Estimation de courbes moyennes de consommation électrique pour des petits domaines à partir d’échantillons
Section 5. Application à des courbes de consommation électriques

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Nous allons maintenant tester les méthodes que nous venons de présenter afin de comparer leurs performances sur des données de consommation électrique de clients résidentiels français.

5.1  Présentation du jeu de données

Nous avons travaillé sur un jeu de données appartenant à EDF et qui contient des courbes de consommation électrique de $N\mathrm{<mo>=</mo>}\text{1}\text{905}$ clients résidentiels français à intervalle journalier d’octobre 2011 à mars 2012, sans valeurs manquantes $(L\mathrm{<mo>=</mo>\; 177}$ points). Cette population se subdivise en $D\mathrm{<mo>=</mo>\; 8}$ domaines correspondant à des zones géographiques dont les tailles respectives sont 573, 195, 304, 121, 228, 219, 45 et 220. Pour des raisons de confidentialité, nous ne pouvons pas décrire très en détail ce jeu de données, ni montrer les courbes moyennes par domaines.

La figure 5.1 montre à titre illustratif, l’allure des courbes normalisées (c’est-à-dire chaque courbe est divisée par sa moyenne calculée sur la période de temps étudiée) de cinq individus pris au hasard, et la figure 5.2 montre les allures des cinq premières composantes principales de l’EM fonctionnelle réalisée sur ce jeu de données.

On constate que la première composante, dont l’allure globale est proche de celle de la courbe moyenne est un effet « niveau ». Les composantes deux et trois, qui présentent des pics pendant la période la plus froide de février, décrivent la sensibilité des consommations à la température extérieure, la quatrième oppose les consommations de « mi-saison » aux consommations de « plein hiver » et enfin la cinquième montre un creux vers Noël (ainsi que vers le 14 février).

Pour chacun des individus de notre population d’étude, on dispose de quatre variables auxiliaires au niveau individuel : puissance souscrite (en trois classes), option tarifaire (Base ou Heures Creuses) (dans l’option Base, le prix du kWh reste constant, tandis que dans le tarif Heures Creuses, il est réduit pendant huit heures (dites creuses). Ce dernier tarif a tendance à être privilégié par les plus gros consommateurs. Les heures creuses peuvent varier d’un client à l’autre, mais ce facteur n’a pas d’impact ici puisque nous travaillons à intervalle journalier.), consommation annuelle de l’année précédente et type de logement (Appartement ou Maison individuelle). Ces variables auxiliaires restent les mêmes pour toutes les méthodes utilisées pour pouvoir les comparer à information auxiliaire identique. L’ensemble des tests ont été implémentés en R.

5.2  Protocole de test

Nous comparons différents estimateurs obtenus en suivant les méthodes exposées dans ce chapitre, pour différentes modélisations (modèles linéaires mixtes au niveau unité, régressions linéaires fonctionnelles, arbres de régression, forêts aléatoires). Nous testons deux versions du modèle linéaire mixte au niveau unité, l’une en posant les modèles linéaires mixtes sur les scores de l’EM comme suggéré dans le paragraphe 4.2 et l’autre en les appliquant directement sur les valeurs de la courbe aux instants de discrétisation.

Pour les méthodes non paramétriques, les forêts et les arbres ont une profondeur (nombre d’étages) de 5 et une taille minimale de 5 feuilles. Le nombre d’arbres des forêts est de 40. Les algorithmes peuvent être appliqués en séparant l’estimation du niveau de la courbe et de sa forme (normalisation = « oui ») ou pas (normalisation = « non »). Afin de ne pas multiplier les combinaisons possibles, nous nous sommes finalement concentrés sur les estimateurs énumérés dans la tableau 5.1. Le paramétrage des méthodes par arbres de régression ou forêts aléatoires est détaillé dans la tableau 5.2.

Afin d’évaluer la qualité de nos méthodes d’estimation, notre protocole de test consiste à réaliser un grand nombre $E$ de simulations de tirage d’échantillons parmi notre population de départ et ensuite à estimer la courbe moyenne de chacun des $D\mathrm{<mo>=</mo>\; 8}$ domaines à partir de chaque échantillon tiré par les différentes méthodes proposées. Dans nos simulations, le huitième domaine $\left(d\mathrm{<mo>=</mo>}D\mathrm{<mo>=</mo>\; 8}\right)$ sera toujours non échantillonné, afin de mesurer la performance de nos différents estimateurs dans ce cas de figure. Pour chaque simulation, on sélectionne par sondage aléatoire simple $n\mathrm{<mo>=</mo>\; 200}$ individus parmi ceux appartenant aux 7 domaines échantillonnés $\left(d\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}7\right).$

