Remarque concernant l’estimation par régression lorsque la taille de la population est inconnue 4. SimulationsRemarque concernant l’estimation par régression lorsque la taille de la population est inconnue 4. Simulations

• Précédent
• Suivant

Nous avons réalisé deux études par simulations. La première utilisait un ensemble de données fourni dans l’ouvrage de Rosner (2006), tandis que la deuxième se fondait sur une population artificielle créée selon un modèle de régression linéaire simple. La première simulation évaluait la performance de tous les estimateurs sous les différents plans de sondage, alors que la deuxième mettait l’accent sur l’impact de la modification de la valeur de l’ordonnée à l’origine dans le modèle.

Le paramètre d’intérêt pour ces deux simulations est le total de la variable d’intérêt $y:$ $Y\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{y}_i.$ Tous les estimateurs $({\widehat{Y}}_{\text{GREG}},{\widehat{Y}}_{\text{OPT}},{\widehat{Y}}_{\text{POPT}},{\widehat{Y}}_{\text{SREG}},{\widehat{Y}}_{\text{KREG}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{KOPT}})$ ont été utilisés avec les données auxiliaires disponibles. Le tableau 4.1 résume les données auxiliaires et la structure de variance des erreurs (s’il y a lieu) qui sont associées aux estimateurs utilisés dans les deux études.

La performance de tous les estimateurs a été évaluée en fonction du biais relatif, de l’efficacité relative de Monte Carlo et de l’efficacité relative approximative. Des expressions de ces quantités sont présentées ci-dessous.

• 1.   Biais relatif :

$$\text{RB}\left({\widehat{Y}}_{\text{EST}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{100}{R}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^R}\frac{\left({\widehat{Y}}_{\text{EST}\left(r\right)}-Y\right)}{Y}\mathrm{,}(4.1)$$

• où ${\widehat{Y}}_{\text{EST}\left(r\right)}$ représente un des estimateurs présentés au tableau 4.1 tel que calculé dans le $r^{\text{e}}$ échantillon de Monte Carlo.
• 2.   Efficacité relative Monte Carlo

$$\text{RE}\left({\widehat{Y}}_{\text{EST}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\text{MSE}}_{\text{MC}}\left({\widehat{Y}}_{\text{EST}}\right)}{{\text{MSE}}_{\text{MC}}\left({\widehat{Y}}_{\text{GREG2}}\right)}\mathrm{,}(4.2)$$

• où

$${\text{MSE}}_{\text{MC}}\left({\widehat{Y}}_{\text{EST}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{R}{\displaystyle {\displaystyle \sum }}_{r\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^R{\left({\widehat{Y}}_{\text{EST}\left(r\right)}-Y\right)}^2.$$

• $\text{RE}$ mesure l’efficacité relative de l’estimateur ${\widehat{Y}}_{\text{EST}}$ en ce qui concerne ${\widehat{Y}}_{\text{GREG2}}.$
• 3.   Efficacité relative approximative

$$\text{AR}\left({\widehat{Y}}_{\text{EST}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\text{AV}}_p\left({\widehat{Y}}_{\text{EST}}\right)}{{\text{AV}}_p\left({\widehat{Y}}_{\text{GREG2}}\right)}\mathrm{,}(4.3)$$

• où

$${\text{AV}}_p\left({\widehat{Y}}_{\text{EST}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\displaystyle \sum }}_{i\in U}{\displaystyle {\displaystyle \sum }}_{j\in U}{\Delta }_{ij}\frac{E_i}{{\pi }_i}\frac{E_j}{{\pi }_i},$$

• est la variance approximative de ${\widehat{Y}}_{\text{EST}}$ où $E_i\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_i-x_i^{{\rm T}}{B}_{\text{EST}}.$ L’efficacité relative approximative $\left(\text{AR}\right)$ mesure le gain d’efficacité relatif de ${\widehat{Y}}_{\text{EST}}$ par rapport à ${\widehat{Y}}_{\text{GREG2}}$ en utilisant le résidu de population obtenu au moyen de la technique de linéarisation de Taylor. On s’attend à ce que $\text{RE}$ et $\text{AR}$ donnent des résultats comparables. Cependant, comme nous allons le voir, ce n’est pas nécessairement le cas.

