Estimation de courbes moyennes de consommation électrique pour des petits domaines à partir d’échantillons
Section 3. Méthodes d’estimation directe dans l’approche basée sur le plan

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Dans cette section, on se place dans l’approche basée sur le plan de sondage. Cela signifie que l’on considère que les valeurs de la variable d’intérêt $Y_i$ pour chaque unité de la population sont déterministes et que le seul aléa présent est celui de la constitution de l’échantillon. L’inférence statistique décrit alors uniquement le hasard engendré par le plan de sondage.

Nous allons présenter deux estimateurs classiques, l’estimateur de Horvitz-Thompson et l’estimateur par calage, qui constitueront les références auxquelles nous comparerons nos méthodes afin d’en évaluer les performances. Il s’agit d’estimateurs directs, c’est-à-dire des estimateurs construits en n’utilisant, pour l’estimation de la moyenne de chaque domaine, que les unités et les informations auxiliaires relatives au domaine concerné.

L’estimateur fonctionnel d’Horvitz-Thompson (Horvitz et Thompson, 1952; Cardot, Chaouch, Goga et Labruère, 2010) de ${\mu }_d$ est donné par :

$${\widehat{\mu }}_d^{\text{HT}}\left(t\right)=\frac{1}{N_d}{\displaystyle \sum _{i\in s_d}}{d}_i{Y}_i\left(t\right)\mathrm{,}d\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots ,D\mathrm{,}t\in \left[\mathrm{0,}T\right]\mathrm{,}(3.1)$$

avec $d_i\mathrm{<mo>=</mo>}1/{\pi }_i$ le poids de sondage de l’unité $i,$ aussi appelé poids de Horvitz-Thompson. Il ne peut évidemment pas être calculé pour les domaines non échantillonnés (i.e., les domaines $d$ tels que $s_d$ est vide) et il est extrêmement instable pour les domaines de petite taille. En outre, il ne tire aucunement parti des variables explicatives à notre disposition.

Pour exploiter les informations auxiliaires, toujours dans l’approche basée sur le plan de sondage, on peut utiliser l’estimateur par calage proposé par Deville et Särndal (1992).

L’estimateur par calage de la moyenne ${\mu }_d$ est donné par

$${\widehat{\mu }}_d^{\text{cal}}\left(t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N_d}{\displaystyle \sum _{i\in s_d}}{w}_{id}^{\text{cal}}{Y}_i\left(t\right)d\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots ,D\mathrm{,}t\in \left[\mathrm{0,}T\right]\mathrm{,}(3.2)$$

où les poids de calage $w_{id}^{\text{cal}}\text{}\mathrm{,}i\in s_d$ sont les plus proches possibles des poids de sondage $d_i$ des unités de $s_d$ au sens d’une certaine distance ou pseudo-distance $G\left(w\mathrm{,}d\right)$ définie par le statisticien :

$$\underset{w_{id}}{{\displaystyle \min }}{\displaystyle \sum _{i\in s_d}}{d}_{i}G\left(w_{id}\mathrm{,}{d}_i\right)\text{sous}\text{la}\text{contrainte}{\displaystyle \sum _{i\in s_d}}{w}_{id}{X}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in U_d}}{X}_i\mathrm{.}(3.3)$$

Pour la distance de chi-deux $G\left(w_{id}\mathrm{,}{d}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s_d}}{\left(w_{id}-d_i\right)}^2/d_i,$ les poids sont donnés par

$$w_{id}^{\text{cal}}=d_i+d_i{\left({\displaystyle \sum _{i\in U_d}}{X}_i-{\displaystyle \sum _{i\in s_d}}{d}_i{X}_i\right)}^{\prime }{\left({\displaystyle \sum _{i\in s_d}}{d}_i{X}_i{X}_i^{\prime }\right)}^{-1}{X}_i\mathrm{,}i\in s_d$$

et l’estimateur devient

$${\widehat{\mu }}_d^{\text{cal}}\left(t\right)=\frac{1}{N_d}{\displaystyle \sum _{i\in s_d}}{d}_i{y}_i-\frac{1}{N_d}{\left({\displaystyle \sum _{i\in s_d}}{d}_i{X}_i-{\displaystyle \sum _{i\in U_d}}{X}_i\right)}^{\prime }{\widehat{\beta }}_d\left(t\right)\mathrm{,}$$