Soit ${\mu }_d\left(t_l\right)$ la courbe moyenne du domaine $d$ à l’instant $t_l$ et ${\widehat{\mu }}_d\left(t_l\right)$ son estimateur par une méthode donnée. Nous calculons le biais relatif (RB) de ${\widehat{\mu }}_d\left(t_l\right):$

$$\text{RB}\left({\widehat{\mu }}_d\left(t_l\right)\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 100}\frac{E_{\text{MC}}\left[{\widehat{\mu }}_d\left(t_l\right)\right]-{\mu }_d\left(t_l\right)}{{\mu }_d\left(t_l\right)}\mathrm{,}d\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}D\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{,}(5.1)$$

où $E_{\text{MC}}\left[{\widehat{\mu }}_d\left(t_l\right)\right]\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{e\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^E}{\widehat{\mu }}_d^{\left(e\right)}\left(t_l\right)/E$ est l’espérance Monte-Carlo de l’estimateur ${\widehat{\mu }}_d\left(t_l\right)$ avec ${\widehat{\mu }}_d^{\left(e\right)}\left(t_l\right)$ l’estimateur de la courbe moyenne obtenu pour la $e^{\text{e}}$ simulation, pour $e\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}E.$ Un deuxième indicateur, appelé efficacité relative (RE), est calculé:

$$\text{RE}\left({\widehat{\mu }}_d\right)\left(t_l\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 100}\frac{{\text{EQM}}_{\text{MC}}\left({\widehat{\mu }}_d\right)\left(t_l\right)}{{\text{EQM}}_{\text{MC}}\left({\widehat{\mu }}_d^{\text{HT}}\right)\left(t_l\right)}\mathrm{,}d\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}D-\mathrm{1,}l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{.}(5.2)$$

où ${\text{EQM}}_{\text{MC}}\left({\widehat{\mu }}_d\left(t_l\right)\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{e\mathrm{<mo>=</mo>}1}^E}{\left({\widehat{\mu }}_d^{\left(e\right)}\left(t_l\right)-{\mu }_d\left(t_l\right)\right)}^2/E$ est l’erreur quadratique moyenne Monte-Carlo, $d\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}D\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{.}$ Plus l’indicateur RE sera faible, plus l’estimateur sera considéré comme performant. Un RE de 100 correspond à un indicateur aussi performant que l’estimateur de référence.

Ici l’estimateur de référence ${\widehat{\mu }}_d^{\text{HT}}$ est l’estimateur de Horvitz-Thompson (qui pour notre plan de sondage aléatoire simple est la moyenne simple des courbes du domaine considéré), il correspond au modèle décrit par l’équation (3.1). Pour le domaine non échantillonné, cet estimateur ne peut pas être calculé. L’estimateur RE est alors obtenu en divisant les erreurs quadratiques moyennes (EQM) des différents estimateurs par le EQM moyen de l’estimateur de Horvitz-Thompson sur les sept domaines échantillonnés, i.e.,

$$\text{RE}\left({\widehat{\mu }}_D\right)\left(t_l\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 100}\frac{{\text{EQM}}_{\text{MC}}\left({\widehat{\mu }}_D\right)\left(t_l\right)}{{\overline{\text{EQM}}}_{\text{MC}}^{\text{HT}}\left(t_l\right)}\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{,}(5.3)$$

avec ${\overline{\text{EQM}}}_{\text{MC}}^{\text{HT}}\left(t_l\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{d\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{D-1}}{\text{EQM}}_{\text{MC}}\left({\widehat{\mu }}_d^{\text{HT}}\right)\left(t_l\right)\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{.}$

Pour chaque indicateur et chaque instant $t_l,$ les résultats obtenus sur les différents domaines échantillonnés sont ensuite agrégés sur tous les domaines, ${\text{RB}}_{\text{ech}}\left(\widehat{\mu }\right)\left(t_l\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{D-1}{\displaystyle {\sum }_{d\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{D-1}}\text{RB}\left({\widehat{\mu }}_d\right)\left(t_l\right)$ et ${\text{RE}}_{\text{ech}}\left(\widehat{\mu }\right)\left(t_l\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{D-1}{\displaystyle {\sum }_{d\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{D-1}}\text{RE}\left({\widehat{\mu }}_d\right)\left(t_l\right)$ pour $l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}L\mathrm{,}$ tandis que les indicateurs obtenus sur le domaine non échantillonné sont utilisés tels quels.

Afin d’évaluer la performance globale, on considère finalement la moyenne de ces indicateurs sur l’ensemble des instants de la période de test, en séparant toujours les domaines échantillonnés du domaine non échantillonné. On s’intéresse également au temps de calcul des différents estimateurs.

5.3  Résultats et conclusions des tests

Les résultats des tests des méthodes sont présentés dans la tableau 5.3 et illustrés par les figures 5.3 à 5.5.

Pour les domaines échantillonnés, on constate que le fait d’intégrer des variables explicatives dans l’estimation, quelle que soit la méthode employée, induit un net gain de performances : ainsi, pour la moins bonne méthode (qui est l’estimateur par calage), l’erreur est divisée par trois lorsque l’on utilise les variables explicatives.

En outre, l’utilisation de nos différents estimateurs basés sur des modèles de superpopulation induit un gain de précision supplémentaire : les RE de nos différentes méthodes vont ainsi de 15 % pour les modèles linéaires mixtes à 25 % pour les forêts aléatoires.