4.1 Simulation 1

La population était l’ensemble de données (FEV.DAT) disponible sur le CD qui accompagne l’ouvrage de Rosner (2006). Le fichier de données contient 654 enregistrements tirés d’une étude réalisée à Boston sur les maladies respiratoires des enfants. Les variables du fichier étaient l’âge, la taille, le sexe (masculin ou féminin), le tabagisme (c’est-à-dire si la personne fume ou non) et le volume expiratoire maximal (VEM). Singh et Raghunath (2011) ont utilisé le même ensemble de données. Le paramètre d’intérêt est la taille totale $\left(y\right)$ de la population. La variable âge $\left(x_1\right)$ a été utilisée comme variable auxiliaire dans la régression. La variable VEM $\left(x_2\right)$ a été choisie comme variable de taille pour calculer les probabilités de sélection sous les plans de sondage examinés dans cette simulation. Les variables sexe et tabagisme ont été écartées. Le tableau 4.2 résume les mesures de la tendance centrale des trois variables dans la population. La moyenne et la médiane étaient similaires pour chaque variable, ce qui indique une répartition symétrique des trois variables.

La figure 4.1 illustre la relation entre la variable d’intérêt $y$ et la variable auxiliaire $x_1.$ La relation entre la taille $\left(y\right)$ et l’âge $\left(x_1\right)$ semble linéaire, mais ne passe pas par l’origine. Le coefficient de corrélation de Pearson entre $y$ et $x_1$ était de 0,79.

L’objectif de cette étude par simulations était d’évaluer la performance des estimateurs présentés au tableau 4.1 en utilisant différents plans de sondage. Nous avons examiné les plans de sondage de Midzuno, de Sampford et de Poisson. La variable $x_2$ a été utilisée comme mesure de taille sous les trois plans de sondage pour calculer les probabilités d’inclusion. Ces plans de sondage se présentent comme suit :

1. Plan de sondage de Midzuno (voir Midzuno 1952): La première unité est échantillonnée avec la probabilité $p_i$ et les $n-1$ unités restantes sont sélectionnées par échantillonnage aléatoire simple sans remise parmi les $N-1$ unités restantes de la population. Les probabilités de sélection $p_i$ pour l’unité $i$ sont données par $p_i\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{2i}/{\displaystyle {\sum }_{i\in U}{x}_{2i}}.$ La probabilité d’inclusion de premier ordre pour l’unité $i$ est donnée par ${\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(N-1\right)}^{-1}\left[\left(N-n\right)p_i+\left(n-1\right)\right].$
2. Plan de sondage de Sampford (voir Sampford 1967): Dans l’algorithme de sélection de l’échantillon, la première unité est sélectionnée avec la probabilité $p_i\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{2i}/{\displaystyle {\sum }_{i\in U}{x}_{2i}}$ tandis que les $n-1$ unités restantes sont sélectionnées avec remise et avec la probabilité ${\lambda }_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(1-n{p}_i\right)}^{-1}{p}_i.$ S’il y a des unités qui ont été sélectionnées plus d’une fois, la procédure est répétée jusqu’à ce que tous les éléments de l’échantillon soient différents. La probabilité d’inclusion de premier ordre est donnée par ${\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}n{p}_i.$
3. Plan de sondage de Poisson : Chaque unité est sélectionnée indépendamment, ce qui donne une taille d’échantillon aléatoire. La probabilité de sélection de l’unité $i$ est $p_i\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{2i}/{\displaystyle {\sum }_{i\in U}{x}_{2i}}.$ La probabilité d’inclusion associée à l’unité $i$ est ${\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}n{p}_i.$ Une bonne description de cette procédure figure dans l’ouvrage de Särndal et coll. (1992).

Le paramètre d’intérêt était le total de $Y\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{y}_i.$ En nous basant sur chacun de ces plans de sondage, nous avons sélectionné $R\mathrm{<mo>=</mo>}\text{2}\text{000}$ échantillons Monte Carlo de taille $n\mathrm{<mo>=</mo>\; 50.}$ Nous avons ensuite calculé les estimateurs du tableau 4.1 pour chaque échantillon, puis avons évalué leur performance en utilisant le biais relatif, l’efficacité relative Monte Carlo et l’efficacité relative approximative tels que décrits dans les équations (4.1), (4.2) et (4.3) respectivement.

4.2 Résultats de la simulation 1

Les résultats de la simulation sont présentés au tableau 4.3. Tous les estimateurs étudiés sont approximativement sans biais, et leur biais relatif est inférieur à 1 %. Nous aborderons séparément l’efficacité relative approximative (AR) et l’efficacité relative (RE) des estimateurs lorsque la taille de la population $N$ est connue et lorsqu’elle est inconnue.

Cas 1 : La taille de la population $N$  est connue

Nous comparons les efficacités AR et RE des estimateurs ${\widehat{Y}}_{\text{GREG2}},$ ${\widehat{Y}}_{\text{OPT2}},$ ${\widehat{Y}}_{\text{OPT3}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{POPT3}}$ pour chacun des trois plans de sondage. Nous pouvons le faire pour presque tous ces estimateurs sauf ${\widehat{Y}}_{\text{OPT3}}$ sous les plans de sondage de Midzuno et de Sampford. En l’occurrence, nous ne pouvons pas calculer $B_{\text{OPT3}}$ pour une raison semblable à celle décrite dans la remarque 3.2.

