Quelques remarques sur un petit exemple de Jean-Claude Deville au sujet de la non-réponse non-ignorable Section 3. Estimation par la méthode des momentsQuelques remarques sur un petit exemple de Jean-Claude Deville au sujet de la non-réponse non-ignorable Section 3. Estimation par la méthode des moments

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3.1 Cas MAR

La méthode des moments permet une estimation rapide des paramètres. Pour le cas MAR, on obtient de la troisième colonne du tableau 2.3 les équations :

$$\begin{array}{ll}\text{E}\left(m_H\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{n}_{H\mathrm{.}}\left(1-p_H\right)\mathrm{,}\hfill \\ \text{E}\left(m_F\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{n}_{F\mathrm{.}}\left(1-p_F\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

ce qui donne les estimateurs

$$\begin{array}{ll}{\widehat{p}}_H\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>\; 1}-\frac{m_H}{n_{H\mathrm{.}}}\mathrm{,}\hfill \\ {\widehat{p}}_F\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>\; 1}-\frac{m_F}{n_{F\mathrm{.}}}\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

et donc, à partir des deux premières colonnes,

$$\begin{array}{lll}{\widehat{n}}_{\mathrm{.}D}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r_{HD}}{{\widehat{p}}_H}+\frac{r_{FD}}{{\widehat{p}}_F}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{r}_{HD}\frac{n_{H\mathrm{.}}}{n_{H\mathrm{.}}-m_H}+r_{FD}\frac{n_{F\mathrm{.}}}{n_{F\mathrm{.}}-m_F}\mathrm{,}\hfill \\ {\widehat{n}}_{\mathrm{.}S}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r_{HS}}{{\widehat{p}}_H}+\frac{r_{FS}}{{\widehat{p}}_F}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{r}_{HS}\frac{n_{H\mathrm{.}}}{n_{H\mathrm{.}}-m_H}+r_{FS}\frac{n_{F\mathrm{.}}}{n_{F\mathrm{.}}-m_F}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

L’estimation des probabilités de réponse est ${\widehat{p}}_H\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,4}$ et ${\widehat{p}}_F\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,6}.$ On obtient donc l’estimation donnée dans le tableau 3.1.

3.2 Cas NMAR

Pour le cas NMAR, on obtient du tableau 2.4 les équations :

$$\begin{array}{ll}\text{E}\left(m_H\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}E\left(r_{HD}\right)\frac{1-q_D}{q_D}+\text{E}\left(r_{HS}\right)\frac{1-q_S}{q_S}\mathrm{,}\hfill \\ \text{E}\left(m_F\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}E\left(r_{FD}\right)\frac{1-q_D}{q_D}+\text{E}\left(r_{FS}\right)\frac{1-q_S}{q_S}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Après quelques calculs, on obtient les estimateurs suivants pour les probabilités de réponse :

$$\begin{array}{ll}{\widehat{q}}_D\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r_{HD}{r}_{FS}-r_{FD}{r}_{HS}}{\left(m_H+r_{HD}\right)r_{FS}-\left(m_F+r_{FD}\right)r_{HS}}\mathrm{,}\hfill \\ {\widehat{q}}_S\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r_{HD}{r}_{FS}-r_{FD}{r}_{HS}}{\left(m_F+r_{FS}\right)r_{HD}-\left(m_H+r_{HS}\right)r_{FD}}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Finalement, on obtient

$$\begin{array}{llll}{\widehat{n}}_{\mathrm{.}D}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r_{\mathrm{.}D}}{{\widehat{q}}_D}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{r}_{\mathrm{.}D}\frac{\left(m_H+r_{HD}\right)r_{FS}-\left(m_F+r_{FD}\right)r_{HS}}{r_{HD}{r}_{FS}-r_{FD}{r}_{HS}}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{r}_{\mathrm{.}D}\frac{n_{H\mathrm{.}}{r}_{FS}-n_{F\mathrm{.}}{r}_{HS}}{r_{HD}{r}_{FS}-r_{FD}{r}_{HS}}\mathrm{,}\hfill \\ {\widehat{n}}_{\mathrm{.}S}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r_{\mathrm{.}S}}{{\widehat{q}}_S}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{r}_{\mathrm{.}S}\frac{\left(m_F+r_{FS}\right)r_{HD}-\left(m_H+r_{HS}\right)r_{FD}}{r_{HD}{r}_{FS}-r_{FD}{r}_{HS}}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{r}_{\mathrm{.}S}\frac{n_{F\mathrm{.}}{r}_{HD}-n_{H\mathrm{.}}{r}_{FD}}{r_{HD}{r}_{FS}-r_{FD}{r}_{HS}}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Comme l’écrit Deville, l’estimation des probabilités de réponse est ${\widehat{q}}_D\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,2}$ et ${\widehat{q}}_S\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,8}.$ On obtient alors l’estimation donnée dans le tableau 3.2.

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