Quelques remarques sur un petit exemple de Jean-Claude Deville au sujet de la non-réponse non-ignorable Section 5. Estimation par calage et calage généraliséQuelques remarques sur un petit exemple de Jean-Claude Deville au sujet de la non-réponse non-ignorable Section 5. Estimation par calage et calage généralisé

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5.1 Notation

Pour définir le calage, nous allons définir la notation suivante. Soit $U\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}k\mathrm{,}\dots \mathrm{,}N\right\}$ l’ensemble des personnes interrogées (ici $N\mathrm{<mo>=</mo>\; 600})$ et $R\subset U$ l’ensemble des répondants à la question concernant la consommation de drogue. On définit également

$$x_k\mathrm{<mo>=</mo>}\{\begin{array}{ll}{\left(10\right)}^{{\rm T}}\hfill & \text{si}\text{l’individu}k\text{est}\text{un}\text{homme}\hfill \\ {\left(01\right)}^{{\rm T}}\hfill & \text{si}\text{l’individu}k\text{est}\text{une}\text{femme}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

et

$$z_k\mathrm{<mo>=</mo>}\{\begin{array}{ll}{\left(10\right)}^{{\rm T}}\hfill & \text{si}\text{l}’\text{individu}k\text{a}\text{répondu}\text{qu}’\text{il}\text{consomme}\text{de}\text{la}\text{drogue}\hfill \\ {\left(01\right)}^{{\rm T}}\hfill & \text{si}\text{l’individu}k\text{a}\text{répondu}\text{qu’il}\text{ne}\text{consomme}\text{pas}\text{de}\text{la}\text{drogue}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

En utilisant la notation définie précédemment,

$$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{k\in U}}{x}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{n}_{H\mathrm{.}}\\ n_{F\mathrm{.}}\end{array}\right)\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{k\in R}}{x}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{n}_{H\mathrm{.}}-m_H\\ n_{F\mathrm{.}}-m_F\end{array}\right)\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{k\in R}}{z}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{.}D}\\ r_{\mathrm{.}S}\end{array}\right)\mathrm{,}\hfill \\ {\displaystyle \sum _{k\in R}}{x}_k{x}_k^{{\rm T}}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}{n}_{H\mathrm{.}}-m_H& 0\\ 0& n_{F\mathrm{.}}-m_F\end{array}\right)\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{k\in R}}{x}_k{z}_k^{{\rm T}}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}{r}_{HD}& r_{HS}\\ r_{FD}& r_{FS}\end{array}\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

et

$${\displaystyle \sum _{k\in R}}{z}_k{z}_k^{{\rm T}}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}{r}_{\mathrm{.}D}& 0\\ 0& r_{\mathrm{.}S}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

5.2 Estimation par calage simple

En utilisant le calage simple tel qu’il est décrit dans Deville et Särndal (1992), on cherche un poids qui s’écrit

$$w_k\mathrm{<mo>=</mo>}F\left(x_k^{{\rm T}}\lambda \right)\mathrm{,}$$

où $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\left({\lambda }_1\mathrm{,}{\lambda }_2\right)$ est un vecteur de paramètres et $F\left(\mathrm{.}\right)$ est une fonction de calage, c’est-à-dire une fonction strictement croissante, telle que $F\left(0\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ et dont la dérivée $F^{\prime }\left(\mathrm{.}\right)$ est telle que $F^{\prime }\left(0\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$

Le vecteur $\lambda$ est identifié en résolvant par la méthode de Newton le système d’équation

$${\displaystyle \sum _{k\in R}}F\left(x_k^{{\rm T}}\lambda \right)x_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in U}}{x}_k\mathrm{.}(5.1)$$

Finalement, l’estimateur par calage est donné par

$$\left(\begin{array}{c}{\widehat{n}}_{\mathrm{.}D}\\ {\widehat{n}}_{\mathrm{.}S}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in R}}{w}_k{z}_k\mathrm{.}$$

Dans notre application, l’équation (5.1) devient

$${\displaystyle \sum _{k\in R}}F\left(x_k^{{\rm T}}\lambda \right)x_k\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}\left(n_{H\mathrm{.}}-m_H\right)F\left({\lambda }_1\right)\\ \left(n_{F\mathrm{.}}-m_F\right)F\left({\lambda }_2\right)\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in U}}{x}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{n}_{H\mathrm{.}}\\ n_{F\mathrm{.}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