Selon les efficacités $\text{AR}$ et $\text{RE},$ l’estimateur pseudo-optimal ${\widehat{Y}}_{\text{OPT3}}$ est l’estimateur le plus fiable, quel que soit le plan de sondage. Il est proche de l’estimateur optimal ${\widehat{Y}}_{\text{OPT2}}$ seulement pour $\text{AR}\text{.}$ Les efficacités $\mathrm{RE}$ et $\text{AR}$ de l’estimateur optimal ${\widehat{Y}}_{\text{OPT2}}$ n’étaient pas aussi proches que prévu dans le plan de sondage de Midzuno. Montanari (1998) a lui aussi observé la faible efficacité relative de l’estimateur optimal ${\widehat{Y}}_{\text{OPT2}}.$ La figure 4.2 montre ce qui se passe. Nous pouvons observer que la plupart des estimations obtenues au moyen de l’estimateur optimal ${\widehat{Y}}_{\text{OPT2}}$ pour les 2 000 échantillons Monte Carlo sont proches de la moyenne. Cependant, dans certains échantillons, les estimations sont très éloignées de la moyenne. Cela contraste avec ${\widehat{Y}}_{\text{POPT3}},$ où les valeurs sont concentrées autour de la moyenne. Il est à noter que les efficacités $\text{RE}$ et $\text{AR}$ associées sont très proches l’une de l’autre.

L’estimateur optimal ${\widehat{Y}}_{\text{OPT3}}$ est équivalent à l’estimateur pseudo-optimal ${\widehat{Y}}_{\text{POPT3}}$ sous le plan de sondage de Poisson. Il faut se rappeler que l’estimateur optimal ${\widehat{Y}}_{\text{OPT2}}$ utilisait $x_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\mathrm{1,}{x}_{2i}\right)}^{{\rm T}}$ comme données auxiliaires, tandis que l’estimateur optimal ${\widehat{Y}}_{\text{OPT3}}$ utilisait $x_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\mathrm{1,}{\pi }_i\mathrm{,}{x}_{2i}\right)}^{{\rm T}}.$ L’ajout de ${\pi }_i$ a beaucoup amélioré l’efficacité de l’estimateur optimal sous le plan de sondage de Poisson.

Singh et Raghunath (2011) utilisaient ${\widehat{Y}}_{\text{SREG1}}$ lorsque $N$ était connu, mais ne l’incluaient pas comme total de contrôle. Ils ont néanmoins observé que ${\widehat{Y}}_{\text{SREG1}}$ était assez comparable à ${\widehat{Y}}_{\text{GREG2}}$ en ce qui a trait aux efficacités $\text{AR}$ et $\text{RB}$ sous le plan de sondage de Midzuno. Pourquoi ? Parce que ce plan de sondage ressemble beaucoup à l’échantillonnage aléatoire simple sans remise. Cependant, si nous utilisons ces deux mesures, ${\widehat{Y}}_{\text{SREG1}}$ est de loin le pire estimateur sous les deux autres plans de sondage.

Cas 2 : La taille de la population $N$  est inconnue

Cinq estimateurs sont présentés au tableau 4.3 pour ce cas. Toutefois, comme ${\widehat{Y}}_{\text{KREG2}}$ est très proche de ${\widehat{Y}}_{\text{KOPT2}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{POPT2}},$ nous commentons les résultats obtenus pour ${\widehat{Y}}_{\text{SREG1}},$ ${\widehat{Y}}_{\text{OPT1}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{KREG2}}.$ Les estimateurs ${\widehat{Y}}_{\text{SREG1}},$ ${\widehat{Y}}_{\text{OPT1}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{KREG2}}$ sont très semblables pour ce qui est de l’efficacité relative et de l’efficacité relative approximative sous le plan de sondage de Midzuno. Sous le plan de sondage de Sampford, ${\widehat{Y}}_{\text{OPT1}},$ ${\widehat{Y}}_{\text{KREG2}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{POPT2}}$ étaient comparables et donnaient des résultats légèrement meilleurs que ceux de l’estimateur ${\widehat{Y}}_{\mathrm{SREG}1}.$ Sous le plan de sondage de Poisson, ${\widehat{Y}}_{\text{OPT1}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{KREG2}}$ étaient plus efficaces que ${\widehat{Y}}_{\text{SREG1}}.$ Nous constatons également que ${\widehat{Y}}_{\text{SREG1}}$ était très inefficace, son efficacité relative étant au moins 10 fois plus élevée que celles associées à ${\widehat{Y}}_{\text{KREG2}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{POPT2}}.$ Notons que ${\widehat{Y}}_{\text{KREG2}}$ donnait de meilleurs résultats que ${\widehat{Y}}_{\text{OPT1}},$ ce qui est raisonnable puisque ${\widehat{Y}}_{\text{KREG2}}$ utilise deux variables auxiliaires, tandis que ${\widehat{Y}}_{\text{OPT1}}$ utilise seulement la variable auxiliaire $x_{2i}.$

