés de liberté réels. Dans ce cas, la pénalité pour un effet aléatoire augmente à mesure que la taille de sa composante de variance augmente, de la même façon qu’avec le critère DIC. Pour les modèles espace-état ajustés dans un cadre fréquentiste, ces critères de sélection du modèle semblent moins facilement disponibles.
Les modèles multiniveaux et les modèles espace-état diffèrent notamment parce que dans le premier type de modèle, on constate plus souvent que les composantes varient en fonction du temps, alors que, dans l’approche espace-état, la plupart des composantes, sauf la tendance, sont estimées comme invariantes dans le temps. Cela résulte de la méthode d’ajustement du modèle. Dans l’approche fréquentiste appliquée aux modèles espace-état, les estimations par le MV de nombreux hyperparamètres se trouvent à la limite de l’espace de paramètre, c’est-à-dire 0 pour les composantes de la variance et 1pour les corrélations entre les termes de perturbation de la pente. Dans l’approche bayésienne hiérarchique, toute la distribution des paramètres de (co)variance est simulée, ce qui donne des valeurs moyennes pour ces hyperparamètres qui ne sont jamais exactement à la limite de l’espace de paramètre, par exemple, toujours positives dans le cas des composantes de la variance. Cette caractéristique a notamment pour conséquence que les variances des hyperparamètres de tendance sont plus élevées et que les covariances entre les perturbations de tendance sont plus petites que dans l’approche bayésienne hiérarchique. Notons en outre que le critère DIC préfère les modèles avec biais de renouvellement variant dans le temps et des composantes saisonnières variant dans le temps ainsi qu’un terme de bruit blanc pour le paramètre de population. Dans cette application, il en résulte des modèles présentant un degré de complexité plus élevé dans les modèles hiérarchiques bayésiens multiniveaux que dans les modèles espace-état ajustés dans une approche fréquentiste. Toutefois, les différences dans les estimations de la tendance et des signaux sont minimes.
L’un des avantages de l’approche bayésienne hiérarchique est que les erreurs-types des prédictions de domaine tiennent compte de l’incertitude sur les hyperparamètres. Par conséquent, les erreurs-types obtenues selon l’approche bayésienne hiérarchique des modèles comparables sont légèrement plus élevées et moins biaisées que celles obtenues dans l’approche espace-état. Pour la méthode espace-état, on dispose de plusieurs méthodes bootstrap pour tenir compte de l’incertitude des hyperparamètres (Pfeffermann et tiller, 2005), mais ces méthodes augmentent de façon notable le coût de calcul.
Les méthodes sont aussi différentes du point de vue du calcul. On peut utiliser en ligne l’approche du filtre de Kalman appliquée aux modèles espace-état, ce qui permet de produire de nouvelles estimations filtrées par la mise à jour des prédictions antérieures à l’arrivée des données d’un nouveau mois et ce qui rend, de ce point de vue, le calcul très efficace. En revanche, la procédure d’optimisation numérique de l’estimation par le MV des hyperparamètres peut être lourde pour les grands modèles multivariés si le nombre d’hyperparamètres est élevé. L’approche multiniveau avec échantillonneur de Gibbs utilisée ici produit simultanément des estimations pour toute la série chronologique. Elle doit être estimée de nouveau entièrement quand les données d’un nouveau mois arrivent. Il reste qu’en raison de l’utilisation de matrices parcimonieuses et d’une paramétrisation redondante, l’approche multiniveau est assez compétitive du point de vue des calculs, voir aussi Knorr-Held et Rue (2002). L’un des avantages de l’estimation multiniveau simultanée est qu’on peut facilement imposer des contraintes dans le temps. Par exemple, l’imposition de contraintes à somme nulle dans le temps permet d’inclure les tendances provinciales à l’échelle locale pour toutes les provinces qui s’ajoutent à une tendance lisse globale sans que cela pose de problème d’identification.
Dans cette application, une préférence s’est dégagée pour les modèles multiniveaux de séries chronologiques dans le cadre bayésien hiérarchique. Cette préférence s’explique notamment par le calcul relativement simple du critère DIC, qui tient mieux compte de la complexité du modèle que les critères AIC ou BIC. De plus, l’échantillonneur de Gibbs dans l’approche bayésienne convient mieux à des MSCS multivariés complexes ayant un grand nombre d’hyperparamètres. En outre, les erreurs-types des prédictions de domaine obtenues dans les modèles multiniveaux tiennent compte de l’incertitude sur les hyperparamètres, et ce de façon simple.
Les estimations des séries chronologiques sont assez lisses, et il faudrait évaluer le modèle plus minutieusement pour déterminer si cela est adéquat ou si le modèle de séries chronologiques ajuste insuffisamment les données sur le chômage et qu’il est susceptible d’être amélioré par d’autres moyens. Il existe de nombreuses façons d’étendre le modèle d’EPD de séries chronologiques pour améliorer les estimations et les erreurs-types. Ainsi, il pourrait être préférable d’utiliser une fonction de liaison logarithmique dans la formulation du modèle comme dans You (2008). Les effets seraient alors multiplicatifs et non additifs. Une autre amélioration possible serait une modélisation plus poussée des variances d’échantillonnage (You et Chapman, 2006; You, 2008; Gómez-Rubio, Best, Richardson, Li et Clarke, 2010). On peut également perfectionner les modèles en incluant de l’information auxiliaire supplémentaire de la province par mois, par exemple, le chômage enregistré. Dans Datta et coll. (1999), les effets similaires associés à l’assurance-chômage sont modélisés comme variant selon les régions, mais pas dans le temps.
Remerciements
Les opinions exprimées dans l’article sont celles des auteurs et ne correspondent pas nécessairement à la politique du bureau central de la statistique des Pays-Bas. Ces travaux ont bénéficié d’un financement de l’Union européenne (subvention no 07131.2015.001-2015.257). Nous remercions les relecteurs anonymes et le rédacteur associé pour leur lecture attentive d’une version antérieure du manuscrit et pour leurs précieux commentaires.
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