Quelques remarques sur un petit exemple de Jean-Claude Deville au sujet de la non-réponse non-ignorable Section 1. L’exemple de DevilleQuelques remarques sur un petit exemple de Jean-Claude Deville au sujet de la non-réponse non-ignorable Section 1. L’exemple de Deville

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Lors d’une conférence à l’Université de Neuchâtel, Jean-Claude Deville (2005) a présenté un exemple simple pour illustrer l’intérêt du calage généralisé pour traiter la non-réponse non-ignorable (au sujet du calage généralisé voir Deville 2000, 2002, 2004; Kott 2006; Chang et Kott 2008; Kott et Chang 2010; Lesage et Haziza 2015). Cet exemple est recopié ci-dessous dans son intégralité.

« Les corrections destinées à compenser les effets de la non-réponse demandent une connaissance très précise des facteurs qui la causent. En particulier, si ce que l’on veut mesurer influe directement sur la probabilité de réponse, on est amené à prendre des risques avec les données. Voici un petit exemple fictif : un groupe d’étudiants est interrogé sur sa consommation de drogue. Les résultats de l’enquête sont les suivants :

Naïvement on dirait que le pourcentage de consommateurs est estimé par 60/(240+60)=25 %. Cette estimation est faite sous l’hypothèse que les non-répondants ont le même comportement que les répondants. Mais on remarque que le taux de réponse des filles est plus important que celui des garçons. Pour corriger cela, on calcule le taux de consommateurs chez les filles, soit 1/9, et chez les garçons soit 3/9, et on conclut que la population étudiante observée est consommatrice à 2/9=22,2 %. Si maintenant on pense que c’est le fait de consommer qui induit la non-réponse, le modèle a deux paramètres $p_{oui}$  et $p_{non},$  respectivement probabilité de répondre des consommateurs et des non-consommateurs. On trouve que ces probabilités valent respectivement 0,2 et 0,8. Le nombre estimé de consommateurs est donc de 200 chez les garçons et 100 chez les filles et l’estimation du pourcentage global est de 50 %! ».

L’exemple est a priori très simple et éclaire parfaitement la typologie habituelle des trois mécanismes de non-réponse. Chacune des trois estimations proposées dans l’exemple correspond à l’une de ces trois catégories.

• MCAR (Missing Completely at Random) : la probabilité de réponse ne dépend ni de la variable d’intérêt (le fait de consommer de la drogue), ni de la variable auxiliaire (le sexe).

• MAR (Missing at Random) : la probabilité de réponse ne dépend pas de la variable d’intérêt $y$ après avoir conditionné sur la variable auxiliaire $x$ (le sexe). Dans le cas présent, la probabilité de réponse ne dépendrait alors que du sexe.

• NMAR (Not Missing at Random) : la probabilité de réponse dépend de la variable d’intérêt elle-même (le fait de consommer de la drogue) même si l’on prend en compte la variable auxiliaire  $x.$

L’exemple montre l’intérêt du calage généralisé qui permet de traiter directement le cas NMAR. Jean-Claude Deville traite le problème en considérant que les probabilités $p_{\text{oui}}$ et $p_{\text{non}}$ sont des paramètres à estimer. Cet exemple peut être traité de multiples façons selon le point de vue que l’on a sur l’inférence.

Dans ce qui suit, nous montrons qu’il existe au moins trois méthodes pour traiter ce problème : la méthode des moments, la méthode du maximum de vraisemblance et le calage. La méthode du maximum de vraisemblance n’a pas été traitée par Jean-Claude Deville. Nous développons complètement les calculs pour les deux premières méthodes d’estimation en considérant les deux modèles. Nous calculons aussi les résultats pour le calage et le calage généralisé.

Nous montrons que les trois résultats obtenus sont identiques. La fonction de vraisemblance estimée pourrait être utilisée pour réaliser un choix entre les deux modèles. Malheureusement, cette fonction prend la même valeur pour les deux modèles, ce qui ne permet pas de choisir le modèle. Nous proposons cependant une piste pour réaliser un choix.

Dans la section 2, on présente la notation utilisée. La section 3 est consacrée à l’estimation par la méthode des moments et la section 4 à l’estimation par la méthode du maximum de vraisemblance. Dans la section 5, on applique les méthodes de calage et de calage généralisé. On termine par une discussion sur les intérêts respectifs des différentes méthodes en section 6.

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