où ${\widehat{\beta }}_d\left(t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle {\sum }_{i\in s_d}}{d}_i{X}_i{X}_i^{\prime }\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in s_d}}{d}_i{X}_i{Y}_i\left(t\right)\mathrm{.}$ Les poids de calage ne dépendent pas du temps $t$ mais ils dépendent dans ce cas du domaine $d,$ par conséquent, l’estimateur ${\widehat{\mu }}_d^{\text{cal}}\left(t\right)$ ne satisfait pas la propriété d’additivité, i.e., ${\displaystyle {\sum }_{d\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}{\widehat{\mu }}_d^{\text{cal}}\left(t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\mu }}^{\text{cal}}\left(t\right)$ où ${\widehat{\mu }}^{\text{cal}}\left(t\right)$ est l’estimateur par calage de $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{Y}_i/N.$ Dans le cas où le vecteur $1\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\mathrm{1,}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}1\right)}^{\prime }$ est dans le modèle, alors,

$${\widehat{\mu }}_d^{\text{cal}}\left(t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N_d}{\displaystyle \sum _{i\in U_d}}{X}_i^{\prime }{\widehat{\beta }}_d\left(t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{X}}_d{\widehat{\beta }}_d\left(t\right)\mathrm{,}t\in \left[\mathrm{0,}T\right]\mathrm{.}$$

Si la taille $n_d$ est grande, cet estimateur est approximativement sans biais par rapport au plan de sondage. On peut considérer l’estimateur modifié:

$${\widehat{\mu }}_d^{\text{mod}}\left(t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N_d}{\displaystyle \sum _{i\in s_d}}{d}_i{Y}_i\left(t\right)-\frac{1}{N_d}{\left({\displaystyle \sum _{i\in s_d}}{d}_i{X}_i-{\displaystyle \sum _{i\in U_d}}{X}_i\right)}^{\prime }\widehat{\beta }\left(t\right)\mathrm{,}t\in \left[\mathrm{0,}T\right]\mathrm{,}(3.4)$$

où

$$\widehat{\beta }\left(t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{i\in s}}{d}_i{X}_i{X}_i^{\prime }\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in s}}{d}_i{X}_i{Y}_i\left(t\right)\mathrm{,}t\in \left[\mathrm{0,}T\right]\mathrm{,}(3.5)$$

ne dépend pas du domaine $d$ et par conséquent, l’estimateur ${\widehat{\mu }}_d^{\text{mod}}$ satisfait la propriété d’additivité, i.e., ${\displaystyle {\sum }_{d\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}{\widehat{\mu }}_d^{\text{mod}}\left(t\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\mu }}^{\text{cal}}\left(t\right)$ où ${\widehat{\mu }}^{\text{cal}}\left(t\right)$ est l’estimateur par calage de $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{Y}_i/N\mathrm{.}$ De plus, si $n$ est grand, il est asymptotiquement sans biais même si la taille $n_d$ n’est pas grande. Les fonctions de variances asymptotiques de ${\widehat{\mu }}_d^{\text{cal}}\left(t\right)$ et ${\widehat{\mu }}_d^{\text{mod}}\left(t\right)$ sont égales aux variances de type Horvitz-Thompson des résidus $Y_i\left(t\right)-X_i^{\prime }{\widehat{\beta }}_d\left(t\right)$ et $Y_i\left(t\right)-X_i^{\prime }\widehat{\beta }\left(t\right)$ (voir Rao et Molina, 2015).

Néanmoins, pour chacun des domaines, ces estimateurs ne se basent que sur les données du domaine concerné (courbes et variables explicatives) sans tenir compte du reste de l’échantillon. Tout comme l’estimateur de Horvitz-Thompson, ils sont donc imprécis pour les petits domaines et ne peuvent pas être calculés pour les domaines non échantillonnés.

Les méthodes que nous présentons dans la section suivante vont nous permettre, en posant un modèle commun à l’ensemble des unités de la population qui décrit le lien entre variable d’intérêt et informations auxiliaires, d’exploiter conjointement l’ensemble des données de l’échantillon pour réaliser l’estimation de chacun des domaines, et donc de gagner en précision sur chacun d’entre eux. En outre, cela permettra de pouvoir fournir des estimations même pour les domaines non échantillonnées.

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