4.3 Simulation 2

La performance des estimateurs a été évaluée pour différentes valeurs de l’ordonnée à l’origine dans le modèle. Nous nous sommes limités au plan de sondage de Poisson afin d’illustrer la remarque 2.1 de la section 2, à savoir que l’efficacité de ${\widehat{Y}}_{\text{SREG}}$ se détériore au fur et à mesure que l’ordonnée à l’origine augmente. La population a été générée selon le modèle suivant :

$$y_i\mathrm{<mo>=</mo>}a+x_i+e_i\mathrm{.}(4.4)$$

Les valeurs $e_i$ ont été générées à partir de la loi normale de moyenne 0 et de variance ${\sigma }_i^2\mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$ Les valeurs  $x$ ont été générées suivant une loi du chi-carré à un degré de liberté. Trois populations de taille  $N=\text{5 000}$ ont été générées à l’aide de l’équation (4.4) avec différentes valeurs de l’ordonnée à l’origine  $a.$ Il est à noter que les valeurs $x$ ont été générées à nouveau pour chaque population. Les trois populations étaient désignées A, B et C selon l’ordonnée à l’origine utilisée. Les valeurs de l’ordonnée à l’origine ont été fixées à 3, 5 et 10 respectivement pour les populations A, B et C. Dans chacune de ces populations, nous avons prélevé $R\mathrm{<mo>=</mo>}\text{2}\text{000}$ échantillons Monte Carlo d’une taille prévue $n\mathrm{<mo>=</mo>\; 50}$ en utilisant le plan de sondage de Poisson. La première probabilité d’inclusion était égale à ${\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}n{z}_i/{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{z}_i$ pour chaque unité $i.$ Les valeurs $z$ ont été générées suivant le modèle

$$z_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}\text{,}5y_i+u_i\mathrm{,}$$

où $u_i$ est une erreur aléatoire générée selon la loi exponentielle de moyenne  $k$ égale à 0,5 ou 1.

4.4 Résultats de la simulation 2

Les résultats numériques sont présentés au tableau 4.4 pour $k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ et au tableau 4.5 pour $k\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}\text{,}5.$ Tous les estimateurs sont approximativement sans biais, les biais relatifs étant inférieurs à 1 %.

Cas 1 : La taille de la population $N$  est connue

Comme prévu, les estimateurs optimaux ${\widehat{Y}}_{\text{OPT2}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{OPT3}}$ sont plus efficaces que ${\widehat{Y}}_{\text{GREG2}}.$ L’estimateur optimal ${\widehat{Y}}_{\text{OPT2}}$ fondé sur ${\left(\mathrm{1,}{x}_{2i}\right)}^{{\rm T}}$ donne des résultats légèrement meilleurs que ceux de ${\widehat{Y}}_{\text{GREG2}}.$ L’inclusion de la variable supplémentaire ${\pi }_i$ engendrant ${\widehat{Y}}_{\text{OPT3}}$ permet d’améliorer considérablement les efficacités $\text{RE}$ et $\text{AR}:$ ces gains diminuent au fur et à mesure que l’ordonnée à l’origine augmente. Là encore, ${\widehat{Y}}_{\text{SREG1}}$ est très inefficace et, comme nous le soulignons dans la remarque 2.1, cette inefficacité augmente avec l’ordonnée à l’origine. Les observations qui précèdent restent valables, quelle que soit $k.$ L’efficacité des estimateurs optimaux ${\widehat{Y}}_{\text{OPT2}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{OPT3}},$ quant à elle, diminue avec $k.$

Cas 2 : La taille de la population $N$  est inconnue

L’estimateur le plus efficace est ${\widehat{Y}}_{\text{KREG2}}.$ Il surpasse ${\widehat{Y}}_{\text{OPT1}},$ car il utilise plus de variables auxiliaires. L’estimateur ${\widehat{Y}}_{\text{SREG1}}$ est de loin le plus inefficace. Lorsque l’ordonnée à l’origine dans le modèle de population augmente, les efficacités relatives $\text{RE}$ et $\text{AR}$ restent assez stables pour ${\widehat{Y}}_{\text{KREG2}}.$ Par contre, les efficacités relatives associées à ${\widehat{Y}}_{\text{SREG1}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{OPT1}}$ se détériorent rapidement à mesure que l’ordonnée à l’origine dans le modèle de population augmente. L’effet de $k$ sur les efficacités des estimateurs est tel que décrit lorsque la taille de la population est connue.

• Précédent
• Suivant