Les modèles linéaires mixtes sont la méthode la plus performante, on peut donc supposer qu’il existe des spécificités des domaines non explicables par les seules variables auxiliaires que ce type de modèles permet de capter : ainsi, on passe d’un RE de 25 % pour la régression linéaire fonctionnelle à un RE de 15 % environ en incluant ces effets aléatoires.

Les méthodes de type arbres et forêts aléatoires permettent de capter des non linéarités dans la relation entre variables explicatives et variable d’intérêt, ce qui explique que ces méthodes donnent de meilleurs résultats que les régressions linéaires fonctionnelles : les RE des différentes méthodes non paramétriques sont compris entre 20 % et 25 % contre 25 % pour les régressions linéaires fonctionnelles. De manière très surprenante, l’arbre de régression donne de meilleurs résultats que la forêt aléatoire. On peut émettre l’hypothèse que cela est dû au fait que notre objectif est d’estimer au mieux la courbe moyenne d’un ensemble d’unités et non pas chaque courbe prise séparément. Il est donc possible que l’arbre soit moins bon pour la prédiction de chaque courbe mais meilleur au niveau agrégé. En outre, sur ce jeu de données particulier, la méthode donne de meilleurs résultats lorsque l’on travaille sur les courbes brutes et non pas lorsque l’on distingue l’estimation de la forme et du niveau.

Le fait de projeter les courbes sur la base de l’EM ne semble apporter aucun gain de précision notable ici.

Sur les domaines non échantillonnés, les estimateurs de Horvitz-Thompson ne peuvent pas être produits. Les écarts entre les autres méthodes sont beaucoup plus restreints que sur les domaines échantillonnés : en effet, il n’est pas possible d’estimer des effets aléatoires pour les domaines non échantillonnés.

Enfin, nous traçons dans la figure 5.5 l’erreur quadratique moyenne de nos estimateurs pour les domaines échantillonnés et non-échantillonnés. Nous remarquons que cette erreur quadratique est la plus élevée pendant le plein hiver (janvier et février). Cette forte variabilité pourrait être due à la forte baisse de la température extérieure pour ces mois-ci qui accroît la variabilité des consommations de chauffage (différences de comportements et d’équipements électriques de chauffage selon les clients). Les estimateurs naïfs et par calage s’adaptent le moins bien à cette situation.

5.4  Comparaison des méthodes et critères de choix

Chacune des méthodes basées sur un modèle présente des avantages et des inconvénients. Les modèles linéaires mixtes au niveau unité sont les seuls qui permettent, grâce aux effets aléatoires, d’intégrer dans la modélisation des particularités des domaines non reflétées par les informations auxiliaires. Il semble donc pertinent de les employer dès lors que l’on suppose que les variables explicatives à disposition ne permettent pas d’expliquer l’ensemble des différences entre domaines.

La régression linéaire fonctionnelle néglige l’effet aléatoire des domaines, on s’attend donc à ce qu’elle soit par construction moins performante que les modèles linéaires mixtes. Enfin, les deux méthodes non paramétriques permettent de mieux modéliser des relations non linéaires entre les variables explicatives et la variable d’intérêt mais en contrepartie ne permettent pas de capter les différences entre domaines non reflétées par l’information auxiliaire. Elles nécessitent en outre de disposer des informations auxiliaires $X_i$ pour chaque individu de la population alors que précédemment nous avions juste besoin des valeurs moyennes ${\overline{X}}_d$ sur chacun des domaines de la population et des $X_i$ sur l’échantillon. Le choix entre approche paramétrique et non paramétrique dépendra donc de la nature du problème, de la diversité des domaines et des variables explicatives à notre disposition. Nous pensons qu’aucune des deux approches n’est systématiquement préférable à l’autre.

Une démarche de choix entre les deux approches pourrait consister à estimer les variances respectives des effets aléatoires et des résidus dans les modèles linéaires mixtes et, en fonction de l’ampleur relative de ces effets, de s’orienter plutôt vers l’un ou l’autre type de modèles. Inversement, on peut également quantifier par validation croisée les performances respectives des modèles linéaires mixtes et des modèles non paramétriques pour la prédiction d’agrégats de courbes individuelles afin d’orienter notre choix.

Parmi les méthodes non paramétriques, le choix entre les arbres de régression et les forêts aléatoires dépendra des performances prédictives de ces méthodes sur les données, pour des courbes moyennes de domaines. Généralement, on peut supposer que les forêts aléatoires donneront de meilleurs résultats que les arbres de régression pour des données individuelles (voir Breiman et coll., 1984) cependant il est tout à fait possible que la meilleure des deux méthodes pour la prédiction de chaque courbe ne soit pas celle qui donne les meilleurs résultats à la maille des domaines ou en tout cas que les écarts entre les deux méthodes se réduisent lorsque l’on considère la prédiction de courbes moyennes d’agrégats d’individus. En outre, les forêts aléatoires sont par construction beaucoup plus gourmandes en temps de calcul que les arbres de régression et cet aspect ne devra pas être négligé lorsque les jeux de données traités sont de taille importante.

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