Remarque concernant l’estimation par régression lorsque la taille de la population est inconnue 1. IntroductionRemarque concernant l’estimation par régression lorsque la taille de la population est inconnue 1. Introduction

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Les grands organismes statistiques utilisent de plus en plus l’estimation par régression afin d’améliorer la fiabilité des estimateurs des paramètres d’intérêt (comme les totaux et les moyennes) lorsque des variables auxiliaires sont disponibles à l’échelle de la population. Cassel, Särndal et Wretman (1976) ainsi que Fuller (2009), entre autres, donnent un aperçu détaillé de l’estimateur par régression dans le contexte de l’échantillonnage. Nous montrons comment utiliser l’estimateur par régression pour estimer le total, $Y\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{y}_i$  où $U\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}N\right\}$  désigne la population cible. Un échantillon $s$  de taille attendue $n$  est sélectionné selon un plan de sondage $p\left(s\right)$  de $U,$  où ${\pi }_i$  est la probabilité d’inclusion du premier ordre. En l’absence de variables auxiliaires, nous utilisons l’estimateur d’Horvitz-Thompson donné par ${\widehat{Y}}_{\pi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s}}{d}_i{y}_i$  (Horvitz et Thompson 1952), où $d_i\mathrm{<mo>=</mo>}1/{\pi }_i$  est le poids de sondage associé à l’unité $i.$ L’estimateur par régression est donné par

$${\widehat{Y}}_{\text{REG}}\mathrm{<mo> = </mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }+{\left(X-{\widehat{X}}_{\pi }\right)}^{{\rm T}}\widehat{B}\mathrm{,}(1.1)$$

où $X\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{x}_i,$ ${\widehat{X}}_{\pi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s}}{d}_i{x}_i,$ $x_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\mathrm{1,}{x}_{2i}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{pi}\right)}^{{\rm T}},$ et $\widehat{B}$ est un vecteur de coefficients de régression estimés de dimension $p,$ s’exprimant comme une fonction des variables observées ${\left(y_i\mathrm{,}{x}_i^{{\rm T}}\right)}^{{\rm T}}$ dans l’échantillon  $s.$

Il est à noter que les composantes du vecteur du total de population $X$ sont connues pour chacune des variables correspondantes du vecteur $x_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\mathrm{1,}{x}_{2i}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{pi}\right)}^{{\rm T}}$ utilisé pour calculer $\widehat{B}.$ Cependant, il arrive parfois qu’il y ait plus de variables auxiliaires observées dans l’échantillon que dans la population. Supposons que l’échantillon comprend $q$  variables observées $\left(q\mathrm{<mo>></mo>}p\right),$ et que les $p$  variables de la population sont un sous-ensemble des $q$  variables observées dans l’échantillon. Supposons par ailleurs que certaines des $q-p$  variables supplémentaires de l’échantillon sont bien corrélées avec la variable d’intérêt  $y.$ Ces variables supplémentaires peuvent-elles être incorporées dans l’estimateur par régression afin d’en accroître l’efficacité ? Singh et Raghunath (2011) ont essayé de répondre à cette question lorsque $q\mathrm{<mo>=</mo>}p+1.$ La variable supplémentaire de l’échantillon était l’ordonnée à l’origine, qu’ils ont utilisée pour estimer la taille de population inconnue $N$ au moyen de l’équation $\widehat{N}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s}}{d}_i.$

Dans cet article, nous comparons l’estimateur proposé par Singh et Raghunath (2011) à d’autres estimateurs par régression lorsque $N$ est connu et lorsqu’il ne l’est pas. Dans la section 2, nous décrivons les estimateurs par régression standard pour l’estimation des totaux lorsque $N$ est connu, ainsi que par la régression proposée par Singh et Raghunath (2011) lorsque $N$ est inconnu. Dans la section 3, nous proposons un autre estimateur lorsque $N$ est inconnu. Dans la section 4, nous procédons à une étude par simulations afin d’illustrer la performance des différents estimateurs examinés en termes de biais et d’erreur quadratique moyenne. Enfin, dans la section 5, nous présentons nos conclusions et recommandations générales.

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