Quelques remarques sur un petit exemple de Jean-Claude Deville au sujet de la non-réponse non-ignorable Section 4. Estimation par la méthode du maximum de vraisemblanceQuelques remarques sur un petit exemple de Jean-Claude Deville au sujet de la non-réponse non-ignorable Section 4. Estimation par la méthode du maximum de vraisemblance

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4.1 Cas MAR

La distribution de probabilité est multinomiale. Dans le cas MAR, la fonction de vraisemblance vaut :

$$\begin{array}{ll}\mathcal{L}\left(n_{HD}\mathrm{,}{n}_{FD}\mathrm{,}{p}_H\mathrm{,}{p}_F\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n_{H\mathrm{.}}\mathrm{<mo>!</mo>}}{r_{HD}\mathrm{<mo>!</mo>}{r}_{HS}\mathrm{<mo>!</mo>}{m}_H\mathrm{<mo>!</mo>}}{\left(\frac{n_{HD}{p}_H}{n_{H\mathrm{.}}}\right)}^{r_{HD}}{\left(\frac{\left(n_{H\mathrm{.}}-n_{HD}\right)p_H}{n_{H\mathrm{.}}}\right)}^{r_{HS}}{\left(\frac{n_{H\mathrm{.}}\left(1-p_H\right)}{n_{H\mathrm{.}}}\right)}^{m_H}\hfill \\ \hfill & \times \frac{n_{F\mathrm{.}}\mathrm{<mo>!</mo>}}{r_{FD}\mathrm{<mo>!</mo>}{r}_{FS}\mathrm{<mo>!</mo>}{m}_F\mathrm{<mo>!</mo>}}{\left(\frac{n_{FD}{p}_F}{n_{F\mathrm{.}}}\right)}^{r_{FD}}{\left(\frac{\left(n_{F\mathrm{.}}-n_{FD}\right)p_F}{n_{F\mathrm{.}}}\right)}^{r_{FS}}{\left(\frac{n_{F\mathrm{.}}\left(1-p_F\right)}{n_{F\mathrm{.}}}\right)}^{m_F}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

En annulant les dérivées partielles de la log-vraisemblance par rapport aux paramètres $p_H$ et $p_F,$ on obtient deux équations à deux inconnues. La solution donne les estimateurs

$$\begin{array}{ll}{\widehat{p}}_H\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>\; 1}-\frac{m_H}{n_{H\mathrm{.}}}\mathrm{,}\hfill \\ {\widehat{p}}_F\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>\; 1}-\frac{m_F}{n_{F\mathrm{.}}}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

En annulant les dérivées par rapport à $n_{HD}$ et $n_{FD},$ on obtient les estimateurs

$${\widehat{n}}_{HD}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r_{HD}}{{\widehat{p}}_H}\text{et}{\widehat{n}}_{FD}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r_{FD}}{{\widehat{p}}_F}\mathrm{.}$$

Donc,

$${\widehat{n}}_{\mathrm{.}D}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{n}}_{HD}+{\widehat{n}}_{FD}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r_{HD}}{{\widehat{p}}_H}+\frac{r_{FD}}{{\widehat{p}}_F}\mathrm{.}$$

Ces estimateurs sont exactement les mêmes que ceux obtenus par la méthode des moments.

4.2 Cas NMAR

Dans le cas NMAR, la fonction de vraisemblance vaut :

$$\begin{array}{ll}\mathcal{L}\left(n_{HD}\mathrm{,}{n}_{FD}\mathrm{,}{q}_D\mathrm{,}{p}_S\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n_{H\mathrm{.}}\mathrm{<mo>!</mo>}}{r_{HD}\mathrm{<mo>!</mo>}{r}_{HS}\mathrm{<mo>!</mo>}{m}_H\mathrm{<mo>!</mo>}}{\left(\frac{n_{HD}{q}_D}{n_{H\mathrm{.}}}\right)}^{r_{HD}}{\left(\frac{\left(n_{H\mathrm{.}}-n_{HD}\right)q_S}{n_{H\mathrm{.}}}\right)}^{r_{HS}}{\left(\frac{n_{HD}\left(1-q_D\right)+\left(n_{H\mathrm{.}}-n_{HD}\right)\left(1-q_S\right)}{n_{H\mathrm{.}}}\right)}^{m_H}\hfill \\ \hfill & \times \frac{n_{F\mathrm{.}}\mathrm{<mo>!</mo>}}{r_{FD}\mathrm{<mo>!</mo>}{r}_{FS}\mathrm{<mo>!</mo>}{m}_F\mathrm{<mo>!</mo>}}{\left(\frac{n_{FD}{q}_D}{n_{F\mathrm{.}}}\right)}^{r_{FD}}{\left(\frac{\left(n_{F\mathrm{.}}-n_{FD}\right)q_S}{n_{F\mathrm{.}}}\right)}^{r_{FS}}{\left(\frac{n_{FD}\left(1-q_D\right)+\left(n_{F\mathrm{.}}-n_{FD}\right)\left(1-q_S\right)}{n_{F\mathrm{.}}}\right)}^{m_F}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

En annulant les dérivées partielles de la log-vraisemblance par rapport aux quatre paramètres $q_D,$ $q_S,$ $n_{HD}$ et $n_{FD},$ on obtient un système de quatre équations de degré deux assez compliqué à quatre inconnues. Nous avons vérifié au moyen d’un logiciel de calcul symbolique que la solution donnée par la méthode des moments est une solution de ce système d’équations. Évidemment, comme le système est de degré deux, il existe une seconde solution. Cependant cette seconde solution donne, pour l’exemple de Deville, des valeurs négatives qui ne sont pas acceptables pour estimer des probabilités et des effectifs.

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