On obtient directement que

$$w_k\mathrm{<mo>=</mo>}F\left(x_k^{{\rm T}}\lambda \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\{\begin{array}{ll}{n}_{H\mathrm{.}}/\left(n_{H\mathrm{.}}-m_H\right)\hfill & \text{si}\text{l’individu}k\text{est}\text{un}\text{homme}\hfill \\ n_{F\mathrm{.}}/\left(n_{F\mathrm{.}}-m_F\right)\hfill & \text{si}\text{l’individu}k\text{est}\text{une}\text{femme}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Donc, les estimateurs calés sont

$$\begin{array}{ll}{\widehat{n}}_{\mathrm{.}D}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{r}_{HD}\frac{n_{H\mathrm{.}}}{n_{H\mathrm{.}}-m_H}+r_{FD}\frac{n_{F\mathrm{.}}}{n_{F\mathrm{.}}-m_F}\hfill \\ {\widehat{n}}_{\mathrm{.}S}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{r}_{HS}\frac{n_{H\mathrm{.}}}{n_{H\mathrm{.}}-m_H}+r_{FS}\frac{n_{F\mathrm{.}}}{n_{F\mathrm{.}}-m_F}\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

ce qui est exactement le même résultat que ceux donnés par les méthodes des moments et du maximum de vraisemblance. Dans ce cas, la solution ne dépend pas de la fonction de calage utilisée. Évidemment, l’exemple est particulièrement simple. Dans tous les cas plus complexes que la définition de catégories ne se chevauchant pas, le résultat dépend de la fonction de calage utilisée.

5.3 Calage généralisé

Dans le calage généralisé tel qu’il est défini dans (Deville 2000, 2002, 2004; Kott 2006), les poids s’écrivent

$$w_k\mathrm{<mo>=</mo>}F\left(z_k^{{\rm T}}\lambda \right)\mathrm{.}$$

Le vecteur $\lambda$ est identifié en résolvant le système d’équation

$${\displaystyle \sum _{k\in R}}F\left(z_k^{{\rm T}}\lambda \right)x_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in U}}{x}_k\mathrm{.}(5.2)$$

Enfin, l’estimateur par calage généralisé est donné par

$$\left(\begin{array}{c}{\widehat{n}}_{\mathrm{.}D}\\ {\widehat{n}}_{\mathrm{.}S}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in R}}{w}_k{z}_k\mathrm{.}$$

Dans notre application, l’équation (5.2) devient :

$${\displaystyle \sum _{k\in R}}F\left(z_k^{{\rm T}}\lambda \right)x_k\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{r}_{HD}F\left({\lambda }_1\right)+r_{HS}F\left({\lambda }_2\right)\\ r_{FD}F\left({\lambda }_1\right)+r_{FS}F\left({\lambda }_2\right)\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in U}}{x}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{n}_{H\mathrm{.}}\\ n_{F\mathrm{.}}\end{array}\right)\mathrm{,}$$

ce qui peut s’écrire de manière matricielle

$$\left(\begin{array}{cc}{r}_{HD}& r_{HS}\\ r_{FD}& r_{FS}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}F\left({\lambda }_1\right)\\ F\left({\lambda }_2\right)\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{n}_{H\mathrm{.}}\\ n_{F\mathrm{.}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

On résout simplement ce système linéaire

$$\left(\begin{array}{c}F\left({\lambda }_1\right)\\ F\left({\lambda }_2\right)\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\begin{array}{cc}{r}_{HD}& r_{HS}\\ r_{FD}& r_{FS}\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{n}_{H\mathrm{.}}\\ n_{F\mathrm{.}}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}\frac{n_{H\mathrm{.}}{r}_{FS}-n_{F\mathrm{.}}{r}_{HS}}{r_{FS}{r}_{HD}-r_{FD}{r}_{HS}}\\ \frac{n_{H\mathrm{.}}{r}_{FD}-n_{F\mathrm{.}}{r}_{HD}}{r_{FD}{r}_{HS}-r_{FS}{r}_{HD}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Les estimateurs sont donc :

$$\begin{array}{l}{\widehat{n}}_{\mathrm{.}D}\mathrm{<mo>=</mo>}{r}_{\mathrm{.}D}\frac{n_{H\mathrm{.}}{r}_{FS}-n_{F\mathrm{.}}{r}_{HS}}{r_{FS}{r}_{HD}-r_{FD}{r}_{HS}}\\ {\widehat{n}}_{\mathrm{.}S}\mathrm{<mo>=</mo>}{r}_{\mathrm{.}S}\frac{n_{H\mathrm{.}}{r}_{FD}-n_{F\mathrm{.}}{r}_{HD}}{r_{FD}{r}_{HS}-r_{FS}{r}_{HD}}\mathrm{.}\end{array}$$

À nouveau, la solution ne dépend pas de la fonction de calage utilisée. La solution est identique à la solution obtenue par les méthodes des moments et du maximum de vraisemblance. Ici également cette propriété découle de la simplicité de l’exemple. Dans tous les cas plus complexes, le résultat dépend de la fonction de calage utilisée.

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